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- 2021-06-11 发布
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[练案71]第十章 统计、统计案例
第一讲 随机抽样
A组基础巩固
一、单选题
1.(2020·广西柳州模拟)为了解某地区的“微信健步走”活动情况,拟从该地区的人群中抽取部分人员进行调查,事先已了解该地区老、中、青三个年龄段人员的“微信健步走”活动情况有较大差异,而男女“微信健步走”活动情况差异不大,在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是( C )
A.简单随机抽样 B.按性别分层抽样
C.按年龄段分层抽样 D.系统抽样
2.(2019·江西省上饶市模拟)某学校为响应“平安出行号召”,拟从2019名学生中选取50名学生加入“交通志愿者”,若采用以下方法选取:先用简单随机抽样方法剔除19名学生,剩下的2 000名再按照系统抽样的方法抽取,则每名学生入选的概率( D )
A.不全相等 B.均不相等
C.都相等,且为 D.都相等,且为
3.(2020·云南质检)某公司员工对户外运动分别持“喜欢”“不喜欢”和“一般”三种态度,其中持“一般”态度的比持“不喜欢”态度的多12人,按分层抽样方法从该公司全体员工中选出部分员工座谈户外运动,如果选出的人有6位对户外运动持“喜欢”态度,有1位对户外运动持“不喜欢”态度,有3位对户外运动持“一般”态度,那么这个公司全体员工中对户外运动持“喜欢”态度的有( A )
A.36人 B.30人
C.24人 D.18人
[解析] 设持“喜欢”“不喜欢”“一般”态度的人数分别为6x、x、3x,由题意可得3x-x=12,x=6,∴持“喜欢”态度的有6x=36(人).
4.(2019·安徽宣城二模)一支田径队共有运动员98人,其中女运动员42人,用分层抽样的方法抽取一个样本,每名运动员被抽到的概率都是,则男运动员应抽取( B )
A.18人 B.16人
C.14人 D.12人
[解析] ∵田径队共有运动员98人,其中女运动员有42人,∴男运动员有56人,
∵每名运动员被抽到的概率都是,
∴男运动员应抽取56×=16(人),故选B.
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5.(2019·江西省新八校高三第二次联考)某学校高一年级1 802人,高二年级1 600人,高三年级1 499人,先采用分层抽样的方法从中抽取98名学生参加全国中学生禁毒知识竞赛,则在高一、高二、高三三个年级中抽取的人数分别为( B )
A.35,33,30 B.36,32,30
C.36,33,29 D.35,32,31
[解析] 先将每个年级的人数凑整,得高一:1 800人,高二:1 600人,高三:1 500人,
则三个年级的总人数所占比例分别为,,,因此,各年级抽取人数分别为98×=36,98×=32,98×=30,故选B.
6.(2020·山东新高考质量测评联盟联考)总体由编号为01,02,…,49,50的50个个体组成,利用下面的随机数表选取6个个体,选取方法是从随机数表第6行的第9列和第10列数字开始从左到右依次选取两个数字,则选出的第4个个体的编号为( B )
附:第6行至第9行的随机数表
2 748 6 198 7 164 4 148 7 086 2 888 8 519 1 620
7 477 0 111 1 630 2 404 2 979 7 991 9 683 5 125
3 211 4 919 7 306 4 916 7 677 8 733 9 974 6 732
2 635 7 900 3 370 9 160 1 620 3 882 7 757 4 950
A.3 B.19
C.38 D.20
[解析] 按题中方法选出的6个个体编号分别为41,48,28,19,16,20,故选B.
7.某中学有高中生960人,初中生480人,为了了解学生的身体状况,采用分层抽样的方法, 从该校学生中抽取容量为n的样本,其中高中生有24人,那么n等于( D )
A.12 B.18
C.24 D.36
[解析] 根据分层抽样方法知=,
解得n=36.
8.(2019·河北石家庄)某校为了解1 000名高一新生的身体生长状况,用系统抽样法(按等距的规则)抽取40名同学进行检查,将学生从1~1 000进行编号,现已知第18组抽取的号码为443,则第一组用简单随机抽样抽取的号码为( C )
A.16 B.17
C.18 D.19
[解析] 系统抽样的分段间隔为=25,
设第一组随机抽取的号码为x,
- 6 -
则抽取的第18组的号码为x+17×25=443,∴x=18.故选C.
二、多选题
9.(2019·江西八校联考改编)从编号为001,002,…,500的500个产品中用系统抽样的方法抽取一个样本,已知样本中编号最小的两个编号分别为007,032,则样本中产品的编号可以为( ACD )
A.82 B.285
C.357 D.482
[解析] 根据系统抽样的定义可知样本的编号成等差数列,令a1=7,a2=32,则d=25,所以样本中产品编号为7+25k(0≤k≤19),所以k=3,14,19时编号分别为82,357,482.
10.(2020·三省三校(贵阳一中,云师大附中,南宁三中联考改编)某单位共有老年人120人,中年人360人,青年人n人,为调查身体健康状况,需要从中抽取一个容量为m的样本,用分层抽样的方法进行抽样调查,样本中的中年人为6人,则n和m的值可以是下列四个选项中的哪组( ABD )
A.n=360,m=14 B.n=420,m=15
C.n=540,m=18 D.n=660,m=19
[解析] 某单位共有老年人120人,中年人360人,青年人n人,样本中的中年人为6人,则老年人为120×=2,青年人为n=,2+6+=m⇒8+=m,代入选项计算,C不符合,故选ABD.
三、填空题
11.某校进行教学竞赛,将考生的成绩分成90分以下、90~120分、120~150分三种情况进行统计,发现三个成绩段的人数之比依次为5︰3︰1,现用分层抽样的方法抽出一个容量为m的样本,其中分数在90~120分的人数是45,则此样本的容量m=__135__.
[解析] ∵=,
∴=,即m=135.
12.(2017·江苏高考)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取__18__件.
[解析] ∵==,
∴应从丙种型号的产品中抽取×300=18(件).
四、解答题
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13.(2020·银川检测)某公司有一批专业技术人员,对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查,其结果(人数分布)如下表:
学历
35岁以下
35~50岁
50岁以上
本科
80
30
20
研究生
x
20
y
(1)用分层抽样的方法在35~50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本,将该样本看成一个总体,从中任取2人,求至少有1人学历为研究生的概率;
(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人,其中35岁以下48人,50岁以上10人,再从这N个人中随机抽取1人,此人的年龄为50岁以上的概率为,求x,y的值.
[解析] (1)用分层抽样的方法在35~50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本,设抽取学历为本科的人数为m,∴=,解得m=3.
抽取的样本中有研究生2人,本科生3人.
从中任取2人的所有等可能基本事件共有C=10个,
其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有CC+C=7个,
∴从中任取2人,至少有1人学历为研究生的概率为.
(2)由题意,得=,解得N=78.
∴35~50岁中被抽取的人数为78-48-10=20,
∴==,解得x=40,y=5.
即x,y的值分别为40,5.
14.(2019·天津市红桥区模拟)根据调查,某学校;开设了“街舞”“围棋”“武术”三个社团,三个社团参加的人数如表所示:
社团
街舞
围棋
武术
人数
320
240
200
为调查社团开展情况,学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本,已知从“围棋”社团抽取的同学比从“街舞”社团抽取的同学少2人.
(1)求三个社团分别抽取了多少同学;
(2)若从“围棋”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务,已知“围棋”社团被抽取的同学中有2名女生,求至少有1名女同学被选为监督职务的概率.
[解析] (1)设三个社团分别抽取x、y、z个同学
===,
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x=8,y=6,z=5,
故从“街舞”,“围棋”,“武术”三个社团中分别提取了8人,6人,5人.
(2)由(1)知,从“围棋”社团抽取的同学为6人,其中2位女生,则从这6位同学中任选2人,不同的结果有C=15种,从这6位同学中任选2人,没有女生的有C=6种,故至少有1名女同学被选中的概率P=1-=.
B组能力提升
1.利用简单随机抽样,从n个个体中抽取一个容量为10的样本.若第二次抽取时,余下的每个个体被抽到的概率为,则在整个抽样过程中,每个个体被抽到的概率为( C )
A. B.
C. D.
[解析] 根据题意,=,解得n=28.
故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为=.
2.(2020·甘肃兰州一中月考)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查,首先将他们随机编号为1,2,…,960,分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9,抽到的32人中,编号落入区间[1,450]的人做问卷A,编号落入区间[451,750]的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷B的人数为( C )
A.7 B.9
C.10 D.15
[解析] 从960人中用系统抽样方法抽取32人,则每30人抽取一人,因为第一组抽到的号码为9,则第二组抽到的号码为39,第n组抽到的号码为an=9+30(n-1)=30n-21,由451≤30n-21≤750,得≤n≤,所以n=16,17,…,25,共有25-16+1=10人,选C.
3.(2019·河北保定模拟)某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品,其中某月生产的产品数量之比依次为m︰3︰2,现用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本,已知A种型号产品抽取了45件,则m=( C )
A.1 B.2
C.3 D.4
[解析] ∵用分层抽样方法抽取一个容量为120的样本,A种型号产品抽取了45件,
又∵某工厂生产A、B、C三种不同型号的产品,某月生产产品数量之比依次为m︰3︰2,
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∴根据分层抽样的性质得=,
解得m=3.故选C.
4.(2020·四川省联诊改编)某班运动队由足球队员18人、篮球队员12人、乒乓球队员6人组成(每人只参加一项),现从这些运动员中抽取一个容量为n的样本,若分别采用系统抽样和分层抽样法,则都不用剔除个体;当样本容量为n+1时,若采用系统抽样法,则需要剔除1个个体,那么样本容量n为__6__.
[解析] n为18+12+6=36的正约数,因为18︰12︰6=3︰2︰1,所以n为6的倍数,因此n=6,12,18,24,30,36.因为当样本容量为n+1时,若采用系统抽样法,则需要剔除1个个体,所以n+1为35的正约数,因此n=6.
5.(2020·内蒙古包头期末)已知某校甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数分别为36,24,24.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠质量的调查.
(1)应从甲、乙、丙三个兴趣小组的学生中分别抽取多少人?
(2)若抽出的7人中有3人睡眠不足,4人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.用X表示抽取的3人中睡眠充足的学生人数,求随机变量X的分布列与数学期望.
[解析] (1)由已知,甲、乙、丙三个兴趣小组的学生人数之比为3︰2︰2,
由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个兴趣小组中分别抽取3人,2人,2人.
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
则P(X=k)=(k=0,1,2,3),
所以,随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
P
随机变量X的数学期望
E(X)=0×+1×+2×+3×=.
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