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- 2021-06-10 发布
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数 学
J 单元 计数原理
J1 基本计数原理
J2 排列、组合
8.J2[2016·北京卷] 袋中装有偶数个球,其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个
空盒.每次从袋中任意取出两个球,将其中一个球放入甲盒,如果这个球是红球,就将另一
个球放入乙盒,否则就放入丙盒.重复上述过程,直到袋中所有球都被放入盒中,则( )
A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球
B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
C.乙盒中红球不多于丙盒中红球
D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
8.B [解析] 取两个球放入盒子有 4 种情况:①红+红,则乙盒中红球个数加 1;②
黑+黑,则丙盒中黑球个数加 1;③红+黑(红球放入甲盒中),则乙盒中黑球个数加 1;④
黑+红(黑球放入甲盒中),则丙盒中红球个数加 1.因为红球和黑球个数一样,所以①和②的
情况一样多,③和④的情况完全随机,所以 A,C,D 错误.③和④对乙盒中的红球与丙盒
中的黑球个数没有任何影响.①和②出现的次数是一样的,所以乙盒中的红球与丙盒中的黑
球个数一样,故选 B.
4.J2[2016·四川卷] 用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个
数为( )
A.24 B.48
C.60 D.72
4.D [解析] 由题可知,五位数要为奇数,则个位数只能是 1,3,5.分为两步:先从
1,3,5 三个数中选一个作为个位数,有 C 13种方法;再将剩下的 4 个数字排列,有 A 44种方
法.则满足条件的五位数有 C13·A44=72(个).
5.J2[2016·全国卷Ⅱ] 如图 11,小明从街道的 E 处出发,先到 F 处与小红会合,再一
起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为
( )
图 11
A.24 B.18
C.12 D.9
5.B [解析] 由 E 到 F 有 6 种走法,由 F 到 G 有 3 种走法,由分步乘法计数原理知,
共 6×3=18 种走法.
23.J2、J3、J4[2016·江苏卷] (1)求 7C36-4C 47的值;
(2)设 m,n∈N*,n≥m,求证:(m+1)Cmm+(m+2)Cmm+1+(m+3)Cmm+2+…+nCmn-1+(n+
1)Cmn =(m+1)Cm+2n+2 .
23.解:(1)7C36-4C47=7×6×5×4
3×2×1
-4×7×6×5×4
4×3×2×1
=0.
(2)证明:当 n=m 时,结论显然成立.
当 n>m 时,(k+1)Cmk = (k+1)·k!
m!·(k-m)!
=(m+1)·
(k+1)!
(m+1)!·[(k+1)-(m+1)]!
=
(m+1)Cm+1k+1 ,k=m+1,m+2,…,n.
又因为 Cm+1k+1 +Cm+2k+1 =Cm+2k+2 ,
所以(k+1)Cmk =(m+1)(Cm+2k+2 -Cm+2k+1 ),k=m+1,m+2,…,n.
因此(m+1)Cmm+(m+2)Cmm+1+(m+3)Cmm+2+…+(n+1)Cmn =(m+1)Cmm+[(m+2)Cmm+1+
(m+3)Cmm+2+…+(n+1)Cmn ]=(m+1)Cm+2m+2+(m+1)[(Cm+2m+3-Cm+2m+2)+(Cm+2m+4-Cm+2m+3)+…+(Cm+2n+2
-Cm+2n+1 )]=(m+1)Cm+2n+2 .
J3 二项式定理
10.J3[2016·北京卷] 在(1-2x)6 的展开式中,x2 的系数为________.(用数字作答)
10.60 [解析] 展开式的通项 Tr+1=Cr6×16-r×(-2x)r=(-2)rCr6xr,令 r=2,得 x2 的系
数为(-2)2×C26=60.
14.J3[2016·全国卷Ⅰ] (2x+ x)5 的展开式中,x3 的系数是________.(用数字填写答案)
14.10 [解析] 展开式的通项为 Tr+1=25-rCr5x5-r
2
,令 5-r
2
=3,得 r=4,故所求系数
为 2C45=10.
2.J3,L4[2016·四川卷] 设 i 为虚数单位,则(x+i)6 的展开式中含 x4 的项为( )
A.-15x4 B.15x4
C.-20ix4 D.20ix4
2.A [解析] 由题可知,含 x4 的项为 C26x4i2=-15x4.
12.J3[2016·山东卷] 若(ax2+ 1
x
)5 的展开式中 x5 的系数是-80,则实数 a=________.
12.-2 [解析] 由二项式定理得 Tr+1=Cr5(ax2)5-rx-r
2
=a5-rCr5x10-5r
2
,令 10-5r
2
=5,
解得 r=2.∴a5-2C25=-80,解得 a=-2.
10.J3[2016·天津卷] (x2-1
x
)8 的展开式中 x7 的系数为________.(用数字作答)
10.-56 [解析] 展开式的通项 Tr+1=Cr8(x2)8-r(-1
x
)r=(-1)rCr8x16-3r,由 16-3r=7,
得 r=3,所以所求系数为(-1)3C38=-56.
8.J3[2016·上海卷] 在(3 x-2
x)n 的二项展开式中,所有项的二项式系数之和为 256,则
常数项等于________.
8.112 [解析] 由题意得 2n=256,所以 n=8,则二项展开式的通项为 Tr+1=Cr8(3 x)8-
r(-2
x)r=(-2)rCr8x8
3
-4
3r,令8
3
-4
3r=0,得 r=2,所以常数项为 T3=112.
23.J2、J3、J4[2016·江苏卷] (1)求 7C36-4C 47的值;
(2)设 m,n∈N*,n≥m,求证:(m+1)Cmm+(m+2)Cmm+1+(m+3)Cmm+2+…+nCmn-1+(n+
1)Cmn =(m+1)Cm+2n+2 .
23.解:(1)7C36-4C47=7×6×5×4
3×2×1
-4×7×6×5×4
4×3×2×1
=0.
(2)证明:当 n=m 时,结论显然成立.
当 n>m 时,(k+1)Cmk = (k+1)·k!
m!·(k-m)!
=(m+1)·
(k+1)!
(m+1)!·[(k+1)-(m+1)]!
=
(m+1)Cm+1k+1 ,k=m+1,m+2,…,n.
又因为 Cm+1k+1 +Cm+2k+1 =Cm+2k+2 ,
所以(k+1)Cmk =(m+1)(Cm+2k+2 -Cm+2k+1 ),k=m+1,m+2,…,n.
因此(m+1)Cmm+(m+2)Cmm+1+(m+3)Cmm+2+…+(n+1)Cmn =(m+1)Cmm+[(m+2)Cmm+1+
(m+3)Cmm+2+…+(n+1)Cmn ]=(m+1)Cm+2m+2+(m+1)[(Cm+2m+3-Cm+2m+2)+(Cm+2m+4-Cm+2m+3)+…+(Cm+2n+2
-Cm+2n+1 )]=(m+1)Cm+2n+2 .
J4 单元综合
23.J2、J3、J4[2016·江苏卷] (1)求 7C36-4C 47的值;
(2)设 m,n∈N*,n≥m,求证:(m+1)Cmm+(m+2)Cmm+1+(m+3)Cmm+2+…+nCmn-1+(n+
1)Cmn =(m+1)Cm+2n+2 .
23.解:(1)7C36-4C47=7×6×5×4
3×2×1
-4×7×6×5×4
4×3×2×1
=0.
(2)证明:当 n=m 时,结论显然成立.
当 n>m 时,(k+1)Cmk = (k+1)·k!
m!·(k-m)!
=(m+1)·
(k+1)!
(m+1)!·[(k+1)-(m+1)]!
=
(m+1)Cm+1k+1 ,k=m+1,m+2,…,n.
又因为 Cm+1k+1 +Cm+2k+1 =Cm+2k+2 ,
所以(k+1)Cmk =(m+1)(Cm+2k+2 -Cm+2k+1 ),k=m+1,m+2,…,n.
因此(m+1)Cmm+(m+2)Cmm+1+(m+3)Cmm+2+…+(n+1)Cmn =(m+1)Cmm+[(m+2)Cmm+1+
(m+3)Cmm+2+…+(n+1)Cmn ]=(m+1)Cm+2m+2+(m+1)[(Cm+2m+3-Cm+2m+2)+(Cm+2m+4-Cm+2m+3)+…+(Cm+2n+2
-Cm+2n+1 )]=(m+1)Cm+2n+2 .
[2016·浙江卷]04 “计数原理与概率”模块
(1)已知(1+2x)4(1-x2)3=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,求 a2 的值.
(2)设袋中共有 8 个球,其中 3 个白球、5 个红球,从袋中随机取出 3 个球,求至少有 1
个白球的概率.
解:(1)因为(1+2x)4 二项展开式的通项为 Cr4(2x)r,r=0,1,2,3,4.
(1-x2)3 二项展开式的通项为 Cr3(-x2)r,r=0,1,2,3.
所以 a2=C24·22·C03+C04·C13·(-1)=21.
(2)从袋中取出 3 个球,总的取法有 C38=56(种);
其中都是红球的取法有 C35=10(种).
因此,从袋中取出 3 个球至少有 1 个白球的概率是
1-C35
C38
=23
28.
3.[2016·丹东模拟] 有编号分别为 1,2,3,4,5 的 5 个红球和 5 个黑球,从中取出 4
个,且取出的小球的编号互不相同,则不同的取法种数为( )
A.5 B.80 C.105 D.210
3.B [解析] 把颜色不同、号码相同的小球分为一组,从中取出 4 组,再从每组中各
取 1 个小球,则取法种数是 C45×24=80.
4.[2016·遵义质检] 在二项式 x+3
x
n
的展开式中,各项系数之和为 M,各项二项式系
数之和为 N,且 M+N=72,则展开式中常数项的值为( )
A.18
B.12
C.9
D.6
4.C [解析] 由题可知 4n+2n=72,即 2n(2n+1)=8×9,解得 n=3.二项展开式的通项
公式为 Tr+1=Cr3( x)3-r
3
x r=3rCr3x3-3r
2
,易知当 r=1 时取得常数项,所以常数项为 9.