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  • 2021-06-11 发布

【数学】2019届高考一轮复习北师大版理7-1不等关系与不等式学案

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知识点 考纲下载 不等关系与不等式 了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.‎ 一元二次不等式的解法 ‎ 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.‎ ‎ 通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.‎ ‎ 会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.‎ 二元一次不等式(组)与 简单的线性规划问题 ‎ 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.‎ ‎ 了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组.‎ ‎ 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.‎ 基本不等式 ≥(a≥0,b≥0)‎ ‎ 了解基本不等式的证明过程.‎ ‎ 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.‎ 第1讲 不等关系与不等式 ‎1.实数大小顺序与运算性质之间的关系 a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔ab,ab>0⇒<.‎ ‎②a<0b>0,0.‎ ‎④0b>0,m>0,则 ‎①<;>(b-m>0).‎ ‎②>;<(b-m>0).‎ ‎ 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a1,则a>b.(  )‎ ‎(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数,不等号方向不变.(  )‎ ‎(4)一个非零实数越大,则其倒数就越小.(  )‎ ‎(5)同向不等式具有可加性和可乘性.(  )‎ ‎(6)两个数的比值大于1,则分子不一定大于分母.(  )‎ 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√‎ ‎ (教材习题改编)设A=(x-3)2,B=(x-2)(x-4),则A与B的大小关系为(  )‎ A.A≥B B.A>B C.A≤B D.A<B 解析:选B.A-B=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)=1>0,所以A>B.故选B.‎ ‎ 已知a,b是实数,则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选C.⇒又当ab>0时,a与b同号,由a+b>0知a>0,且b>0.‎ ‎ ________+1(填“>”或“<”).‎ 解析:=+1<+1.‎ 答案:<‎ ‎ 下列不等式中恒成立的是__________.‎ ‎①m-3>m-5;②5-m>3-m;③5m>3m;④5+m>5-m.‎ 解析:m-3-m+5=2>0,故①恒成立;‎ ‎5-m-3+m=2>0,故②恒成立;‎ ‎5m-3m=2m,无法判断其符号,故③不恒成立;‎ ‎5+m-5+m=2m,无法判断其符号,故④不恒成立.‎ 答案:①②‎ ‎      比较两个数(式)的大小 ‎ [典例引领]‎ ‎ (1)已知a>b>0,m>0,则(  )‎ A.= B.> C.< D.与的大小关系不确定 ‎(2)若a=,b=,比较a与b的大小.‎ ‎【解】 (1)选C.-==.‎ 因为a>b>0,m>0.‎ 所以b-a<0,a+m>0,所以<0.‎ 即-<0.所以<.‎ ‎(2)因为a=>0,b=>0,‎ 所以=· ‎===log8 9>1,‎ 所以a>b.‎ 若本例(1)的条件不变,试比较与的大小.‎ 解:-==.‎ 因为a>b>0,m>0.‎ 所以a-b>0,m(a-b)>0.‎ ‎(1)当a>m时,a(a-m)>0,‎ 所以>0,‎ 即->0,‎ 故>.‎ ‎(2)当an B.m0,b>0)两个代数式的大小.‎ 解:因为+-(a+b)= ‎== ‎=.‎ 又因为a>0,b>0,所以≥0,‎ 故+≥a+b.‎ ‎      不等式的性质及应用(高频考点) ‎ 不等式的性质是高考的常考内容,题型多为选择题,难度为中档题.‎ 高考对不等式性质的考查主要有以下两个命题角度:‎ ‎(1)应用性质判断命题真假;‎ ‎(2)应用性质求代数式的范围.‎ ‎[典例引领]‎ 角度一 应用性质判断命题真假 ‎ (1)(特值法)设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 ‎(2)若a>0>b>-a,c<d<0,则下列结论:①ad>bc;②+<0;③a-c>b-d;④a(d-c)>b(d-c)中成立的个数是(  )‎ A.1 B.2‎ C.3 D.4‎ ‎【解析】 (1)当b<0时,显然有a>b⇔a|a|>b|b|;‎ 当b=0时,显然有a>b⇔a|a|>b|b|;‎ 当b>0时,由a>b有|a|>|b|,所以a>b⇔a|a|>b|b|.‎ 综上可知a>b⇔a|a|>b|b|,故选C.‎ ‎(2)因为a>0>b,c<d<0,‎ 所以ad<0,bc>0,‎ 所以ad<bc,故①错误.‎ 因为0>b>-a,所以a>-b>0,‎ 因为c<d<0,所以-c>-d>0,‎ 所以a(-c)>(-b)(-d),‎ 所以ac+bd<0,所以+=<0,故②正确.‎ 因为c<d,所以-c>-d,‎ 因为a>b,所以a+(-c)>b+(-d),‎ 即a-c>b-d,故③正确.‎ 因为a>b,d-c>0,所以a(d-c)>b(d-c),‎ 故④正确,故选C.‎ ‎【答案】 (1)C (2)C 角度二 应用性质求代数式的范围 ‎ (整体思想)已知二次函数y=f(x)的图象过原点,且1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.‎ ‎【解】 因为f(x)过原点,所以设f(x)=ax2+bx(a≠0).‎ 由 得 所以f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).‎ 又 所以6≤3f(-1)+f(1)≤10,‎ 即f(-2)的取值范围是[6,10].‎ ‎(1)判断不等式命题真假的方法 ‎①判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或用特值法.常用的推理判断需要利用不等式性质.‎ ‎②在判断一个关于不等式的命题真假时,先把判断的命题和不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假.‎ ‎(2)求代数式的取值范围 利用不等式性质求某些代数式的取值范围时,多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围,解决此类问题,一般是利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围,是避免错误的有效途径.  ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1.(2018·河南百校联盟模拟)设a,b∈R,则“(a-b)a2≥0”是“a≥b”的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选C.当(a-b)a2≥0时,由a2≥0得a-b≥0,即a≥b,反之也成立,故“(a-b)a2≥0”是“a≥b”的充要条件.‎ ‎2.若-1b⇒ac2>bc2;若无c≠0这个条件,a>b⇒ac2>bc2就是错误结论(当c=0时,取“=”).                                         ‎ ‎1.已知a>b,则下列结论正确的是(  )‎ A.a2>b2  B.ac2>bc2‎ C.> D.a-1>b-2‎ 解析:选D.因为a>b时,a与b的符号不确定,所以A、C不正确;‎ 当c=0时,B不正确;对于D,a>b⇒a-1>b-1,‎ 又b-1>b-2,所以a-1>b-2正确.‎ ‎2.若<<0,则下列结论不正确的是(  )‎ A.a2|a+b|‎ 解析:选D.由题可知by>z,且x+y+z=0,下列不等式中成立的是(  )‎ A.xy>yz B.xz>yz C.xy>xz D.x|y|>z|y|‎ 解析:选C.因为x>y>z,‎ 所以3x>x+y+z=0,3z0,z<0,‎ 由得xy>xz.故选C.‎ ‎5.对于任意实数a,b,c,d,有以下四个命题:‎ ‎①若ac2>bc2,则a>b;‎ ‎②若a>b,c>d,则a+c>b+d;‎ ‎③若a>b,c>d,则ac>bd;‎ ‎④若a>b,则>.‎ 其中正确的有(  )‎ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 解析:选B.由ac2>bc2知c≠0,c2>0,所以a>b,故①正确;由不等式的同向可加性易知②‎ 正确;对于③,当a=-1,b=-4,c=-2,d=-3时,acb,但>不成立,故④不正确.‎ ‎6.(2018·扬州模拟)若a10,‎ 即a1b1+a2b2>a1b2+a2b1.‎ 答案:a1b1+a2b2>a1b2+a2b1‎ ‎7.已知a,b∈R,则a<b和<同时成立的条件是________.‎ 解析:若ab<0,由a<b两边同除以ab得,>,‎ 即<;若ab>0,则>.‎ 所以a<b和<同时成立的条件是a<0<b.‎ 答案:a<0<b ‎8.若α,β满足则α+3β的取值范围是________.‎ 解析:设α+3β=x(α+β)+y(α+2β)‎ ‎=(x+y)α+(x+2y)β.‎ 则解得 因为-1≤-(α+β)≤1,2≤2(α+2β)≤6,‎ 两式相加,得1≤α+3β≤7.‎ 所以α+3β的取值范围为[1,7].‎ 答案:[1,7]‎ ‎9.设实数a,b,c满足 ‎①b+c=6-4a+3a2,‎ ‎②c-b=4-4a+a2.‎ 试确立a,b,c的大小关系.‎ 解:因为c-b=(a-2)2≥0,所以c≥b,‎ 又2b=2+2a2,所以b=1+a2,‎ 所以b-a=a2-a+1=+>0,‎ 所以b>a,从而c≥b>a.‎ ‎10.若a>b>0,c.‎ 证明:因为c-d>0.‎ 又因为a>b>0,所以a-c>b-d>0.‎ 所以0<<.‎ 又因为e<0,所以>.‎ ‎1.已知x,y∈R,且x>y>0,则(  )‎ A. ->0‎ B.sin x-sin y>0‎ C. -<0‎ D.ln x+ln y>0‎ 解析:选C.法一:(通性通法)因为x>y>0,选项A,取x=1,y=,则-=1-2=-1<0,排除A;选项B,取x=π,y=,则sin x-sin y=sin π-sin =-1<0,排除B;选项D,取x=2,y=,则ln x+ln y=ln(xy)=ln 1=0,排除D.故选C.‎ 法二:(光速解法)因为函数y=在R上单调递减,且x>y>0,所以<,即-‎ <0,故选C.‎ ‎2.(2017·高考山东卷)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是(  )‎ A.a+<b+c>c+a.由a+b>b+c可得a>c;由b+c>c+a可得b>a,于是有c5时,y1y2.‎ 因此当去的人数为5人时,两车队收费相同;多于5人时,选甲车队更优惠;少于5人时,选乙车队更优惠.‎ ‎6.已知12