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- 2021-06-11 发布
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知识点
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不等关系与不等式
了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.
一元二次不等式的解法
会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.
通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.
会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.
二元一次不等式(组)与
简单的线性规划问题
会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.
了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组.
会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决.
基本不等式
≥(a≥0,b≥0)
了解基本不等式的证明过程.
会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
第1讲 不等关系与不等式
1.实数大小顺序与运算性质之间的关系
a-b>0⇔a>b;a-b=0⇔a=b;a-b<0⇔ab,ab>0⇒<.
②a<0b>0,0.
④0b>0,m>0,则
①<;>(b-m>0).
②>;<(b-m>0).
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a1,则a>b.( )
(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数,不等号方向不变.( )
(4)一个非零实数越大,则其倒数就越小.( )
(5)同向不等式具有可加性和可乘性.( )
(6)两个数的比值大于1,则分子不一定大于分母.( )
答案:(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√
(教材习题改编)设A=(x-3)2,B=(x-2)(x-4),则A与B的大小关系为( )
A.A≥B B.A>B
C.A≤B D.A<B
解析:选B.A-B=(x2-6x+9)-(x2-6x+8)=1>0,所以A>B.故选B.
已知a,b是实数,则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:选C.⇒又当ab>0时,a与b同号,由a+b>0知a>0,且b>0.
________+1(填“>”或“<”).
解析:=+1<+1.
答案:<
下列不等式中恒成立的是__________.
①m-3>m-5;②5-m>3-m;③5m>3m;④5+m>5-m.
解析:m-3-m+5=2>0,故①恒成立;
5-m-3+m=2>0,故②恒成立;
5m-3m=2m,无法判断其符号,故③不恒成立;
5+m-5+m=2m,无法判断其符号,故④不恒成立.
答案:①②
比较两个数(式)的大小
[典例引领]
(1)已知a>b>0,m>0,则( )
A.=
B.>
C.<
D.与的大小关系不确定
(2)若a=,b=,比较a与b的大小.
【解】 (1)选C.-==.
因为a>b>0,m>0.
所以b-a<0,a+m>0,所以<0.
即-<0.所以<.
(2)因为a=>0,b=>0,
所以=·
===log8 9>1,
所以a>b.
若本例(1)的条件不变,试比较与的大小.
解:-==.
因为a>b>0,m>0.
所以a-b>0,m(a-b)>0.
(1)当a>m时,a(a-m)>0,
所以>0,
即->0,
故>.
(2)当an B.m0,b>0)两个代数式的大小.
解:因为+-(a+b)=
==
=.
又因为a>0,b>0,所以≥0,
故+≥a+b.
不等式的性质及应用(高频考点)
不等式的性质是高考的常考内容,题型多为选择题,难度为中档题.
高考对不等式性质的考查主要有以下两个命题角度:
(1)应用性质判断命题真假;
(2)应用性质求代数式的范围.
[典例引领]
角度一 应用性质判断命题真假
(1)(特值法)设a,b∈R,则“a>b”是“a|a|>b|b|”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
(2)若a>0>b>-a,c<d<0,则下列结论:①ad>bc;②+<0;③a-c>b-d;④a(d-c)>b(d-c)中成立的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
【解析】 (1)当b<0时,显然有a>b⇔a|a|>b|b|;
当b=0时,显然有a>b⇔a|a|>b|b|;
当b>0时,由a>b有|a|>|b|,所以a>b⇔a|a|>b|b|.
综上可知a>b⇔a|a|>b|b|,故选C.
(2)因为a>0>b,c<d<0,
所以ad<0,bc>0,
所以ad<bc,故①错误.
因为0>b>-a,所以a>-b>0,
因为c<d<0,所以-c>-d>0,
所以a(-c)>(-b)(-d),
所以ac+bd<0,所以+=<0,故②正确.
因为c<d,所以-c>-d,
因为a>b,所以a+(-c)>b+(-d),
即a-c>b-d,故③正确.
因为a>b,d-c>0,所以a(d-c)>b(d-c),
故④正确,故选C.
【答案】 (1)C (2)C
角度二 应用性质求代数式的范围
(整体思想)已知二次函数y=f(x)的图象过原点,且1≤f(-1)≤2,3≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.
【解】 因为f(x)过原点,所以设f(x)=ax2+bx(a≠0).
由
得
所以f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1).
又
所以6≤3f(-1)+f(1)≤10,
即f(-2)的取值范围是[6,10].
(1)判断不等式命题真假的方法
①判断不等式是否成立,需要逐一给出推理判断或用特值法.常用的推理判断需要利用不等式性质.
②在判断一个关于不等式的命题真假时,先把判断的命题和不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近的性质,并应用性质判断命题真假.
(2)求代数式的取值范围
利用不等式性质求某些代数式的取值范围时,多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围,解决此类问题,一般是利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围,是避免错误的有效途径.
[通关练习]
1.(2018·河南百校联盟模拟)设a,b∈R,则“(a-b)a2≥0”是“a≥b”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:选C.当(a-b)a2≥0时,由a2≥0得a-b≥0,即a≥b,反之也成立,故“(a-b)a2≥0”是“a≥b”的充要条件.
2.若-1b⇒ac2>bc2;若无c≠0这个条件,a>b⇒ac2>bc2就是错误结论(当c=0时,取“=”).
1.已知a>b,则下列结论正确的是( )
A.a2>b2 B.ac2>bc2
C.> D.a-1>b-2
解析:选D.因为a>b时,a与b的符号不确定,所以A、C不正确;
当c=0时,B不正确;对于D,a>b⇒a-1>b-1,
又b-1>b-2,所以a-1>b-2正确.
2.若<<0,则下列结论不正确的是( )
A.a2|a+b|
解析:选D.由题可知by>z,且x+y+z=0,下列不等式中成立的是( )
A.xy>yz B.xz>yz
C.xy>xz D.x|y|>z|y|
解析:选C.因为x>y>z,
所以3x>x+y+z=0,3z0,z<0,
由得xy>xz.故选C.
5.对于任意实数a,b,c,d,有以下四个命题:
①若ac2>bc2,则a>b;
②若a>b,c>d,则a+c>b+d;
③若a>b,c>d,则ac>bd;
④若a>b,则>.
其中正确的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析:选B.由ac2>bc2知c≠0,c2>0,所以a>b,故①正确;由不等式的同向可加性易知②
正确;对于③,当a=-1,b=-4,c=-2,d=-3时,acb,但>不成立,故④不正确.
6.(2018·扬州模拟)若a10,
即a1b1+a2b2>a1b2+a2b1.
答案:a1b1+a2b2>a1b2+a2b1
7.已知a,b∈R,则a<b和<同时成立的条件是________.
解析:若ab<0,由a<b两边同除以ab得,>,
即<;若ab>0,则>.
所以a<b和<同时成立的条件是a<0<b.
答案:a<0<b
8.若α,β满足则α+3β的取值范围是________.
解析:设α+3β=x(α+β)+y(α+2β)
=(x+y)α+(x+2y)β.
则解得
因为-1≤-(α+β)≤1,2≤2(α+2β)≤6,
两式相加,得1≤α+3β≤7.
所以α+3β的取值范围为[1,7].
答案:[1,7]
9.设实数a,b,c满足
①b+c=6-4a+3a2,
②c-b=4-4a+a2.
试确立a,b,c的大小关系.
解:因为c-b=(a-2)2≥0,所以c≥b,
又2b=2+2a2,所以b=1+a2,
所以b-a=a2-a+1=+>0,
所以b>a,从而c≥b>a.
10.若a>b>0,c.
证明:因为c-d>0.
又因为a>b>0,所以a-c>b-d>0.
所以0<<.
又因为e<0,所以>.
1.已知x,y∈R,且x>y>0,则( )
A. ->0
B.sin x-sin y>0
C. -<0
D.ln x+ln y>0
解析:选C.法一:(通性通法)因为x>y>0,选项A,取x=1,y=,则-=1-2=-1<0,排除A;选项B,取x=π,y=,则sin x-sin y=sin π-sin =-1<0,排除B;选项D,取x=2,y=,则ln x+ln y=ln(xy)=ln 1=0,排除D.故选C.
法二:(光速解法)因为函数y=在R上单调递减,且x>y>0,所以<,即-
<0,故选C.
2.(2017·高考山东卷)若a>b>0,且ab=1,则下列不等式成立的是( )
A.a+<b+c>c+a.由a+b>b+c可得a>c;由b+c>c+a可得b>a,于是有c5时,y1y2.
因此当去的人数为5人时,两车队收费相同;多于5人时,选甲车队更优惠;少于5人时,选乙车队更优惠.
6.已知12