2020高考数学二轮复习练习：第二部分 专题一 第2讲 三角恒等变换与解三角形 练典型习题 提数学素养含解析 9页

‎[A组　夯基保分专练]‎ 一、选择题 ‎1．已知sin(α＋)＝，<α<，则cos 2α的值为(　　)‎ A．－　　　　　　　　 B．－ C．－ D．－ 解析：选C.因为sin(α＋)＝，<α<，<α＋<π，所以cos(α＋)<0，可得cos(α＋)＝－，所以sin α＝sin[(α＋)－]＝sin(α＋)cos －cos(α＋)sin ＝，cos 2α＝1－2sin2α＝1－＝－，故选C.‎ ‎2．(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝(　　)‎ A．6 B．5‎ C．4 D．3‎ 解析：选A.由题意及正弦定理得，b2－a2＝－4c2，所以由余弦定理得，cos A＝＝＝－，得＝6.故选A.‎ ‎3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝2a，bsin B－asin A＝asin C，则sin B为(　　)‎ A． B． C． D． 解析：选A.由bsin B－asin A＝asin C，‎ 且c＝2a，得b＝a，‎ 因为cos B＝＝＝，‎ 所以sin B＝ ＝.‎ ‎4．(一题多解)在△ABC中，已知AB＝，AC＝，tan∠BAC＝－3，则BC边上的高等于 ‎(　　)‎ A．1 B． C． D．2‎ 解析：选A.法一：因为tan∠BAC＝－3，所以sin∠BAC＝，cos∠BAC＝－.由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC＝5＋2－2×××＝9，所以BC＝3，所以S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC＝×××＝，所以BC边上的高h＝＝＝1，故选A.‎ 法二：因为tan∠BAC＝－3，所以cos∠BAC＝－<0，则∠BAC为钝角，因此BC边上的高小于，故选A.‎ ‎5.如图，在△ABC中，∠C＝，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足．若DE＝2，则cos A等于(　　)‎ A． B． C． D． 解析：选C.依题意得，BD＝AD＝＝，∠BDC＝∠ABD＋∠A＝2∠A.在△BCD中，＝，＝×＝，即＝，由此解得cos A＝.‎ ‎6．(多选)下列命题中，正确的是(　　)‎ A．在△ABC中，若A>B，则sin A>sin B B．在锐角三角形ABC中，不等式sin A>cos B恒成立 C．在△ABC中，若acos A－bcos B＝0，则△ABC必是等腰直角三角形 D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形 解析：选ABD.对于A，在△ABC中，由正弦定理可得＝，所以sin A>sin B⇔a>b⇔A>B，故A正确；对于B，在锐角三角形ABC中，A，B∈，且A＋B>，则>A>－B>0，所以sin A>sin＝cos B，故B正确；对于C，在△ABC中，由acos A＝bcos B，‎ 利用正弦定理可得sin 2A＝sin 2B，得到2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A＝－B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accos B，所以ac＝a2＋c2－ac，即(a－c)2＝0，解得a＝c.又B＝60°，所以△ABC必是等边三角形，故D正确．故选ABD.‎ 二、填空题 ‎7．(2019·济南联考改编)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝________，tan α＝________．‎ 解析：因为tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，‎ 所以tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝＝＝－1.tan α＝tan(α＋β－β)＝＝.‎ 答案：－1　 ‎8．已知a，b，c是△ABC中角A，B，C的对边，a＝4，b∈(4，6)，sin 2A＝sin C，则c的取值范围为________．‎ 解析：由＝，得＝，所以c＝8cos A，因为16＝b2＋c2－2bccos A，所以16－b2＝64cos2A－16bcos2A，又b≠4，所以cos2A＝＝＝，所以c2＝64cos2A＝64×＝16＋4b.因为b∈(4，6)，所以320，所以cos B＝.‎ 因为B∈(0，π)，所以B＝.‎ ‎(2)由tan C＝，C∈(0，π)，得sin C＝，cos C＝，‎ 所以sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝×＋×＝.‎ 由正弦定理＝，得a＝＝＝6，‎ 所以△ABC的面积为absin C＝×6×2×＝6.‎ ‎11．(2019·武汉模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＝2B，cos B＝.‎ ‎(1)求sin C的值；‎ ‎(2)若角A的平分线AD的长为，求b的值．‎ 解：(1)由cos B＝及0