2020届江苏省高考数学二轮复习专项强化练（七）平面向量 9页

专项强化练(七)　平面向量 A组 题型一　平面向量的线性运算 ‎1．已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若＋2＝3，则的值为________．‎ 解析：由＋2＝3，得－＝2－2，‎ 即＝2，所以＝.‎ 答案： ‎2．在▱ABCD中，＝a，＝b，＝3，M为BC的中点，则＝____________(用a，b表示)．‎ 解析：由＝3得＝＝(a＋b)，＝a＋b，所以＝－＝(a＋b)－＝－a＋b.‎ 答案：－a＋b ‎ [临门一脚]‎ ‎1．对相等向量、零向量、单位向量等概念的理解要到位．‎ ‎2．用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：(1)观察各向量的位置；(2)寻找相应的三角形或平行四边形；(3)运用法则找关系；(4)化简结果．‎ ‎3．线性运算由于基底运用难度较大，能建立坐标系的时候，建系优先．‎ ‎4．利用两向量共线证明三点共线要强调有一个公共点．‎ ‎5．已知＝λ＋μ (λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.‎ 题型二　平面向量的坐标表示 ‎1．(2019·锡山中学模拟)已知向量a，b满足a＋2b＝(－3,4)，2a－b＝(4，－2)，则a2＋b2＝________.‎ 解析：得a＝(1,0)，b＝(－2,2)．所以a2＋b2＝|a|2＋|b|2＝1＋(－2)2＋22＝9.‎ 答案：9‎ ‎2．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值是________．‎ 解析：因为u＝(1＋2x,4)，v＝(2－x,3)，u∥v，‎ 所以8－4x＝3＋6x，所以x＝.‎ 答案： ‎3．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝____________.‎ 解析：不妨设c＝(m，n)，‎ 则a＋c＝(1＋m,2＋n)，a＋b＝(3，－1)，‎ 对于(c＋a)∥b，有－3(1＋m)＝2(2＋n)．①‎ 对于c⊥(a＋b)，有3m－n＝0.②‎ 联立①②，解得m＝－，n＝－.‎ 故c＝.‎ 答案： ‎[临门一脚]‎ ‎1．解决向量的坐标运算问题，关键是掌握线性运算法则及坐标运算的特点．一般地，已知有向线段两端点的坐标，应先求出向量的坐标．解题时注意利用向量相等(横、纵坐标分别相等)建立方程(组)求解．‎ ‎2．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2－x2y1＝0.‎ 题型三　平面向量的数量积 ‎1．已知向量a＝(3，－2)，b＝(1,0)，向量λa＋b与a－2b垂直，则实数λ的值为________．‎ 解析：依题意，λa＋b＝(3λ＋1，－2λ)，a－2b＝(1，－2)，所以(λa＋b)·(a－2b)＝7λ＋1＝0，λ＝－.‎ 答案：－ ‎2．已知向量与的夹角为120°，且||＝2，||＝3.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．‎ 解析：由题意得，·＝－3，由·＝(λ＋)·(－ ‎)＝0，得λ·－λ2＋2－·＝0，即－3λ－4λ＋9＋3＝0，故λ＝.‎ 答案： ‎3．(2019·丹阳中学月考)在直角坐标系中，已知三点A(a,1)，B(3，b)，C(4,5)，O为坐标原点．若向量与在向量方向上的投影相等，且·＝－10，则a－b＝________.‎ 解析：因为向量与在向量方向上的投影相等，所以·＝·，‎ ‎3a＋b＝12＋5b，即3a－4b－12＝0，①‎ 又＝(3－a，b－1)，＝(4,5)，所以·＝－4a＋5b＋7＝－10，即4a－5b－17＝0，②‎ ‎②－①得a－b＝5.‎ 答案：5‎ ‎4．(2018·武汉调研)在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1.边DC上的动点P(包含点D，C)与CB延长线上的动点Q(包含点B)满足||＝||，则·的最小值为________．‎ 解析：以点A为坐标原点，分别以AB，AD所在直线为x轴，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，1)，Q(2，y)，由题意知0≤x≤2，－2≤y≤0.∵||＝||，∴|x|＝|y|，∴x＝－y.∵＝(－x，－1)，＝(2－x，y－1)，∴·＝－x(2－x)－(y－1)＝x2－2x－y＋1＝x2－x＋1＝2＋，∴当x＝时，·取得最小值，为.‎ 答案： ‎ [临门一脚]‎ ‎1．若向量a，b，c满足a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c.‎ ‎2．两个向量a与b的夹角为锐角(钝角)，则有a·b>0(a·b<0)，反之不成立(因为夹角为0(π)时不成立)．‎ ‎3．在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对|a|＝要引起足够重视，是求模常用的公式．‎ ‎4．数量积的运算中，a·b＝0⇔a⊥b，是对非零向量而言的，若a＝0，虽然有a·b＝0，但不能说a⊥b.‎ ‎5．平面向量的求解常见方法有定义法、坐标法、转化法、极化恒等式法、投影法．‎ B组——高考提速练 ‎1．(2019·盐城中学模拟)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3，m)，若a∥(2a－b)，则a在b方向上的投影是________．‎ 解析：2a－b＝(2,4)－(－3，m)＝(5,4－m)，因为a∥(2a－b)，所以1×(4－m)－2×5＝0，所以m＝－6，所以b＝(－3，－6)，所以a在b方向上的投影是＝＝－.‎ 答案：－ ‎2.如图，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，则＝________.‎ 解析：因为＝－＝a－b，又＝3，所以＝＝(a－b)，‎ 所以＝＋＝b＋(a－b)＝a＋b.‎ 答案：a＋b ‎3．(2019·白蒲中学模拟)在平行四边形ABCD中，若＝x＋y，则x－y＝________.‎ 解析：在平行四边形ABCD中＝＋＝＋，所以＝－，‎ 所以x＝1，y＝－1，则x－y＝2.‎ 答案：2‎ ‎4．已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b不共线，若向量a＋kb与a－kb垂直，则k＝________.‎ 解析：因为(a＋kb)⊥(a－kb)，‎ 所以(a＋kb)·(a－kb)＝0，‎ 即|a|2－k2|b|2＝0.‎ 又因为|a|＝3，|b|＝4，所以k2＝，即k＝±.‎ 答案：± ‎5．(2019·启东中学模拟)已知||＝6，||＝2，∠AOB＝30°，若t∈R，则|＋t|的最小值为______ .‎ 解析：|＋t|＝|＋t(－)|＝|(1－t)＋t|，则|＋t|2＝(1－t)22＋t22＋2(1－t)t· ‎＝36(1－t)2＋12t2＋2t(1－t)×6×2× ‎＝12(t2－3t＋3)，当t＝时，|＋t|取得最小值3.‎ 答案：3‎ ‎6.如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，cos∠BAC＝，＝2，则·的值为________．‎ 解析：由＝2，得＝(＋2)．又＝－，AB＝AC＝3，cos∠BAC＝，所以· ＝(＋2)·(－)＝×(－9＋3)＝－2.‎ 答案：－2‎ ‎7．(2019·扬州中学模拟)已知在等腰直角三角形ABC中，BA＝BC＝2，若＝2，则·＝________.‎ 解析： 如图，‎ ·＝·(＋)‎ ‎＝2＋· ‎＝22＋||·||cos 135°‎ ‎＝4＋×2×2× ‎＝－2.‎ 答案：－2‎ ‎8．将向量＝(1,1)绕原点O逆时针方向旋转60°得到，则＝____________.‎ 解析：法一：＝(1,1)，设＝(x，y)，则||＝||＝＝，·＝||||×cos 60°＝1，又由向量的坐标运算可知·＝x＋y＝1，①‎ ‎||＝||＝＝，化简得x2＋y2＝2，②‎ 因为点B在第二象限，故x<0，所以解得 故＝.‎ 法二：因为||＝||＝＝，直线OB的倾斜角为60°＋45°＝105°，故点B的横坐标xB＝||·cos(60°＋45°)＝×＝，纵坐标yB＝||·sin(60°＋45°)＝×＝，故＝.‎ 答案： ‎9．若向量a＝(cos 15°，sin 15°)，b＝(cos 75°，sin 75°)，则a＋b与a的夹角为________．‎ 解析：a＋b＝(cos 15°＋cos 75°，sin 15°＋sin 75°)＝(cos 15°＋sin 15°，sin ‎ 15°＋cos 15°)，则(a＋b)·a＝cos 15°(cos 15°＋sin 15°)＋sin 15°(cos 15°＋sin 15°)＝1＋2cos 15°·sin 15°＝1＋sin 30°＝，‎ ‎|a＋b|＝ ‎＝ ‎＝＝，‎ cos〈a＋b，a〉＝＝＝，又〈a＋b，a〉∈[0，π]，所以〈a＋b，a〉＝.‎ 答案： ‎10.(2019·江都中学模拟)如图，在平行四边形ABCD中，M是BC的中点，且AD＝DM，N是线段BD上的动点，过点N作AM的垂线，垂足为H，设＝λ1＋λ2，则当·最小时，λ1＋λ2的值为________．‎ 答案： ‎11.如图，等边△ABC的边长为2，顶点B，C分别在x轴的非负半轴，y轴的非负半轴上移动，M为AB的中点，则·的最大值为________．‎ 解析：设∠OBC＝θ，因为BC＝2，所以B(2cos θ，0)，C(0,2sin θ)，则＝(－2cos θ，2sin θ)，设＝(x，y)，因为△ABC是边长为2的等边三角形，所以解得即＝(sin θ－cos θ，cos θ＋sin θ)，则＝＋＝(sin θ＋cos θ，cos θ＋sin θ)，因为M为AB的中点，所以＝＋＝sin θ＋cos θ，cos θ＋sin θ，所以·＝＋sin 2θ＋＋sin 2θ＋cos2θ＝sin 2θ＋cos 2θ＋＝sin(2θ＋φ)＋其中cos φ＝，sin φ＝，所以·的最大值为 eq f(5,2)＋.‎ 答案：＋ ‎12．已知△ABC的三个内角为A，B，C，重心为G，若2sin A·＋sin B·＋3sin C·＝0，则cos B＝________.‎ 解析：设a，b，c分别为角A，B，C所对的边，‎ 由正弦定理得2a·＋b·＋3c·＝0，‎ 则2a·＋b·＝－3c·＝－3c(－－)，‎ 即(2a－3c)＋(b－3c)＝0.‎ 又，不共线，所以 由此得2a＝b＝3c，所以a＝b，c＝b，‎ 于是由余弦定理得cos B＝＝.‎ 答案： ‎13．已知平面向量α，β满足|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，则|α|的取值范围为________．‎ 解析：法一：由|β|＝1，且α与β－α的夹角为120°，作向量＝α，＝β－α，则＝β，在△OAB中，∠OAB＝60°，OB＝1，则由正弦定理＝，得OA＝sin∠ABO∈，即0<|α|≤.‎ 法二：设|α|＝u，|β－α|＝v，由|β|2＝|α＋(β－α)|2＝α2＋2α·(β－α)＋(β－α)2，得v2－uv＋u2－1＝0，再由关于v的一元二次方程有解，得u2－4(u2－1)≥0，又u>0，故0