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- 2021-06-11 发布
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第57讲 坐标系
考纲要求
考情分析
命题趋势
1.理解坐标系的作用.
2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.
3.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.
4.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程,通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.
2017·全国卷Ⅱ,22
2017·全国卷Ⅲ,22
2016·全国卷Ⅰ,23
2016·北京卷,11
极坐标与直角坐标在高考中主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程.
分值:5~10分
1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换
设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.
2.极坐标系
(1)相关概念
①极坐标系:
如图所示,在平面内取一个__定点__O,点O叫做极点,自极点O引一条__射线__Ox,Ox叫做极轴;再选定一个__长度单位__、一个__角度单位__(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.
②极坐标:
一般地,没有特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数.
③点与极坐标的关系:
一般地,极坐标(ρ,θ)与__ (ρ,θ+2kπ)(k∈Z) __表示同一个点,特别地,极点O的坐标为__ (0,θ)(θ∈R) __,和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有__无数__种表示.
如果规定ρ>0,0≤θ<2π,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标__(ρ,θ)__表示;同时,极坐标(ρ,θ)表示的点也是唯一确定的.
(2)极坐标与直角坐标的互化
设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则它们之间的关系为:
3.常见曲线的极坐标方程
曲线
图形
极坐标方程
圆心在极点,半径为r的圆
ρ=r(0≤θ<2π)
圆心为(r,0),半径为r的圆
ρ=2rcos θ
圆心为,半径为r的圆
ρ=2rsin θ
(0≤θ<π)
过极点,倾斜角为α的直线
__ θ=α(ρ∈R) __
或__ θ=π+α(ρ∈R) __
过点(a,0),与极轴垂直的直线
ρcos θ=a
过点,与极轴平行的直线
ρsin θ=a
(0<θ<π)
1.思维辨析(在括号内打“√”或打“”).
(1)在伸缩变换下,直线仍然变成直线,圆仍然变成圆.( × )
(2)在伸缩变换下,椭圆可变为圆,圆可变为椭圆.( √ )
(3)过极点,倾斜角为α的直线的极坐标方程可表示为θ=α或θ=π+α. ( √ )
(4)圆心在极轴上的点(a,0)处,且过极点O的圆的极坐标方程为ρ=2asin θ.( × )
2.设平面上的伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线y=sin x的方程变为__y
=3sin_2x__.
解析 由知
代入y=sin x中得y′=3sin 2x′,即y=3sin 2x.
3.点P的直角坐标为(1,-),则点P的极坐标为__ __.
解析 因为点P(1,-)在第四象限,与原点的距离为2,且OP与x轴所成的角为-,所以点P的极坐标为.
4.曲线ρ=4sin θ与ρ=2的交点坐标为__ , __.
解析 由得sin θ=,∴θ=或.
5.在极坐标系中,曲线C1:ρ(cos θ+sin θ)=1与曲线C2:ρ=a(a>0)的一个交点在极轴上,则a=__ __.
解析 曲线C1的直角坐标方程为x+y=1,曲线C2的直角坐标方程为x2+y2=a2,曲线C1与x轴的交点坐标为,此点也在曲线C2上,代入解得a=.
一 平面直角坐标系下图形的伸缩变换
平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示,在伸缩变换的作用下,直线仍然变成直线,抛物线仍然变成抛物线,双曲线仍然变成双曲线,圆可以变成椭圆,椭圆也可以变成圆.
【例1】 (1)在同一平面直角坐标系中,已知伸缩变换φ:求点A经过φ变换所得的点A′的坐标.
(2)求直线b:y=6x经过φ:变换后所得到的直线l的方程.
解析 (1)设A′(x′,y′),由伸缩变换φ:得到由于点A的坐标为,
于是x′=3×=1,y′=×(-2)=-1,∴A′(1,-1)为所求.
(2)设直线l上任意一点P′(x′,y′),由上述可知,将代入y=6x,得2y′=6×,
∴y′=x′,即y=x为所求.
二 极坐标与直角坐标的互化
极坐标方程与普通方程的互化技巧
(1)巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方的技巧,将极坐标方程构造成含有ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,然后利用公式代入化简得到普通方程.
(2)巧借两角和差公式,转化为ρsin(θ±α)或ρ=cos(θ±α)的结构形式,进而利用互化公式得到普通方程.
(3)将直角坐标方程中的x转化为ρcos θ,将y换成ρsin θ,即可得到其极坐标方程.
【例2】 在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为3ρ2=12ρcos θ-10(ρ>0).
(1)求曲线C1的直角坐标方程;
(2)曲线C2的方程为+=1,设P,Q分别为曲线C1与曲线C2上的任意一点,求的最小值.
解析 (1)曲线C1的方程可化为3(x2+y2)=12x-10,
即(x-2)2+y2=.
(2)依题意可设Q(4cos θ,2sin θ),由(1)知圆C1的圆心坐标为C1(2,0),半径r1=.
故|QC1|==
=2,
所以|QC1|min=,所以|PQ|min=|QC1|min-r1=.
三 极坐标方程的求法与应用
已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,如果不能直接用极坐标解决,或用极坐标解决较麻烦,可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.
【例3】 (2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ=4.
(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;
(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.
解析 (1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0),
由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.
由|OM|·|OP|=16,得C2的极坐标方程为ρ=4cos θ(ρ>0).
因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).
(2)设点B的极坐标为(ρB,α).
由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB的面积
S=|OA|·ρB·sin∠AOB
=4cos α·
=2≤2+.
当α=-时,S取得最大值2+.
所以△OAB面积的最大值为2+.
1.求双曲线C:x2-=1经过φ:变换后所得曲线C′的焦点坐标.
解析 设曲线C′上任意一点P′(x′,y′),将代入x2-=1,得-=1,化简得-=1,即-=1为曲线C′的方程,可见仍是双曲线,则所求焦点坐标为F1(-5,0),F2(5,0).
2.已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-2ρ·cos=2.
(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.
解析 (1)由ρ=2知ρ2=4,所以x2+y2=4.
因为ρ2-2ρcos=2,
所以ρ2-2ρ=2.
所以x2+y2-2x-2y-2=0.
(2)将两圆直角坐标方程相减,得过两圆交点的直线方程为x+y=1.化为极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=1,即ρsin=.
3.设过原点O的直线与圆(x-1)2+y2=1的一个交点为P,点M为线段OP的中点,当点P在圆上移动一周时,求点M轨迹的极坐标方程,并说明它是什么曲线.
解析 圆(x-1)2+y2=1的极坐标方程为ρ=2cos θ,设点P
的极坐标为(ρ1,θ1),点M的极坐标为(ρ,θ),∵点M为线段OP的中点,∴ρ1=2ρ,θ1=θ,将ρ1=2ρ,θ1=θ代入圆的极坐标方程,得ρ=cos θ.∴点M轨迹的极坐标方程为ρ=cos θ,它表示圆心为点,半径为的圆.
4.(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cos θ+sin θ)-=0,M为l3与C的交点,求M的极径.
解析 (1)消去参数t得l1的普通方程为y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方程为y=(x+2).
设P(x,y),由题设得
消去k得x2-y2=4(y≠0).
所以C的普通方程为x2-y2=4(y≠0).
(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π).
联立
得cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ).
故tan θ=-,从而cos2θ=,sin2θ=.
代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4,得ρ2=5,所以交点M的极径为.
错因分析:忽略变量的取值范围,导致错误.
【例1】 求极坐标方程ρ=所对应的直角坐标方程.
解析 由ρ=(sin θ≠0),得ρ=(cos θ≠±1),
∴ρ-ρcos θ=2(cos θ≠±1),(*)
∴=x+2,化简得y2=4x+4,
当cos θ=1时,(*)式不成立;
当cos θ=-1时,由(*)式知ρ=1,∴x=ρcos θ=-1.
综上可知,y2=4x+4(x≠-1)即为所求.
【跟踪训练1】 (2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.
(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;
(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0 =2,若曲线C1与C2
的公共点都在C3上,求a.
解析 (1)消去参数t得到C1的普通方程为x2+(y-1)2=a2,则C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.
将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.
(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组
若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,由tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.
a=1时,极点也为C1,C2的公共点,且在C3上.所以a=1.
课时达标 第57讲
[解密考纲]高考中,主要涉及曲线的极坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化,能在极坐标系中给出简单图形的极坐标方程,常以解答题的形式出现.
1.求椭圆+y2=1经过伸缩变换后的曲线方程.
解析 由得①
将①代入+y2=1,得+y′2=1,即x′2+y′2=1.
因此椭圆+y2=1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2+y2=1.
2.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点A的极坐标为,直线l的极坐标方程为ρcos=a,且点A在直线l上.
(1)求a的值及直线l的直角坐标方程;
(2)圆C的参数方程为(α为参数),试判断直线l与圆C的位置关系.
解析 (1)由点A在直线l上,得cos=a,则a=,故直线l的方程可化为ρsin θ+ρcos θ=2,得直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.
(2)消去参数α,得圆C的普通方程为(x-1)2+y2=1,圆心C(1,0)到直线l的距离d==<1,所以直线l与圆C相交.
3.已知曲线C1的极坐标方程为ρ=6cos θ,曲线C2的极坐标方程为θ=(ρ∈R),曲线C1,C2相交于A,B两点.
(1)把曲线C1,C2的极坐标方程转化为直角坐标方程;
(2)求弦AB的长度.
解析 (1)曲线C2:θ=(ρ∈R)表示直线y=x,曲线C1:ρ=6cos θ ,即ρ2=6ρcos θ,所以x2+y2=6x,即(x-3)2+y2=9.
(2)∵圆心(3,0)到直线的距离d=,r=3,
∴弦长AB=2=3.
∴弦AB的长度为3.
4.在极坐标系Ox中,直线C1的极坐标方程为ρsin θ=2,点M是C1上任意一点,点P在射线OM上,且|OP|·|OM|=4,记点P的轨迹为C2,求曲线C2的极坐标方程.
解析 设 P(ρ1,θ),M(ρ2,θ),
由|OP|·|OM|=4,得ρ1ρ2=4,即ρ2=.
∵M是C1上任意一点,
∴ρ2sin θ=2,即sin θ=2,ρ1=2sin θ.
∴曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.
5.在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C1的极坐标方程为ρ2=,直线l的极坐标方程为ρ=.
(1)写出曲线C1与直线l的直角坐标方程;
(2)设Q为曲线C1上一动点,求点Q到直线l距离的最小值.
解析 (1)根据 ρ2=x2+y2,x=ρcos θ,y=ρsin θ,可得C1的直角坐标方程为x2+2y2=2,直线l的直角坐标方程为x+y=4.
(2)设Q(cos θ,sin θ),则点Q到直线l的距离为
d==≥=,
当且仅当θ+=2kπ+,即θ=2kπ+(k∈Z)时取等号.
∴点Q到直线l距离的最小值为.
6.(2018·四川绵阳诊断考试)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程是 (α为参数).以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)求曲线C的极坐标方程;
(2)设l1:θ=,l2:θ=,若l1,l2与曲线C分别交于异于原点的A,B两点,求△AOB的面积.
解析 (1)将C的参数方程化为普通方程(x-3)2+(y-4)2=25,即x2+y2-6x-8y=0,所以曲线C的极坐标方程为ρ=6cos θ+8sin θ.
(2)把θ=代入ρ=6cos θ+8sin θ,得ρ1=4+3,
所以点A的极坐标为A.
把θ=代入ρ=6cos θ+8sin θ,得ρ2=3+4,
所以点B的极坐标为B.
所以S△AOB=ρ1ρ2sin∠AOB
=(4+3)(3+4)sin=12+.