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  • 2021-06-11 发布

【数学】2019届一轮复习北师大版 坐标系 学案

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第57讲 坐标系 考纲要求 考情分析 命题趋势 ‎1.理解坐标系的作用.‎ ‎2.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.‎ ‎3.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.‎ ‎4.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程,通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程,理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.‎ ‎2017·全国卷Ⅱ,22‎ ‎2017·全国卷Ⅲ,22‎ ‎2016·全国卷Ⅰ,23‎ ‎2016·北京卷,11‎ ‎ 极坐标与直角坐标在高考中主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程.‎ 分值:5~10分 ‎1.平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换φ:的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.‎ ‎2.极坐标系 ‎(1)相关概念 ‎①极坐标系:‎ 如图所示,在平面内取一个__定点__O,点O叫做极点,自极点O引一条__射线__Ox,Ox叫做极轴;再选定一个__长度单位__、一个__角度单位__(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.‎ ‎②极坐标:‎ 一般地,没有特殊说明时,我们认为ρ≥0,θ可取任意实数.‎ ‎③点与极坐标的关系:‎ 一般地,极坐标(ρ,θ)与__ (ρ,θ+2kπ)(k∈Z) __表示同一个点,特别地,极点O的坐标为__ (0,θ)(θ∈R) __,和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有__无数__种表示.‎ 如果规定ρ>0,0≤θ<2π,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标__(ρ,θ)__表示;同时,极坐标(ρ,θ)表示的点也是唯一确定的.‎ ‎(2)极坐标与直角坐标的互化 设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则它们之间的关系为: ‎3.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为r的圆 ρ=r(0≤θ<2π)‎ 圆心为(r,0),半径为r的圆 ρ=2rcos θ 圆心为,半径为r的圆 ρ=2rsin θ ‎(0≤θ<π)‎ 过极点,倾斜角为α的直线 ‎__ θ=α(ρ∈R) __‎ 或__ θ=π+α(ρ∈R) __‎ 过点(a,0),与极轴垂直的直线 ρcos θ=a 过点,与极轴平行的直线 ρsin θ=a ‎(0<θ<π)‎ ‎1.思维辨析(在括号内打“√”或打“”).‎ ‎(1)在伸缩变换下,直线仍然变成直线,圆仍然变成圆.( × )‎ ‎(2)在伸缩变换下,椭圆可变为圆,圆可变为椭圆.( √ )‎ ‎(3)过极点,倾斜角为α的直线的极坐标方程可表示为θ=α或θ=π+α. ( √ )‎ ‎(4)圆心在极轴上的点(a,0)处,且过极点O的圆的极坐标方程为ρ=2asin θ.( × )‎ ‎2.设平面上的伸缩变换的坐标表达式为则在这一坐标变换下正弦曲线y=sin x的方程变为__y ‎=3sin_2x__.‎ 解析 由知 代入y=sin x中得y′=3sin 2x′,即y=3sin 2x.‎ ‎3.点P的直角坐标为(1,-),则点P的极坐标为__  __.‎ 解析 因为点P(1,-)在第四象限,与原点的距离为2,且OP与x轴所成的角为-,所以点P的极坐标为.‎ ‎4.曲线ρ=4sin θ与ρ=2的交点坐标为__ , __.‎ 解析 由得sin θ=,∴θ=或.‎ ‎5.在极坐标系中,曲线C1:ρ(cos θ+sin θ)=1与曲线C2:ρ=a(a>0)的一个交点在极轴上,则a=__  __.‎ 解析 曲线C1的直角坐标方程为x+y=1,曲线C2的直角坐标方程为x2+y2=a2,曲线C1与x轴的交点坐标为,此点也在曲线C2上,代入解得a=.‎ 一 平面直角坐标系下图形的伸缩变换 平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示,在伸缩变换的作用下,直线仍然变成直线,抛物线仍然变成抛物线,双曲线仍然变成双曲线,圆可以变成椭圆,椭圆也可以变成圆.‎ ‎【例1】 (1)在同一平面直角坐标系中,已知伸缩变换φ:求点A经过φ变换所得的点A′的坐标.‎ ‎(2)求直线b:y=6x经过φ:变换后所得到的直线l的方程.‎ 解析 (1)设A′(x′,y′),由伸缩变换φ:得到由于点A的坐标为,‎ 于是x′=3×=1,y′=×(-2)=-1,∴A′(1,-1)为所求.‎ ‎(2)设直线l上任意一点P′(x′,y′),由上述可知,将代入y=6x,得2y′=6×,‎ ‎∴y′=x′,即y=x为所求.‎ 二 极坐标与直角坐标的互化 极坐标方程与普通方程的互化技巧 ‎(1)巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方的技巧,将极坐标方程构造成含有ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,然后利用公式代入化简得到普通方程.‎ ‎(2)巧借两角和差公式,转化为ρsin(θ±α)或ρ=cos(θ±α)的结构形式,进而利用互化公式得到普通方程.‎ ‎(3)将直角坐标方程中的x转化为ρcos θ,将y换成ρsin θ,即可得到其极坐标方程.‎ ‎【例2】 在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为3ρ2=12ρcos θ-10(ρ>0).‎ ‎(1)求曲线C1的直角坐标方程;‎ ‎(2)曲线C2的方程为+=1,设P,Q分别为曲线C1与曲线C2上的任意一点,求的最小值.‎ 解析 (1)曲线C1的方程可化为3(x2+y2)=12x-10,‎ 即(x-2)2+y2=. ‎ ‎(2)依题意可设Q(4cos θ,2sin θ),由(1)知圆C1的圆心坐标为C1(2,0),半径r1=.‎ 故|QC1|== ‎=2,‎ 所以|QC1|min=,所以|PQ|min=|QC1|min-r1=.‎ 三 极坐标方程的求法与应用 已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,如果不能直接用极坐标解决,或用极坐标解决较麻烦,可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.‎ ‎【例3】 (2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为ρcos θ=4.‎ ‎(1)M为曲线C1上的动点,点P在线段OM上,且满足|OM|·|OP|=16,求点P的轨迹C2的直角坐标方程;‎ ‎(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求△OAB面积的最大值.‎ 解析 (1)设P的极坐标为(ρ,θ)(ρ>0),M的极坐标为(ρ1,θ)(ρ1>0),‎ 由题设知|OP|=ρ,|OM|=ρ1=.‎ 由|OM|·|OP|=16,得C2的极坐标方程为ρ=4cos θ(ρ>0).‎ 因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x≠0).‎ ‎(2)设点B的极坐标为(ρB,α).‎ 由题设知|OA|=2,ρB=4cos α,于是△OAB的面积 S=|OA|·ρB·sin∠AOB ‎=4cos α· ‎=2≤2+.‎ 当α=-时,S取得最大值2+.‎ 所以△OAB面积的最大值为2+.‎ ‎1.求双曲线C:x2-=1经过φ:变换后所得曲线C′的焦点坐标.‎ 解析 设曲线C′上任意一点P′(x′,y′),将代入x2-=1,得-=1,化简得-=1,即-=1为曲线C′的方程,可见仍是双曲线,则所求焦点坐标为F1(-5,0),F2(5,0).‎ ‎2.已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ=2,ρ2-2ρ·cos=2.‎ ‎(1)把圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程;‎ ‎(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程.‎ 解析 (1)由ρ=2知ρ2=4,所以x2+y2=4.‎ 因为ρ2-2ρcos=2,‎ 所以ρ2-2ρ=2.‎ 所以x2+y2-2x-2y-2=0.‎ ‎(2)将两圆直角坐标方程相减,得过两圆交点的直线方程为x+y=1.化为极坐标方程为ρcos θ+ρsin θ=1,即ρsin=.‎ ‎3.设过原点O的直线与圆(x-1)2+y2=1的一个交点为P,点M为线段OP的中点,当点P在圆上移动一周时,求点M轨迹的极坐标方程,并说明它是什么曲线.‎ 解析 圆(x-1)2+y2=1的极坐标方程为ρ=2cos θ,设点P 的极坐标为(ρ1,θ1),点M的极坐标为(ρ,θ),∵点M为线段OP的中点,∴ρ1=2ρ,θ1=θ,将ρ1=2ρ,θ1=θ代入圆的极坐标方程,得ρ=cos θ.∴点M轨迹的极坐标方程为ρ=cos θ,它表示圆心为点,半径为的圆.‎ ‎4.(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P,当k变化时,P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)写出C的普通方程;‎ ‎(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l3:ρ(cos θ+sin θ)-=0,M为l3与C的交点,求M的极径.‎ 解析 (1)消去参数t得l1的普通方程为y=k(x-2);消去参数m得l2的普通方程为y=(x+2).‎ 设P(x,y),由题设得 消去k得x2-y2=4(y≠0).‎ 所以C的普通方程为x2-y2=4(y≠0).‎ ‎(2)C的极坐标方程为ρ2(cos2θ-sin2θ)=4(0<θ<2π,θ≠π).‎ 联立 得cos θ-sin θ=2(cos θ+sin θ).‎ 故tan θ=-,从而cos2θ=,sin2θ=.‎ 代入ρ2(cos2θ-sin2θ)=4,得ρ2=5,所以交点M的极径为.‎ 错因分析:忽略变量的取值范围,导致错误.‎ ‎【例1】 求极坐标方程ρ=所对应的直角坐标方程.‎ 解析 由ρ=(sin θ≠0),得ρ=(cos θ≠±1),‎ ‎∴ρ-ρcos θ=2(cos θ≠±1),(*)‎ ‎∴=x+2,化简得y2=4x+4,‎ 当cos θ=1时,(*)式不成立;‎ 当cos θ=-1时,由(*)式知ρ=1,∴x=ρcos θ=-1.‎ 综上可知,y2=4x+4(x≠-1)即为所求.‎ ‎【跟踪训练1】 (2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.‎ ‎(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;‎ ‎(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0 =2,若曲线C1与C2‎ 的公共点都在C3上,求a.‎ 解析 (1)消去参数t得到C1的普通方程为x2+(y-1)2=a2,则C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆.‎ 将x=ρcos θ,y=ρsin θ代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为ρ2-2ρsin θ+1-a2=0.‎ ‎(2)曲线C1,C2的公共点的极坐标满足方程组 若ρ≠0,由方程组得16cos2θ-8sin θcos θ+1-a2=0,由tan θ=2,可得16cos2θ-8sin θcos θ=0,从而1-a2=0,解得a=-1(舍去)或a=1.‎ a=1时,极点也为C1,C2的公共点,且在C3上.所以a=1.‎ 课时达标 第57讲 ‎[解密考纲]高考中,主要涉及曲线的极坐标方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化,能在极坐标系中给出简单图形的极坐标方程,常以解答题的形式出现.‎ ‎1.求椭圆+y2=1经过伸缩变换后的曲线方程.‎ 解析 由得①‎ 将①代入+y2=1,得+y′2=1,即x′2+y′2=1.‎ 因此椭圆+y2=1经伸缩变换后得到的曲线方程是x2+y2=1.‎ ‎2.在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知点A的极坐标为,直线l的极坐标方程为ρcos=a,且点A在直线l上.‎ ‎(1)求a的值及直线l的直角坐标方程;‎ ‎(2)圆C的参数方程为(α为参数),试判断直线l与圆C的位置关系.‎ 解析 (1)由点A在直线l上,得cos=a,则a=,故直线l的方程可化为ρsin θ+ρcos θ=2,得直线l的直角坐标方程为x+y-2=0.‎ ‎(2)消去参数α,得圆C的普通方程为(x-1)2+y2=1,圆心C(1,0)到直线l的距离d==<1,所以直线l与圆C相交.‎ ‎3.已知曲线C1的极坐标方程为ρ=6cos θ,曲线C2的极坐标方程为θ=(ρ∈R),曲线C1,C2相交于A,B两点.‎ ‎(1)把曲线C1,C2的极坐标方程转化为直角坐标方程;‎ ‎(2)求弦AB的长度.‎ 解析 (1)曲线C2:θ=(ρ∈R)表示直线y=x,曲线C1:ρ=6cos θ ,即ρ2=6ρcos θ,所以x2+y2=6x,即(x-3)2+y2=9.‎ ‎(2)∵圆心(3,0)到直线的距离d=,r=3,‎ ‎∴弦长AB=2=3.‎ ‎∴弦AB的长度为3.‎ ‎4.在极坐标系Ox中,直线C1的极坐标方程为ρsin θ=2,点M是C1上任意一点,点P在射线OM上,且|OP|·|OM|=4,记点P的轨迹为C2,求曲线C2的极坐标方程.‎ 解析 设 P(ρ1,θ),M(ρ2,θ),‎ 由|OP|·|OM|=4,得ρ1ρ2=4,即ρ2=.‎ ‎∵M是C1上任意一点,‎ ‎∴ρ2sin θ=2,即sin θ=2,ρ1=2sin θ.‎ ‎∴曲线C2的极坐标方程为ρ=2sin θ.‎ ‎5.在直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C1的极坐标方程为ρ2=,直线l的极坐标方程为ρ=.‎ ‎(1)写出曲线C1与直线l的直角坐标方程;‎ ‎(2)设Q为曲线C1上一动点,求点Q到直线l距离的最小值.‎ 解析 (1)根据 ρ2=x2+y2,x=ρcos θ,y=ρsin θ,可得C1的直角坐标方程为x2+2y2=2,直线l的直角坐标方程为x+y=4.‎ ‎(2)设Q(cos θ,sin θ),则点Q到直线l的距离为 d==≥=,‎ 当且仅当θ+=2kπ+,即θ=2kπ+(k∈Z)时取等号.‎ ‎∴点Q到直线l距离的最小值为.‎ ‎6.(2018·四川绵阳诊断考试)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程是 (α为参数).以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系.‎ ‎(1)求曲线C的极坐标方程;‎ ‎(2)设l1:θ=,l2:θ=,若l1,l2与曲线C分别交于异于原点的A,B两点,求△AOB的面积.‎ 解析 (1)将C的参数方程化为普通方程(x-3)2+(y-4)2=25,即x2+y2-6x-8y=0,所以曲线C的极坐标方程为ρ=6cos θ+8sin θ.‎ ‎(2)把θ=代入ρ=6cos θ+8sin θ,得ρ1=4+3,‎ 所以点A的极坐标为A.‎ 把θ=代入ρ=6cos θ+8sin θ,得ρ2=3+4,‎ 所以点B的极坐标为B.‎ 所以S△AOB=ρ1ρ2sin∠AOB ‎=(4+3)(3+4)sin=12+.‎