人教a版数学【选修1-1】作业：2-3-2抛物线的简单几何性质（含答案） 6页

2.3.2 抛物线的简单几何性质 课时目标 1.了解抛物线的几何图形，知道抛物线的简单几何性质，学会利用抛物线 方程研究抛物线的几何性质的方法.2.了解抛物线的简单应用． 1．抛物线的简单几何性质 设抛物线的标准方程为 y2＝2px(p>0) (1)范围：抛物线上的点(x，y)的横坐标 x 的取值范围是__________，抛物线在 y 轴的 ______侧，当 x 的值增大时，|y|也________，抛物线向右上方和右下方无限延伸． (2)对称性：抛物线关于________对称，抛物线的对称轴叫做________________． (3) 顶 点 ： 抛 物 线 和 它 的 轴 的 交 点 叫 做 抛 物 线 的 ________ ． 抛 物 线 的 顶 点 为 ____________． (4)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的 __________，用 e 表示，其值为______． (5)抛物线的焦点到其准线的距离为______，这就是 p 的几何意义，顶点到准线的距离 为p 2 ，焦点到顶点的距离为______． 2．直线与抛物线的位置关系 直线 y＝kx＋b 与抛物线 y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于 x 的方程 ____________________的解的个数．当 k≠0 时，若Δ>0，则直线与抛物线有______个 不同的公共点；当Δ＝0 时，直线与抛物线有______个公共点；当Δ<0 时，直线与抛物线 ________公共点．当 k＝0 时，直线与抛物线的轴______________，此时直线与抛物线有 ______个公共点． 3．抛物线的焦点弦 设抛物线 y2＝2px(p>0)，AB 为过焦点的一条弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点 M(x0， y0)，则有以下结论． (1)以 AB 为直径的圆与准线相切． (2)|AB|＝2(x0＋p 2)(焦点弦长与中点坐标的关系)． (3)|AB|＝x1＋x2＋p. (4)A、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即 x1x2＝p2 4 ，y1y2＝－p2. 一、选择题 1．顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点(－2,3)，它的方程是( ) A．x2＝－9 2y 或 y2＝4 3x B．y2＝－9 2x 或 x2＝4 3y C．y2＝－9 2x D．x2＝4 3y 2．若抛物线 y2＝2px (p>0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物 线焦点 F 的距离的关系是( ) A．成等差数列 B．既成等差数列又成等比数列 C．成等比数列 D．既不成等比数列也不成等差数列 3．已知点 P 是抛物线 y2＝2x 上的一个动点，则点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到该抛物线 准线的距离之和的最小值为( ) A. 17 2 B．3 C. 5 D.9 2 4．设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2＝ax(a≠0)的焦点 F，且和 y 轴交于点 A，若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4，则抛物线方程为( ) A．y2＝±4x B．y2＝±8x C．y2＝4x D．y2＝8x 5．设直线 l1：y＝2x，直线 l2 经过点 P(2,1)，抛物线 C：y2＝4x，已知 l1、l2 与 C 共有三 个交点，则满足条件的直线 l2 的条数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 6．过抛物线 y2＝ax (a>0)的焦点 F 作一直线交抛物线于 P、Q 两点，若 PF 与 FQ 的长 分别为 p、q，则1 p ＋1 q 等于( ) A．2a B． 1 2a C．4a D．4 a 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7．已知抛物线 C 的顶点为坐标原点，焦点在 x 轴上，直线 y＝x 与抛物线 C 交于 A，B 两点，若 P(2，2)为 AB 的中点，则抛物线 C 的方程为________． 8．已知 F 是抛物线 C：y2＝4x 的焦点，A、B 是抛物线 C 上的两个点，线段 AB 的中点 为 M(2,2)，则△ABF 的面积等于________． 9．过抛物线 x2＝2py (p>0)的焦点 F 作倾斜角为 30°的直线，与抛物线分别交于 A、B 两 点(点 A 在 y 轴的左侧)，则|AF| |FB| ＝________. 三、解答题 10．设抛物线 y＝mx2 (m≠0)的准线与直线 y＝1 的距离为 3，求抛物线的标准方程． 11．过点 Q(4,1)作抛物线 y2＝8x 的弦 AB，恰被 Q 所平分，求 AB 所在的直线方程． 能力提升 12．设抛物线 y2＝8x 的焦点为 F，准线为 l，P 为抛物线上一点，PA⊥l，A 为垂足，如 果直线 AF 的斜率为－ 3，那么|PF|等于( ) A．4 3 B．8 C．8 3 D．16 13．已知直线 l 经过抛物线 y2＝4x 的焦点 F，且与抛物线相交于 A、B 两点． (1)若|AF|＝4，求点 A 的坐标； (2)求线段 AB 的长的最小值． 1．抛物线上一点与焦点的距离问题，可转化为该点到准线的距离． 2．直线与抛物线的位置关系，可利用直线方程与抛物线方程联立而成的方程组的解来 判定；“中点弦”问题也可使用“点差法”． 2．3.2 抛物线的简单几何性质 答案 知识梳理 1．(1)x≥0 右 增大 (2)x 轴 抛物线的轴 (3)顶点 坐标原点 (4)离心率 1 (5)p p 2 2．k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0 两 一 没有 平行或重合 一 作业设计 1．B [由题意知所求抛物线开口向上或开口向左，利用待定系数法可求得方程．] 2．A [设三点为 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)， 则 y21＝2px1，y22＝2px2，y23＝2px3， 因为 2y22＝y21＋y23，所以 x1＋x3＝2x2， 即|P1F|－p 2 ＋|P3F|－p 2 ＝2 |P2F|－p 2 ， 所以|P1F|＋|P3F|＝2|P2F|.] 3．A [ 如图所示，由抛物线的定义知，点 P 到准线 x＝－1 2 的距离 d 等于点 P 到焦点的距离|PF|. 因此点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到准线的距离之和可转化为点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到 点 F 的距离之和，其最小值为点 M(0,2)到点 F 1 2 ，0 的距离，则距离之和的最小值为 4＋1 4 ＝ 17 2 .] 4．B [y2＝ax 的焦点坐标为 a 4 ，0 ，过焦点且斜率为 2 的直线方程为 y＝2 x－a 4 ，令 x ＝0 得 y＝－a 2. ∴1 2 ×|a| 4 ×|a| 2 ＝4，∴a2＝64，∴a＝±8.] 5．C [∵点 P(2,1)在抛物线内部，且直线 l1 与抛物线 C 相交于 A，B 两点，∴过点 P 的直线 l2 在过点 A 或点 B 或与 x 轴平行时符合题意．∴满足条件的直线 l2 共有 3 条．] 6．D [可采用特殊值法，设 PQ 过焦点 F a 4 ，0 且垂直于 x 轴，则|PF|＝p＝xP＋a 4 ＝a 4 ＋ a 4 ＝a 2 ， |QF|＝q＝a 2 ，∴1 p ＋1 q ＝2 a ＋2 a ＝4 a.] 7．y2＝4x 解析 设抛物线方程为 y2＝ax.将 y＝x 代入 y2＝ax，得 x＝0 或 x＝a，∴a 2 ＝2.∴a＝4. ∴抛物线方程为 y2＝4x. 8．2 解析 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 y21＝4x1，y22＝4x2. ∴(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)． ∵x1≠x2，∴y1－y2 x1－x2 ＝ 4 y1＋y2 ＝1. ∴直线 AB 的方程为 y－2＝x－2，即 y＝x. 将其代入 y2＝4x，得 A(0,0)、B(4,4)． ∴|AB|＝4 2.又 F(1,0)到 y＝x 的距离为 2 2 ， ∴S△ABF＝1 2 × 2 2 ×4 2＝2. 9.1 3 解析 抛物线 x2＝2py (p>0)的焦点为 F 0，p 2 ，则直线 AB 的方程为 y＝ 3 3 x＋p 2 ， 由 x2＝2py， y＝ 3 3 x＋p 2 ， 消去 x，得 12y2－20py＋3p2＝0，解得 y1＝p 6 ，y2＝3p 2 . 由题意可设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线的定义，可知|AF| |FB| ＝ y1＋p 2 y2＋p 2 ＝ p 6 ＋p 2 3p 2 ＋p 2 ＝1 3. 10．解 由 y＝mx2 (m≠0)可化为 x2＝1 my， 其准线方程为 y＝－ 1 4m. 由题意知－ 1 4m ＝－2 或－ 1 4m ＝4， 解得 m＝1 8 或 m＝－ 1 16. 则所求抛物线的标准方程为 x2＝8y 或 x2＝－16y. 11．解 方法一 设以 Q 为中点的弦 AB 端点坐标为 A(x1，y1)、B(x2，y2)， 则有 y21＝8x1， ① y22＝8x2， ② ∵Q(4,1)是 AB 的中点， ∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝2. ③ ①－②，得(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)． ④ 将③代入④得 y1－y2＝4(x1－x2)， 即 4＝y1－y2 x1－x2 ，∴k＝4. ∴所求弦 AB 所在的直线方程为 y－1＝4(x－4)，即 4x－y－15＝0. 方法二 设弦 AB 所在直线方程为 y＝k(x－4)＋1. 由 y2＝8x， y＝kx－4＋1， 消去 x， 得 ky2－8y－32k＋8＝0， 此方程的两根就是线段端点 A、B 两点的纵坐标，由根与系数的关系和中点坐标公式， 得 y1＋y2＝8 k ，又 y1＋y2＝2，∴k＝4. ∴所求弦 AB 所在的直线方程为 4x－y－15＝0. 12. B [如图所示，直线 AF 的方程为 y＝－ 3(x－2)，与准线方程 x＝－2 联立得 A(－2，4 3)． 设 P(x0,4 3)，代入抛物线 y2＝8x，得 8x0＝48，∴x0＝6， ∴|PF|＝x0＋2＝8，选 B.] 13．解 由 y2＝4x，得 p＝2，其准线方程为 x＝－1，焦点 F(1,0)．设 A(x1，y1)， B(x2，y2)． 分别过 A、B 作准线的垂线，垂足为 A′、B′. (1)由抛物线的定义可知，|AF|＝x1＋p 2 ， 从而 x1＝4－1＝3. 代入 y2＝4x，解得 y1＝±2 3. ∴点 A 的坐标为 (3,2 3)或(3，－2 3)． (2)当直线 l 的斜率存在时， 设直线 l 的方程为 y＝k(x－1)． 与抛物线方程联立 y＝kx－1 y2＝4x ， 消去 y，整理得 k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0， 因为直线与抛物线相交于 A、B 两点， 则 k≠0，并设其两根为 x1，x2，则 x1＋x2＝2＋4 k2. 由抛物线的定义可知， |AB|＝x1＋x2＋p＝4＋4 k2>4. 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x＝1，与抛物线相交于 A(1,2)，B(1，－2)， 此时|AB|＝4， 所以，|AB|≥4，即线段 AB 的长的最小值为 4.