2020_2021学年新教材高中数学第二章函数3函数的单调性和最值第1课时函数的单调性课件北师大版必修第一册 34页

§3 　函数的单调性和最值 第 1 课时　函数的单调性 激趣诱思 知识点拨 我们知道 ,“ 记忆 ” 在我们的学习过程中扮演着非常重要的角色 , 因此有关记忆的规律一直都是人们研究的课题 . 德国心理学家艾宾浩斯曾经对记忆保持量进行了系统的实验研究 , 并给出了类似右图所示的记忆规律 . 如果我们以 x 表示时间间隔 ( 单位 :h), y 表示记忆保持量 , 则不难看出 , 图中 y 是 x 的函数 , 记这个函数为 y=f ( x ) . 这个函数反映出记忆具有什么规律 ? 你能从中得到什么启发 ? 激趣诱思 知识点拨 一、增函数、减函数的 定义 激趣诱思 知识点拨 名师点析 x 1 , x 2 的三个特征 : (1) 同区间性 , 即 x 1 , x 2 ∈ I ; (2) 任意性 , 即不可用区间 I 上的两个特殊值代替 x 1 , x 2 ; (3) 有序性 , 即需要区分大小 , 通常规定 x 1 x 2 ⇔ f ( x 1 ) >f ( x 2 ) . (2) 若 f ( x ) 在区间 I 上单调递减 , 则 x 1 f ( x 2 ), x 1 >x 2 ⇔ f ( x 1 ) 0 . 设 y=ax- 1, x ∈ ( -∞ ,1), 因为 a> 0, 所以 yg (1 - 3 t ), 求 t 的取值范围 . 解 : ∵ g ( x ) 在区间 [ - 2,2] 上单调递增 , 且 g ( t ) >g (1 - 3 t ), 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 复合函数单调性的 判 断 对于复合函数 f ( g ( x )), 设 t=g ( x ) 在区间 [ a , b ] 上是单调函数 , 且 y=f ( t ) 在区间 [ g ( a ), g ( b )] 或区间 [ g ( b ), g ( a )] 上也是单调函数 , 那么 f ( g ( x )) 在区间 [ a , b ] 上的单调性如何呢 ? 下面我们来探讨一下 . (1) 若 t=g ( x ) 在区间 [ a , b ] 上单调递增 , 且 y=f ( t ) 也单调递增 : 任取 x 1 , x 2 ∈ [ a , b ], x 1 f ( g ( x 2 )), 则根据减函数的定义知 f ( g ( x )) 在区间 [ a , b ] 上单调递减 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 类似地 , 我们不难发现 : 当 t=g ( x ) 在区间 [ a , b ] 上单调递减 , 且 y=f ( t ) 单调递增时 , 则 f ( g ( x )) 在区间 [ a , b ] 上单调递减 ; 当 t=g ( x ) 在区间 [ a , b ] 上单调递减 , 且 y=f ( t ) 单调递减时 , 则 f ( g ( x )) 在区间 [ a , b ] 上单调递增 . 根据上面的探讨 , y=f ( g ( x )) 在区间 [ a , b ] 上的单调性如下表所示 , 简记为 “ 同增异减 ” . 若一个函数是由多个基本函数复合而成的 , 则此复合函数的单调性由基本函数中减函数的个数决定 . 若减函数有偶数个 , 则这个复合函数为增函数 ; 若减函数有奇数个 , 则这个复合函数为减函数 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 典 例 已知 函数 f ( x ) 在定义域 [0, +∞ ) 上单调递减 , 则 f (1 -x 2 ) 的单调递减区间为 　　　　　 .   解析 : ∵ f ( x ) 的定义域为 [0, +∞ ), ∴ 1 -x 2 ≥ 0, 即 x 2 ≤ 1, 解得 - 1 ≤ x ≤ 1 . 令 u= 1 -x 2 ( u ≥ 0), 则 f (1 -x 2 ) =f ( u ) . 当 x ∈ [0,1] 时 , u= 1 -x 2 单调递减 , 则 f (1 -x 2 ) 单调递增 ; 当 x ∈ [ - 1,0] 时 , u= 1 -x 2 单调递增 , 则 f (1 -x 2 ) 单调递减 . 故 f (1 -x 2 ) 的单调递减区间 为 [ - 1,0] . 答案 : [ - 1,0] 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 对于复合函数 y=f ( g ( x )), 把函数 y=f ( g ( x )) 通过中间变量 t 分解为两个函数 : 外层函数 y=f ( t ) 和内层函数 t=g ( x ), 内层函数的值域是外层函数定义域的子集 . 要先确定复合函数的定义域 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1 . 若函数 y= (2 k+ 1) x+b 在 ( -∞ , +∞ ) 上是减函数 , 则 k 的取值范围是 ( 　　 ) 答案 : D 　 解析 : 当 2 k+ 1 < 0, 即 k <- 时 , 函数 y= (2 k+ 1) x+b 在 ( -∞ , +∞ ) 上是减函数 . 2 . 函数 y=f ( x ), x ∈ [ - 4,4] 的图象如图所示 , 则函数 y=f ( x ) 的所有单调递减区间为 ( 　　 ) A.[ - 4, - 2] B .[1,4] C.[ - 4, - 2] 和 [1,4] D .[ - 4, - 2] ∪ [1,4] 答案 : C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3 . 若函数 f ( x ) =x 2 + 3 ax+ 5 在区间 ( -∞ ,5) 上单调递减 , 则实数 a 的取值范围是 ( 　　 ) 答案 : A 　 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4 . 已知 函数 f ( x ) 在区间 [ - 1,1] 上单调递增 , 且 f ( x- 2)