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- 2021-06-11 发布
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第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系
[考纲传真] 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．
1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：dr⇔相离．
(2)代数法：联立直线l与圆C的方程，消去y(或x)，得一元二次方程，计算判别式Δ＝b2－4ac，Δ>0⇔相交，Δ＝0⇔相切，Δ<0⇔相离．
2．圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0).
几何法：圆心距d与r1，r2的关系
代数法：联立两个圆的方程组成方程组的解的情况
相离
d>r1＋r2
无解
外切
d＝r1＋r2
一组实数解
相交
|r2－r1|0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B．相交
C．外切 D．相离
B [法一：由得两交点为(0,0)，(－a，a)．
∵圆M截直线所得线段长度为2，
∴＝2.又a>0，∴a＝2.
∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0,2)，半径r1＝2.
又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心N(1,1)，半径r2＝1，
∴|MN|＝＝.
∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1<|MN|<3，∴两圆相交．
法二：∵x2＋y2－2ay＝0(a>0)⇔x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，
∴M(0，a)，r1＝a.
∵圆M截直线x＋y＝0所得线段的长度为2，∴圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝＝，解得a＝2.
以下同法一．]
[规律方法] 1.圆与圆的位置关系取决于圆心距与两个半径的和与差的大小关系．
2．若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
3．若两圆相交，则两圆的连心线垂直平分公共弦．
[变式训练2] 若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是__________．
4 [由题意⊙O1与⊙O在A处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，
∴O1A⊥OA.
又∵|OA|＝，|O1A|＝2，
∴|OO1|＝5.
又A，B关于OO1对称，
∴AB为Rt△OAO1斜边上高的2倍．
又∵·OA·O1A＝OO1·AC，得AC＝2.
∴AB＝4.]
直线与圆的综合问题
(2016·江苏高考改编)如图841，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．
图841
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程．
[解] 圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，
所以圆心M(6,7)，半径为5. 1分
(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．
因为圆N与x轴相切，与圆M外切，
所以0
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