高三数学总复习学案20 11页

学案 20 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图像及 三角函数模型的简单应用 导学目标： 1.了解函数 y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出 y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了 解参数 A，ω，φ对函数图象变化的影响.2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模 型，会用三角函数解决一些简单实际问题． 自主梳理 1．用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图 用五点法画 y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点．如下表所示． X Ωx＋φ y＝ Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0 2.图象变换：函数 y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象可由函数 y＝sin x 的图象作如下变 换得到： （1）相位变换：y＝sin x  y＝sin(x＋φ)，把 y＝sin x 图象上所有的点向____(φ>0)或向 ____(φ<0)平行移动__________个单位． （2）周期变换：y＝sin (x＋φ)→y＝sin(ωx＋φ)，把 y＝sin(x＋φ)图象上各点的横坐标 ____(0<ω<1)或____(ω>1)到原来的________倍(纵坐标不变)． （3）振幅变换：y＝sin (ωx＋φ)→y＝Asin(ωx＋φ)，把 y＝sin(ωx＋φ)图象上各点的纵坐 标______(A>1)或______(00，ω>0)，x∈(－∞，＋∞)表示一个振动量时，则____ 叫做振幅，T＝________叫做周期，f＝______叫做频率，________叫做相位，____叫做初相． 函数 y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为____________．y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为 ________． 自我检测 1．(2011·池州月考)要得到函数 y＝sin 2x－π 4 的图象，可以把函数 y＝sin 2x 的图象( ) A．向左平移π 8 个单位 B．向右平移π 8 个单位 C．向左平移π 4 个单位 D．向右平移π 4 个单位 2．已知函数 f(x)＝sin ωx＋π 4 (x∈R，ω>0)的最小正周期为π.将 y＝f(x)的图象向左平移 |φ|个单位长度，所得图象关于 y 轴对称，则φ的一个值是 ( ) A.π 2 B.3π 8 C.π 4 D.π 8 3．已知函数 f(x)＝sin(ωx＋π 4)(x∈R，ω>0)的最小正周期为π，为了得到函数 g(x)＝cos ωx 的 图 象 ， 只 要 将 y ＝ f(x) 的 图 象 ( ) A．向左平移π 8 个单位长度 B．向右平移π 8 个单位长度 C．向左平移π 4 个单位长度 D．向右平移π 4 个单位长度 4 ． (2011· 太 原 高 三 调 研 ) 函 数 y ＝ sin 2x－π 3 的 一 条 对 称 轴 方 程 是 ( ) A．x＝π 6 B．x＝π 3 C．x＝ π 12 D．x＝5π 12 5．(2011·六安月考)若动直线 x＝a 与函数 f(x)＝sin x 和 g(x)＝cos x 的图象分别交于 M、 N 两 点 ， 则 |MN| 的 最 大 值 为 ( ) A．1 B. 2 C. 3 D．2 探究点一 三角函数的图象及变换 例 1 已知函数 y＝2sin 2x＋π 3 . (1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明 y ＝2sin 2x＋π 3 的图象可由 y＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到． 变式迁移 1 设 f(x)＝1 2cos2x＋ 3sin xcos x＋3 2sin2x (x∈R)． (1)画出 f(x)在 －π 2 ，π 2 上的图象； (2)求函数的单调增减区间； (3)如何由 y＝sin x 的图象变换得到 f(x)的图象？ 探究点二 求 y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 例 2 已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<π 2 ，x∈R)的图象的一部分如图所示．求 函数 f(x)的解析式． 变式迁移 2 (2011·宁波模拟)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0，|φ|<π 2)的图象与 y 轴的交点为(0,1)，它在 y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋ 2π，－2)． (1)求 f(x)的解析式及 x0 的值； (2)若锐角θ满足 cos θ＝1 3 ，求 f(4θ)的值． 探究点三 三角函数模型的简单应用 例 3 已知海湾内海浪的高度 y(米)是时间 t(0≤t≤24，单位：小时)的函数，记作 y＝ f(t)．下表是某日各时刻记录的浪高数据： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数 y＝Acos ωt＋b.(1)根据以上数据，求函 数 y＝Acos ωt＋b 的最小正周期 T，振幅 A 及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午 8∶00 至晚上 20∶00 之间， 有多少时间可供冲浪者进行运动？ 变 式 迁 移 3 交 流 电 的 电 压 E( 单 位 ： 伏 ) 与 时 间 t( 单 位 ： 秒 ) 的 关 系 可 用 E ＝ 220 3sin 100πt＋π 6 表示，求： (1)开始时的电压；(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次 取得最大值时的时间． 数形结合思想的应用 例 (12 分)设关于θ的方程 3cos θ＋sin θ＋a＝0 在区间(0,2π)内有相异的两个实根α、 β. (1)求实数 a 的取值范围； (2)求α＋β的值． 【答题模板】 解 (1)原方程可化为 sin(θ＋π 3)＝－a 2 ， 作出函数 y＝sin(x＋π 3)(x∈(0,2π))的图象． [3 分] 由图知，方程在(0,2π)内有相异实根α，β的充要条件是 －1<－a 2<1 －a 2 ≠ 3 2 . 即－20，ω>0)的图象如图所示，f(π 2)＝－2 3 ，则 f(0) 等 于 ( ) A．－2 3 B．－1 2 C.2 3 D.1 2 5．(2011·烟台月考)若函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋m(A>0，ω>0)的最大值为 4，最小值为 0， 最小正周期为π 2 ，直线 x＝π 3 是其图象的一条对称轴，则它的解析式是 ( ) A．y＝4sin 4x＋π 6 B．y＝2sin 2x＋π 3 ＋2 C．y＝2sin 4x＋π 3 ＋2 D．y＝2sin 4x＋π 6 ＋2 题号 1 2 3 4 5 答案 二、填空题(每小题 4 分，共 12 分) 6．已知函数 y＝sin(ωx＋φ) (ω>0，－π≤φ<π)的图象如图所示，则φ＝________. 7．(2010·潍坊五校联考)函数 f(x)＝cos 2x 的图象向左平移π 4 个单位长度后得到 g(x)的图 象，则 g(x)＝______. 8．(2010·福建)已知函数 f(x)＝3sin ωx－π 6 (ω>0)和 g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1 的图象的对称 轴完全相同．若 x∈ 0，π 2 ，则 f(x)的取值范围是____________． 三、解答题(共 38 分) 9．(12 分)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π 2 ，x∈R)的图象的一部分如下图 所示． (1)求函数 f(x)的解析式； (2)当 x∈[－6，－2 3]时，求函数 y＝f(x)＋f(x＋2)的最大值与最小值及相应的 x 的值． 10．(12 分)已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) (A>0，0<ω≤2 且 0≤φ≤π)是 R 上的偶函数，其 图象过点 M(0,2)．又 f(x)的图象关于点 N 3π 4 ，0 对称且在区间[0，π]上是减函数，求 f(x)的 解析式． 11．(14 分)(2010·山东)已知函数 f(x)＝sin(π－ωx)·cos ωx＋cos2ωx (ω>0)的最小正周期为 π， (1)求ω的值； (2)将函数 y＝f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的1 2 ，纵坐标不变，得到函数 y＝g(x) 的图象，求函数 y＝g(x)在区间 0， π 16 上的最小值． 答案 自主梳理 1.0－φ ω π 2 －φ ω π－φ ω 3π 2 －φ ω 2π－φ ω 0 π 2 π 3π 2 2π 2.(1)左 右 |φ| (2)伸长 缩短 1 ω (3)伸长 缩短 A 3.A 2π ω 1 T ωx＋φ φ 2π |ω| π |ω| 自我检测 1．B 2.D 3.A 4.D 5.B 课堂活动区 例 1 解题导引 (1)作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出一个周 期上的简图后，应向两边伸展一下，以示整个定义域上的图象； (2)变换法作图象的关键是看 x 轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利 用ωx＋φ＝ω x＋φ ω 来确定平移单位． 解 (1)y＝2sin 2x＋π 3 的振幅 A＝2，周期 T＝2π 2 ＝π，初相φ＝π 3. (2)令 X＝2x＋π 3 ，则 y＝2sin 2x＋π 3 ＝2sin X. 列表： X －π 6 π 12 π 3 7π 12 5π 6 X 0 π 2 π 3π 2 2π y＝sin X 0 1 0 －1 0 y＝2sin 2x＋π 3 0 2 0 －2 0 描点连线，得图象如图所示： (3)将 y＝sin x 的图象上每一点的横坐标 x 缩短为原来的1 2 倍(纵坐标不变)，得到 y＝sin 2x 的图象；再将 y＝sin 2x 的图象向左平移π 6 个单位，得到 y＝sin 2 x＋π 6 ＝sin 2x＋π 3 的图象； 再将 y＝sin 2x＋π 3 的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的 2 倍，得到 y ＝2sin 2x＋π 3 的图象． 变式迁移 1 解 y＝1 2·1＋cos 2x 2 ＋ 3 2 sin 2x＋3 2·1－cos 2x 2 ＝1＋ 3 2 sin 2x－1 2cos 2x＝1＋sin 2x－π 6 . (1)(五点法)设 X＝2x－π 6 ， 则 x＝1 2X＋ π 12 ，令 X＝0，π 2 ，π，3π 2 ，2π， 于是五点分别为 π 12 ，1 ， π 3 ，2 ， 7π 12 ，1 ， 5π 6 ，0 ， 13π 12 ，1 ，描点连线即可得图象，如 下图． (2)由－π 2 ＋2kπ≤2x－π 6 ≤π 2 ＋2kπ，k∈Z， 得单调增区间为 －π 6 ＋kπ，kπ＋π 3 ，k∈Z. 由π 2 ＋2kπ≤2x－π 6 ≤3π 2 ＋2kπ，k∈Z， 得单调减区间为 π 3 ＋kπ，kπ＋5π 6 ，k∈Z. (3)把 y＝sin x 的图象向右平移π 6 个单位；再把横坐标缩短到原来的1 2 倍(纵坐标不变)；最 后把所得图象向上平移 1 个单位即得 y＝sin 2x－π 6 ＋1 的图象． 例 2 解题导引 确定 y＝Asin(ωx＋φ)＋b 的解析式的步骤： (1)求 A，b.确定函数的最大值 M 和最小值 m，则 A＝M－m 2 ，b＝M＋m 2 .(2)求ω.确定函数 的周期 T，则ω＝2π T .(3)求参数φ是本题的关键，由特殊点求φ时，一定要分清特殊点是“五点 法”的第几个点． 解 由图象可知 A＝2，T＝8. ∴ω＝2π T ＝2π 8 ＝π 4. 方法一 由图象过点(1,2)， 得 2sin π 4 ×1＋φ ＝2， ∴sin π 4 ＋φ ＝1.∵|φ|<π 2 ，∴φ＝π 4 ， ∴f(x)＝2sin π 4x＋π 4 . 方法二 ∵点(1,2)对应“五点”中的第二个点． ∴π 4 ×1＋φ＝π 2 ，∴φ＝π 4 ， ∴f(x)＝2sin π 4x＋π 4 . 变式迁移 2 解 (1)由题意可得： A＝2，T 2 ＝2π，即2π ω ＝4π，∴ω＝1 2 ， f(x)＝2sin 1 2x＋φ ，f(0)＝2sin φ＝1， 由|φ|<π 2 ，∴φ＝π 6.∴f(x)＝2sin(1 2x＋π 6)． f(x0)＝2sin 1 2x0＋π 6 ＝2， 所以 1 2x0＋π 6 ＝2kπ＋π 2 ，x0＝4kπ＋2π 3 (k∈Z)， 又∵x0 是最小的正数，∴x0＝2π 3 . (2)f(4θ)＝2sin 2θ＋π 6 ＝ 3sin 2θ＋cos 2θ， ∵θ∈ 0，π 2 ，cos θ＝1 3 ，∴sin θ＝2 2 3 ， ∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝－7 9 ， sin 2θ＝2sin θcos θ＝4 2 9 ， ∴f(4θ)＝ 3×4 2 9 －7 9 ＝4 6－7 9 . 例 3 解题导引 (1)三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面，一是已知函数模 型，如本例，关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则，二是把实际问 题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键 是建模．(2)如何从表格中得到 A、ω、b 的值是解题的关键也是易错点，同时第二问中解三 角不等式也是易错点．(3)对于三角函数模型 y＝Asin(ωx＋φ)＋k (A>0，ω>0)中参数的确定有 如下结论：①A＝ymax－ymin 2 ；②k＝ymax＋ymin 2 ；③ω＝2π T ；④φ由特殊点确定． 解 (1)由表中数据，知周期 T＝12， ∴ω＝2π T ＝2π 12 ＝π 6 ， 由 t＝0，y＝1.5，得 A＋b＝1.5； 由 t＝3，y＝1.0，得 b＝1.0， ∴A＝0.5，b＝1，∴y＝1 2cos π 6t＋1. (2)由题知，当 y>1 时才可对冲浪者开放， ∴1 2cos π 6t＋1>1，∴cos π 6t>0， ∴2kπ－π 2<π 6t<2kπ＋π 2 ，k∈Z， 即 12k－30，依题意得2π 2ω ＝π，所以ω＝1.………………………………………………(8 分) (2)由(1)知 f(x)＝ 2 2 sin 2x＋π 4 ＋1 2 ， 所以 g(x)＝f(2x) ＝ 2 2 sin 4x＋π 4 ＋1 2.……………………………………………………………………(10 分) 当 0≤x≤ π 16 时，π 4 ≤4x＋π 4 ≤π 2. 所以 2 2 ≤sin 4x＋π 4 ≤1. 因此 1≤g(x)≤1＋ 2 2 ，…………………………………………………………………(13 分) 所以 g(x)在此区间内的最小值为 1.…………………………………………………(14 分)