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- 2021-06-11 发布
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第5节 两角和与差及二倍角的三角函数
最新考纲 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式;2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式;3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系;4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).
知 识 梳 理
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)=sin__αcos__β±cos__αsin__β.
cos(α∓β)=cos__αcos__β±sin__αsin__β.
tan(α±β)=.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α=2sin__αcos__α.
cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
tan 2α=.
3.函数f(α)=asin α+bcos α(a,b为常数),可以化为f(α)=sin(α+φ)或f(α)=·cos(α-φ).
[常用结论与微点提醒]
1.tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β).
2.cos2α=,sin2α=.
3.1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2,
sin α±cos α=sin.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.( )
(2)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立.( )
(3)公式tan(α+β)=可以变形为tan α+tan β
=tan(α+β)(1-tan αtan β),且对任意角α,β都成立.( )
(4)存在实数α,使tan 2α=2tan α.( )
解析 (3)变形可以,但不是对任意的α,β都成立,α,β,α+β≠+ π, ∈ .
答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)√
2.(2017·全国Ⅲ卷)已知sin α-cos α=,则sin 2α=( )
A.- B.- C. D.
解析 sin 2α=2sin αcos α==-.
答案 A
3.(2016·全国Ⅲ卷)若tan θ=-,则cos 2θ=( )
A.- B.- C. D.
解析 cos 2θ=cos2θ-sin2θ===.
答案 D
4.(教材习题改编)tan 20°+tan 40°+tan 20°·tan 40°=________.
解析 ∵tan 60°=tan(20°+40°)=,
∴tan 20°+tan 40°=tan 60°(1-tan 20°tan 40°)
=-tan 20°tan 40°,
∴原式=-tan 20°tan 40°+tan 20°tan 40°=.
答案
5.(教材习题改编)sin 347°cos 148°+sin 77°·cos 58°=________.
解析 sin 347°cos 148°+sin 77°cos 58°
=sin(270°+77°)cos(90°+58°)+sin 77°cos 58°
=(-cos 77°)·(-sin 58°)+sin 77°cos 58°
=sin 58°cos 77°+cos 58°sin 77°
=sin(58°+77°)=sin 135°=.
答案
考点一 三角函数式的化简
【例1】 (1)(教材习题改编)化简 sin(α+β)cos(γ-β)-cos(β+α)sin(β-γ)=________.
(2)化简 (0<α<π)=________.
解析 (1)sin(α+β)cos(γ-β)-cos(β+α)sin(β-γ)
=sin(α+β)cos (β-γ)-cos(α+β)sin(β-γ)
=sin[(α+β)-(β-γ)]=sin(α+γ).
(2)原式=
==.
因为0<α<π,所以0<<,所以cos>0,所以原式=cos α.
答案 (1)sin(α+γ) (2)cos α
规律方法 三角函数式的化简要遵循“三看”原则 一看角之间的差别与联系,把角进行合理的拆分,正确使用公式;二看函数名称之间的差异,确定使用的公式,常见的有“切化弦”;三看结构特征,找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等.
【训练1】 (1)cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=( )
A.sin(α+2β) B.sin α
C.cos(α+2β) D.cos α
(2)化简 =________.
解析 (1)cos(α+β)cos β+sin(α+β)sin β=cos[(α+β)-β]=cos α.
(2)原式=
==
==cos 2α.
答案 (1)D (2)cos 2α
考点二 三角函数式的求值
【例2】 (1)[2sin 50°+sin 10°(1+tan 10°)]·=________.
(2)(2018·洛阳一模)若sin=,则cos=________.
(3)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=,tan β=-,则2α-β的值为________.
解析 (1)原式=·
sin 80°=(2sin 50°+2sin 10°·)·
cos 10°=2[sin 50°·cos 10°+sin 10°·cos(60°-10°)]
=2sin(50°+10°)=2×=.
(2)依题意得cos=-cos=-cos =2sin2-1=2
×-1=-.
(3)∵tan α=tan[(α-β)+β]=
==>0,又α∈(0,π),
∴0<α<,又∵tan 2α===>0,
∴0<2α<,
∴tan(2α-β)===1.
∵tan β=-<0,∴<β<π,-π<2α-β<0,
∴2α-β=-.
答案 (1) (2)- (3)-
规律方法 1.已知条件下的求值问题常先化简需求值的式子,再观察已知条件与所求值的式子之间的联系(从三角函数名及角入手),最后将已知条件及其变形代入所求式子,化简求值.
2.通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,遵照以下原则 (1)已知正切函数值,选正切函数;(2)已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是,选正、余弦皆可;若角的范围是(0,π),选余弦较好;若角的范围为,选正弦较好.
【训练2】 (1)(2018·渭南调研)已知x∈(0,π),且cos=sin2x,则tan
eq lc(
c)(avs4alco1(x-f(π,4)))=( )
A. B.- C.3 D.-3
(2)(一题多解)(2018·石家庄质检)已知α∈,cos=-,则cos α=________.
解析 (1)由cos=sin2x得sin 2x=sin2x,
∵x∈(0,π),∴tan =2,∴tan==.
(2)法一 因为α∈,所以α+∈,
所以sin=,所以cos α=cos
=coscos+sinsin=-×+×=.
法二 cos=cos αcos-sin αsin= cos α-=
-,α∈,解得cos α=.
答案 (1)A (2)
考点三 三角变换的简单应用
【例3】 已知△ABC为锐角三角形,若向量p=(2-2sin A,cos A+sin A)与向量q=(sin A-cos A,1+sin A)是共线向量.
(1)求角A;
(2)求函数y=2sin2B+cos的最大值.
解 (1)因为p,q共线,所以(2-2sin A)(1+sin A)=(cos A+sin A)(sin A-cos A),
则sin2A=.
又A为锐角,所以sin A=,则A=.
(2)y=2sin2 B+cos=2sin2B+cos=2sin2B+cos=1-cos 2B+cos 2B+sin 2B=sin 2B-cos 2B+1=sin+1.
因为B∈,B+A>,所以