高科数学专题复习课件：第四章 4_1任意角、弧度制及任意角的三角函数 54页

§4.1 　 任意角、弧度制及任意角的三角函数 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 (1) 任意角： ① 定义：角可以看成平面 内 绕 着端点从一个位置旋转到另一个位置所成 的 ； ② 分类：角按旋转方向 分为 、 和 . (2) 所有与角 α 终边相同的角，连同角 α 在内，构成的角的集合 是 S ＝ . (3) 象限角：使角的顶点 与 重合 ，角的始边 与 重合 ，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限 . 1. 角的概念 知识梳理 一条射线 图形 正角 负角 零角 { β | β ＝ k ·360° ＋ α ， k ∈ Z } 原点 x 轴的非负半轴 (1) 定义：把长度 等于 长 的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示，读作弧度 . 正角的弧度数是一 个 ， 负角的弧度数是一 个 ， 零角的弧度数 是 . 2. 弧度制 半径 正数 负数 0 (2) 角度制和弧度制的互化： 180° ＝ rad,1° ＝ rad ， 1 rad ＝ . π (3) 扇形的弧长公式： l ＝ ， 扇形的面积公式： S ＝ ＝ . | α |· r 任意角 α 的终边与单位圆交于点 P ( x ， y ) 时， sin α ＝ ， cos α ＝ ， tan α ＝ ( x ≠ 0). 三个三角函数的初步性质如下表： 3. 任意角的三角函数 y x 三 角 函数 定义域 第一象限符号 第二象限符号 第三象限符号 第四象限符号 sin α ___ ＋ ＋ － － cos α ___ ＋ － － ＋ tan α _________________ ＋ － ＋ － R R 如下图，设角 α 的终边与单位圆交于点 P ，过 P 作 PM ⊥ x 轴，垂足为 M ，过 A (1,0) 作单位圆的切线与 α 的终边或终边的反向延长线相交于点 T . 4. 三角函数线 三角函数线 有向线段 为 正弦线； 有向线段 为 余弦线； 有向线段 为 正切线 . MP OM AT 几何画板展示 1. 三角函数值的符号规律 三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦 . 2. 任意角的三角函数的定义 ( 推广 ) 设 P ( x ， y ) 是角 α 终边上异于顶点的任一点，其到原点 O 的距离为 r ， 则 知识 拓展 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角 .( 　　 ) (2) 角 α 的三角函数值与其终边上点 P 的位置无关 .( 　　 ) (3) 不相等的角终边一定不相同 .( 　　 ) (4) 终边相同的角的同一三角函数值相等 .( 　　 ) ( 5) 若 α ∈ (0 ， ) ，则 tan α > α >sin α .( 　　 ) (6 ) 若 α 为第一象限角，则 sin α ＋ cos α >1.( 　　 ) 思考辨析 × √ × √ √ √ 1. 角－ 870° 的终边所在的象限是 A. 第一象限 B . 第二象限 C. 第三象限 D . 第四象限 考点自测 答案 解析 由－ 870° ＝－ 1 080° ＋ 210° ，知－ 870° 角和 210° 角终边相同，在第三象限 . 2.( 教材改编 ) 已知角 α 的终边与单位圆的交点为 M ( ， y ) ，则 sin α 等于 答案 解析 答案 解析 4. 已知在半径为 120 mm 的圆上，有一段弧长是 144 mm ，则该弧所对的圆心角的弧度数为 ________rad. 答案 解析 1.2 5. 函数 y ＝ 的 定义域为 _____________________. 答案 解析 由三角函数线画出 x 满足条件的终边范围 ( 如图阴影所示 ). 几何画板展示 题型分类　深度剖析 题型一　角及其表示 例 1 　 (1) 若 α ＝ k ·180° ＋ 45°( k ∈ Z ) ，则 α 在 A. 第一或第三象限 B . 第一或第二象限 C. 第二或第四象限 D . 第三或第四象限 答案 解析 当 k ＝ 2 n ( n ∈ Z ) 时， α ＝ 2 n ·180° ＋ 45° ＝ n ·360° ＋ 45° ， α 为第一 象限 角 ； 当 k ＝ 2 n ＋ 1 ( n ∈ Z ) 时， α ＝ (2 n ＋ 1)·180° ＋ 45° ＝ n ·360° ＋ 225° ， α 为第三象限角 . 所以 α 为第一或第三象限角 . 故选 A. (2) 已知角 α 的终边在如图所示阴影表示的范围内 ( 不包括边界 ) ，则角 α 用 集合可表示为 _____________ ______ ___. 答案 解析 思维 升华 (1) 利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需的角 . (2) 利用终边相同的角的集合 S ＝ { β | β ＝ 2 k π ＋ α ， k ∈ Z } 判断一个角 β 所在的象限时，只需把这个角写成 [0,2π) 范围内的一个角 α 与 2π 的整数倍的和，然后判断角 α 的象限 . 跟踪训练 1 　 (1) 终边在直线 y ＝ 上 的角的集合是 __________________. 答案 解析 答案 解析 3 题型二　弧度制 例 2 　 (1)(2016· 成都模拟 ) 若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是 ________. 答案 解析 设圆半径为 r ，则圆内接正方形的对角线长为 2 r ， (2) 已知扇形的圆心角是 α ，半径是 r ，弧长为 l . ① 若 α ＝ 100° ， r ＝ 2 ，求扇形的面积 ； 解 答 由题意知 l ＋ 2 r ＝ 20 ，即 l ＝ 20 － 2 r ， ② 若扇形的周长为 20 ，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数 . 解答 当 r ＝ 5 时， S 的最大值为 25. 即扇形面积的最大值为 25 ，此时扇形圆心角的弧度数为 2 rad. 思维 升华 应用弧度制解决问题的方法 (1) 利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度 . (2) 求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决 . (3) 在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形 . 跟踪训练 2 　 (1) 将表的分针拨快 10 分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是 答案 解析 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，故 A 、 B 不正确； 又因为拨快 10 分钟，故应转过的角为圆周 的 . (2) 若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 答案 解析 如图，等边三角形 ABC 是半径为 r 的圆 O 的内接三角形， 则线段 AB 所对的圆心角 ∠ AOB ＝ ， 作 OM ⊥ AB, 垂足 为 M ， 在 Rt △ AOM 中， AO ＝ r ， ∠ AOM ＝ ， 题型三　三角函数的概念 命题点 1 　三角函数定义的应用 答案 解析 (2) 点 P 从 (1,0) 出发，沿单位圆逆时针方向 运动 弧 长到达 Q 点，则 Q 点的坐标为 答案 解析 由三角函数定义可知 Q 点的坐标 ( x ， y ) 满足 命题点 2 　三角函数线 例 4 　 函数 y ＝ lg(2sin x － 1) ＋ 的 定义域 为 _____________ _____ _____. 答案 解析 如图，在单位圆中作出相应的三角函数线， 思维 升华 (1) 利用三角函数的定义，已知角 α 终边上一点 P 的坐标可求 α 的三角函数值；已知角 α 的三角函数值，也可以求出点 P 的坐标 . (2) 利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围 . 跟踪训练 3 　 (1) 已知角 α 的终边经过点 (3 a － 9 ， a ＋ 2) ，且 cos α ≤ 0 ， sin α > 0. 则实数 a 的取值范围是 A.( － 2,3] B.( － 2,3) C . [ － 2,3) D.[ － 2,3 ] 答案 ∵ cos α ≤ 0 ， sin α >0 ， ∴ 角 α 的终边落在第二象限或 y 轴的正半轴上 . 解析 (2) 满足 cos α ≤ 的 角 α 的集合为 ______ _____ __________________. 答案 解析 作直线 x ＝ 交 单位圆于 C 、 D 两点， 连接 OC 、 OD ，则 OC 与 OD 围成的区域 ( 图中阴影部分 ) 即为角 α 终边的范围， 故满足条件的角 α 的集合为 典例 　 (1) 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在 (0,1) ，此时圆上一点 P 的位置在 (0,0) ，圆在 x 轴上沿正向滚动 . 当圆滚动到圆心位于 C (2,1) 时 ， 的 坐标为 ________ ____ ____. 数 形结合思想在三角函数中的应用 思想与方法系列 6 在坐标系中研究角就是一种数形结合思想，利用三角函数线可直观得到有关三角函数的不等式的解集 . (2)( 2017· 合肥调研 ) 函数 y ＝ lg(3 － 4sin 2 x ) 的定义域为 _____________ ___ ___. (2 － sin 2,1 － cos 2) 思想方法指 导 答案 解析 几何画板展示 几何画板展示 (1) 如图所示，过圆心 C 作 x 轴的垂线，垂足为 A ，过 P 作 x 轴的垂线与过 C 作 y 轴的垂线交于点 B . 因为圆心移动的距离为 2 ，所以劣弧 ＝ 2 ， 即圆心角 ∠ PCA ＝ 2 ， 所以 x P ＝ 2 － CB ＝ 2 － sin 2 ， yP ＝ 1 ＋ PB ＝ 1 － cos 2 ， 利用三角函数线画出 x 满足条件的终边范围 ( 如图阴影部分所示 ) ， 课时作业 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 但是角度制与弧度制不能混用，所以只有答案 C 正确 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. 若 α 是第三象限角，则下列各式中不成立的是 A.sin α ＋ cos α ＜ 0 B.tan α － sin α ＜ 0 C.cos α － tan α ＜ 0 D.tan α sin α ＜ 0 √ 答案 解析 α 是第三象限角， sin α ＜ 0 ， cos α ＜ 0 ， tan α ＞ 0 ， 则 可排除 A 、 C 、 D ，故选 B. √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.( 2017· 九江 质检 ) 若 390° 角的终边上有一点 P ( a, 3) ，则 a 的值是 √ 答案 解析 5. 给出下列各函数值： ① sin( － 1 000°) ； ② cos( － 2 200°) ； ③ tan( － 10) ； ④ 其中符号为负的是 A. ① B . ② C . ③ D . ④ √ 答案 解析 sin( － 1 000°) ＝ sin 80°>0 ； cos ( － 2 200°) ＝ cos( － 40°) ＝ cos 40°>0 ； tan( － 10) ＝ tan(3π － 10)<0 ； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A.1 B . － 1 C.3 D . － 3 √ 答案 解析 由 α ＝ 2 k π － ( k ∈ Z ) 及终边相同的概念知，角 α 的终边在第四象限， 又角 θ 与角 α 的终边相同，所以角 θ 是第四象限角 ， 所以 sin θ <0 ， cos θ >0 ， tan θ <0. 所以 y ＝－ 1 ＋ 1 － 1 ＝－ 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 在直角坐标系中， O 是原点， A ( ， 1) ，将点 A 绕 O 逆时针旋转 90° 到 B 点，则 B 点坐标为 __________. 答案 解析 依题意知 OA ＝ OB ＝ 2 ， ∠ AOx ＝ 30° ， ∠ BOx ＝ 120° ， 设点 B 坐标为 ( x ， y ) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 设扇形半径为 r ，弧长为 l ， 二 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 由 θ 是第三象限角， 知 为 第二或第四象限角， 综上 知 为 第二象限角 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 在 (0,2π) 内，使 sin x >cos x 成立的 x 的取值范围 为 _______. 答案 解析 如图所示，找出在 (0,2π) 内，使 sin x ＝ cos x 的 x 值， 根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角 11. 一个扇形 OAB 的面积是 1 cm 2 ，它的周长是 4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长 AB . 解答 设扇形的半径为 r cm ，弧长为 l cm ， 如图，过 O 作 OH ⊥ AB 于 H ，则 ∠ AOH ＝ 1 rad. ∴ AH ＝ 1·sin 1 ＝ sin 1(cm) ， ∴ AB ＝ 2sin 1(cm). ∴ 圆心角的弧度数为 2 rad ，弦长 AB 为 2sin 1 cm. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 已知角 α 终边上一点 P ， P 到 x 轴的距离与到 y 轴的距离之比为 3 ∶ 4 ，且 sin α <0 ，求 cos α ＋ 2tan α 的值 . 解答 又 ∵ sin α <0 ， ∴ α 的终边只可能在第三、第四象限 . ① 若点 P 位于第三象限，可设 P ( － 4 k ，－ 3 k )( k >0) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ② 若点 P 位于第四象限， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *13. 已知 sin α <0 ， tan α >0. (1) 求角 α 的集合； 解答 由 sin α <0 ，知 α 在第三、四象限或 y 轴的负半轴上； 由 tan α >0 ，知 α 在第一、三象限，故角 α 在第三象限， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 求 终 边所在的象限； 解 答 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13