【数学】2018届一轮复习北师大版函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用教案 11页

第四节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用 ‎[考纲传真]　1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图像，了解参数A，ω，φ对函数图像变化的影响.2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．‎ ‎1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 ‎2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示 x ‎－ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π y＝Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ A ‎0‎ ‎－A ‎0‎ ‎3.由y＝sinx的图像变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图像 先平移后伸缩　　　　　　　　先伸缩后平移 ‎⇓　　　　　　　　　　　　⇓‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)利用图像变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的单位长度一致．(　　)‎ ‎(2)将y＝3sin2x的图像左移个单位后所得图像的解析式是y＝3sin.(　　)‎ ‎(3)函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)的图像的两个相邻对称轴间的距离为一个周期．(　　)‎ ‎(4)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．(2016·四川高考)为了得到函数y＝sin的图像，只需把函数y＝sinx的图像上所有的点(　　)‎ A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度 C．向上平行移动个单位长度 D．向下平行移动个单位长度 A　[把函数y＝sinx的图像上所有的点向左平行移动个单位长度就得到函数 y＝sin的图像．]‎ ‎3．若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图像如图341，则ω＝(　　)‎ ‎【导学号：66482155】‎ A．5　　　 B．‎4　‎　　‎ C．3　　　 D．2‎ 图341‎ B　[由图像可知，＝x0＋－x0＝，‎ 所以T＝＝，所以ω＝4.]‎ ‎4．将函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为(　　)‎ ‎【导学号：66482156】‎ A.　　　 B．　　　‎ C．0　　　 D．－ B　[把函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移个单位后得到函数的解析式为：y＝sin2＝sin.又因它为偶函数，则φ的一个可能取值是.]‎ ‎5．(教材改编)电流I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的函数关系式是I＝5sin，t∈[0，＋∞)，则电流I变化的初相、周期分别是________．‎ ，　[由初相和周期的定义，得电流I变化的初相是，周期T＝＝ ‎.]‎ 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及变换 ‎　已知函数f (x)＝3sin，x∈R.‎ ‎(1)画出函数f (x)在一个周期的闭区间上的简图；‎ ‎(2)将函数y＝sinx的图像作怎样的变换可得到f (x)的图像？‎ ‎[解]　(1)列表取值：‎ x π π π π x－ ‎0‎ π π ‎2π f (x)‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎0‎ ‎－3‎ ‎0‎ 描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图. 5分 ‎(2)先把y＝sinx的图像向右平移个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f (x)的图像. 12分 ‎[规律方法]　1.变换法作图像的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ω确定平移单位．‎ ‎2．用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x ‎，通过列表，描点得出图像．如果在限定的区间内作图像，还应注意端点的确定．‎ ‎[变式训练1]　(1)(2016·全国卷Ⅰ)将函数y＝2sin的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为(　　)‎ ‎【导学号：66482157】‎ A．y＝2sin　　　　　 B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin ‎(2)(2016·全国卷Ⅲ)函数y＝sinx－cosx的图像可由函数y＝2sinx的图像至少向右平移________个单位长度得到．‎ ‎(1)D　(2)　[(1)函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图像向右平移个周期即个单位长度，所得图像对应的函数为y＝2sin＝2sin，故选D.‎ ‎(2)∵y＝sinx－cosx＝2sin，∴函数y＝sinx－cosx的图像可由函数y＝2sinx的图像向右平移个单位长度得到．]‎ 求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 ‎　(1)(2016·全国卷Ⅱ)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图像 图342‎ 如图342所示，则(　　)‎ A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2sin D．y＝2sin ‎(2)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线x＝是其图像的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为(　　)‎ A．y＝4sin B．y＝2sin＋2‎ C．y＝2sin＋2‎ D．y＝2sin＋2‎ ‎(1)A　(2)D　[(1)由图像知＝－＝，故T＝π，因此ω＝＝2.又图像的一个最高点坐标为，所以A＝2，且2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故φ＝2kπ－(k∈Z)，结合选项可知y＝2sin.故选A.‎ ‎(2)由函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的最大值为4，最小值为0，可知b＝2，A＝2.由函数的最小正周期为，可知＝，得ω＝4.由直线x＝是其图像的一条对称轴，可知4×＋φ＝kπ＋，k∈Z，从而φ＝kπ－，k∈Z，故满足题意的是y＝2sin＋2.]‎ ‎[规律方法]　确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法 ‎(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝；‎ ‎(2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝；‎ ‎(3)求φ：常用的方法有：‎ ‎①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图像与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．‎ ‎②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．“第一点”(即图像上升时与x轴的交点)时ωx＋φ＝0；“第二点”(即图像的“峰点”)时ωx＋φ＝；“第三点”(即图像下降时与x轴的交点)时ωx＋φ＝π；“第四点”(即图像的“谷点”)时ωx＋φ＝；“第五点”时ωx＋φ＝2π.‎ ‎[变式训练2]　(2017·南昌二模)如图343是函数f (x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)的部分图像，则f (π)＝(　　)‎ ‎ 【导学号：66482158】‎ 图343‎ A. B．－ C. D．－ A　[由图像可知T＝2＝4π，则ω＝＝，将点代入函数解析式，得sin＝1，即sin＝1，结合0＜φ＜π，得φ＝，所以函数f (x)＝sin，所以函数f (π)＝sin＝cos＝，故选A.]‎ 函数y＝Asin(ωx＋φ)图像与性质的应用 ‎　(2016·天津高考)已知函数f (x)＝4tanxsin·cos－.‎ ‎(1)求f (x)的定义域与最小正周期；‎ ‎(2)讨论f (x)在区间上的单调性．‎ ‎[解]　(1)f (x)的定义域为. 2分 f (x)＝4tanxcosxcos－ ‎＝4sinxcos－ ‎＝4sinx－ ‎＝2sinxcosx＋2sin2x－ ‎＝sin2x＋(1－cos2x)－ ‎＝sin2x－cos2x＝2sin.‎ 所以f (x)的最小正周期T＝＝π. 6分 ‎(2)令z＝2x－，则函数y＝2sinz的递增区间是，k∈Z.‎ 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，‎ 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z. 8分 设A＝，B＝xk∈Z，易知A∩B＝.‎ 所以当x∈时，f (x)在区间上递增，在区间上递减. 12分 ‎[规律方法]　讨论函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数．‎ ‎[变式训练3]　设函数f (x)＝－sin2ωx－sinωxcosωx(ω＞0)，且y＝f (x)图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.‎ ‎(1)求ω的值；‎ ‎(2)求f (x)在区间上的最大值和最小值．‎ ‎ 【导学号：66482159】‎ ‎[解]　(1)f (x)＝－sin2ωx－sinωxcosωx ‎＝－·－sin2ωx ‎＝cos2ωx－sin2ωx＝－sin. 3分 因为y＝f (x)图像的一个对称中心到最近的对称轴的距离为，所以周期为π.又ω＞0，所以＝4×，因此ω＝1. 5分 ‎(2)由(1)知f (x)＝－sin. 6分 当π≤x≤时，≤2x－≤，‎ 所以－≤sin≤1，则－1≤f (x)≤. 10分 故f (x)在区间上的最大值和最小值分别为，－1. 12分 三角函数的简单应用 ‎　某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t)＝10－cost－sint，t∈[0,24)．‎ ‎(1)求实验室这一天的最大温差；‎ ‎(2)若要求实验室温度不高于‎11 ℃‎，则在哪段时间实验室需要降温？‎ ‎【导学号：66482160】‎ ‎[解]　(1)因为f (t)＝10－2 ‎＝10－2sin，2分 又0≤t＜24，‎ 所以≤t＋＜，－1≤sin≤1. 4分 当t＝2时，sin＝1；‎ 当t＝14时，sin＝－1.‎ 于是f (t)在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.‎ 故实验室这一天最高温度为‎12 ℃‎，最低温度为‎8 ℃‎，最大温差为‎4 ℃‎. 6分 ‎(2)依题意，当f (t)＞11时实验室需要降温．‎ 由(1)得f (t)＝10－2sin，‎ 故有10－2sin＞11，‎ 即sin＜－. 9分 又0≤t＜24，因此＜t＋＜，即10＜t＜18.‎ 故在10时至18时实验室需要降温. 12分 ‎[规律方法]　1.三角函数在实际中的应用体现在两个方面：一是用已知的模型去分析解决实际问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型解决问题，其关键是合理建模．‎ ‎2．建模的方法是认真审题，把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”，这个过程就是数学建模的过程．‎ ‎[变式训练4]　(2015·陕西高考)如图344，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)‎ 图344‎ A．5　　　 B．‎6　‎　　‎ C．8　　　 D．10‎ C　[根据图像得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.]‎ ‎ [思想与方法]‎ ‎1．由图像确定函数解析式 由图像确定y＝Asin(ωx＋φ)时，φ的确定是关键，尽量选择图像的最值点代入；若选零点代入，应根据图像升降找“五点法”作图中第一个零点．‎ ‎2．对称问题 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与x轴的每一个交点均为其对称中心，经过该图像上坐标为(x，±A)的点与x轴垂直的每一条直线均为其图像的对称轴，这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离)．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．要弄清楚是平移哪个函数的图像，得到哪个函数的图像．‎ ‎2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数．‎ ‎3．由y＝sinx的图像变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图像，先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是(ω＞0)个单位．原因是相位变换和周期变换都是针对x而言的．‎ ‎4．函数y＝Asin(ωx＋φ)在x∈[m，n]上的最值可先求t＝ωx＋φ的范围，再结合图像得出y＝Asint的值域．‎