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  • 2021-06-11 发布

【数学】2019届高考一轮复习北师大版理10-4随机事件与古典概型学案

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第4讲 随机事件与古典概型 ‎1.概率与频率 ‎(1)在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例fn(A)=为事件A出现的频率.‎ ‎(2)对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).‎ ‎2.事件的关系与运算 定 义 符号表示 包含关系 如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)‎ B⊇A ‎(或A⊆B)‎ 相等关系 若B⊇A且A⊇B,那么称事件A与事件B相等 A=B 并事件(和事件)‎ 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)‎ A∪B ‎(或A+B)‎ 交事件(积事件)‎ 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)‎ A∩B ‎(或AB)‎ 互斥事件 若A∩B为不可能事件,那么称事件A与事件B互斥 A∩B=∅‎ 对立事件 若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B=∅‎ 且A∪B=Ω ‎3.概率的几个基本性质 ‎(1)概率的取值范围:0≤P(A)≤1.‎ ‎(2)必然事件的概率:P(A)=1.‎ ‎(3)不可能事件的概率:P(A)=0.‎ ‎(4)概率的加法公式 如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B).‎ ‎(5)对立事件的概率 若事件A与事件B互为对立事件,则A∪B为必然事件.‎ P(A∪B)=1,P(A)=1-P(B).‎ ‎4.古典概型 ‎(1)基本事件的特点 ‎①任何两个基本事件是互斥的;‎ ‎②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和.‎ ‎(2)特点 ‎①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个,即有限性.‎ ‎②每个基本事件发生的可能性相等,即等可能性.‎ ‎(3)概率公式 P(A)=.‎ ‎5.对古典概型的理解 ‎(1)一个试验是否为古典概型,在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性,只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型.正确判断试验的类型是解决概率问题的关键.‎ ‎(2)古典概型是一种特殊的概率模型,但并不是所有的试验都是古典概型.‎ ‎ 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)事件发生的频率与概率是相同的.(  )‎ ‎(2)随机事件和随机试验是一回事.(  )‎ ‎(3)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值.(  )‎ ‎(4)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生.(  )‎ ‎(5)若A,B为互斥事件,则P(A)+P(B)=1.(  )‎ ‎(6)在一次试验中,其基本事件的发生一定是等可能的.(  )‎ 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)× (6)×‎ ‎ (2016·高考天津卷)甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是,甲获胜的概率是,则甲不输的概率为(  )‎ A.         B. C. D. 解析:选A.由题意得,甲不输的概率为+=.‎ ‎ (教材习题改编)若A,B为对立事件,则(  )‎ A.P(A+B)≤1‎ B.P(AB)=1‎ C.P(AB)=0‎ D.P(A)+P(B)≤1‎ 解析:选C.由对立事件的定义可知:P(A+B)=1,P(A)+P(B)=1,P(AB)=0.因此C选项正确.‎ ‎ 在集合中任取一个元素,则所取元素恰好满足方程cos x=的概率是________.‎ 解析:基本事件总数为10,满足方程cos x=的基本事件数为2,故所求概率为P==.‎ 答案: ‎ 掷一个骰子的试验,事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A+B发生的概率为________.‎ 解析:掷一个骰子的试验有6种可能结果,依题意P(A)==,P(B)==,所以P(B)=1-P(B)=1-=,显然A与B互斥,从而P(A+B)=P(A)+P(B)=+=.‎ 答案: 随机事件的频率与概率 ‎ [典例引领]‎ ‎ (2017·高考全国卷Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:‎ 最高 气温 ‎[10,15)‎ ‎[15,20)‎ ‎[20,25)‎ ‎[25,30)‎ ‎[30,35)‎ ‎[35,40)‎ 天数 ‎2‎ ‎16‎ ‎36‎ ‎25‎ ‎7‎ ‎4‎ 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.‎ ‎(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;‎ ‎(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.‎ ‎【解】 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表格数据知,最高气温低于25的频率为=0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.‎ ‎(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,‎ 若最高气温不低于25,则Y=6×450-4×450=900;‎ 若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2(450-300)-4×450=300;‎ 若最高气温低于20,则Y=6×200+2(450-200)-4×450=-100.‎ 所以,Y的所有可能值为900,300,-100.‎ Y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为=0.8,因此Y大于零的概率的估计值为0.8.‎ ‎  ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1.随着互联网的普及,网上购物已逐渐成为消费时尚,为了解消费者对网上购物的满意情况,某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答),统计结果如表:‎ 满意情况 不满意 比较满意 满意 非常满意 人数 ‎200‎ n ‎2 100‎ ‎1 000‎ 根据表中数据,估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是(  )‎ A.           B. C. D. 解析:选C.由题意,n=4 500-200-2 100-1 000=1 200,所以对网上购物“比较满意”或“满意”的人数为1 200+2 100=3 300,由古典概型概率公式可得对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为=.‎ ‎2.某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:‎ 赔付金额(元)‎ ‎0‎ ‎1 000‎ ‎2 000‎ ‎3 000‎ ‎4 000‎ 车辆数(辆)‎ ‎500‎ ‎130‎ ‎100‎ ‎150‎ ‎120‎ ‎(1)若每辆车的投保金额均为2 800元,估计赔付金额大于投保金额的概率;‎ ‎(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4 000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4 000元的概率.‎ 解:(1)设A表示事件“赔付金额为3 000元”,B表示事件“赔付金额为4 000元”,以频率估计概率得 P(A)==0.15,P(B)==0.12.‎ 由于投保金额为2 800元,赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3 000元和4 000元,所以其概率为P(A)+P(B)=0.15+0.12=0.27.‎ ‎(2)设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”,由已知,样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000=100(辆),而赔付金额为4 000元的车辆中,车主为新司机的有0.2×120=24(辆),所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4 000元的频率为=0.24,由频率估计概率得P(C)=0.24.‎ 互斥事件、对立事件的概率 ‎ [典例引领]‎ ‎ 某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得,1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.记1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求:‎ ‎(1)1张奖券的中奖概率;‎ ‎(2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.‎ ‎【解】 (1)设“1张奖券中奖”为事件M,则M=A∪B∪C,依题意,P(A)=,P(B)==,P(C)=,因为A,B,C两两互斥,‎ 所以P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)‎ ‎==,‎ 故1张奖券的中奖概率为.‎ ‎(2)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,所以P(N)=1-P(A∪B)=1-=.‎ 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.‎ ‎[提醒] 间接法体现了“正难则反”的思想方法.  ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为(  )‎ A.0.7 B.0.65‎ C.0.35 D.0.5‎ 解析:选C.因为“抽到的产品不是一等品”与事件A是对立事件,所以所求概率P=1-P(A)=0.35.‎ ‎2.经统计,在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下:‎ 排队人数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5人及5人以上 概率 ‎0.1‎ ‎0.16‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.04‎ 求:(1)至多2人排队等候的概率;‎ ‎(2)至少3人排队等候的概率.‎ 解:记“无人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”为事件F,则事件A、B、C、D、E、F彼此互斥.‎ ‎(1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=A+B+C,所以P(G)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.‎ ‎(2)法一:记“至少3人排队等候”为事件H,则H=D+E+F,所以P(H)=P(D+E+F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.‎ 法二:记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.‎ 古典概型的概率(高频考点)‎ 古典概型是高考考查的热点,考查角度较灵活,常与一些知识交汇考查,其难度较小.高考对本部分内容的考查主要有以下五个命题角度:‎ ‎(1)简单的古典概型的概率;‎ ‎(2)古典概型与平面向量的交汇;‎ ‎(3)古典概型与函数(方程)的交汇;‎ ‎(4)古典概型与解析几何的交汇;‎ ‎(5)古典概型与统计的交汇(下章讲解).‎ ‎ [典例引领]‎ ‎ 角度一 简单的古典概型的概率 ‎ (2017·高考山东卷)从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次,每次抽取1张,则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是(  )‎ A. B. C. D. ‎【解析】 所求概率为P==.‎ ‎【答案】 C 角度二 古典概型与平面向量的交汇 ‎ 从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a,从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b,则向量m=(a,b)与向量n=(1,-1)垂直的概率为(  )‎ A. B. C. D. ‎【解析】 由题意可知m=(a,b)有:(2,1),(2,3),(2,5),(3,1),(3,3),(3,5),(4,1),(4,3),(4,5),(5,1),(5,3),(5,5),共12种情况.‎ 因为m⊥n,即m·n=0,‎ 所以a×1+b×(-1)=0,即a=b,‎ 满足条件的有(3,3),(5,5)共2个,‎ 故所求的概率为.‎ ‎【答案】 A 角度三 古典概型与函数(方程)的交汇 ‎ 已知|p|≤3,|q|≤3,当p,q∈Z,则方程x2+2px-q2‎ ‎+1=0有两个相异实数根的概率是________.‎ ‎【解析】 由方程x2+2px-q2+1=0有两个相异实数根,可得Δ=(2p)2-4(-q2+1)>0,即p2+q2>1.‎ 当p,q∈Z时,设点M(p,q),如图,直线p=-3,-2,-1,0,1,2,3和直线q=-3,-2,-1,0,1,2,3的交点,即为点M,共有49个,其中在圆上和圆内的点共有5个(图中黑点).当点M(p,q)落在圆p2+q2=1外时,方程x2+2px-q2+1=0有两个相异实数根,所以方程x2+2px-q2+1=0有两个相异实数根的概率P==.‎ ‎【答案】  角度四 古典概型与解析几何的交汇 ‎ 将一颗骰子投掷两次,第一次出现的点数记为a,第二次出现的点数记为b,设任意投掷两次使两条不重合直线l1:ax+by=2,l2:x+2y=2平行的概率为P1,相交的概率为P2,若点(P1,P2)在圆(x-m)2+y2=的内部,则实数m的取值范围是(  )‎ A.       B. C. D. ‎【解析】 对于a与b各有6种情形,故总数为36种.‎ 两条直线l1:ax+by=2,l2:x+2y=2平行的情形有a=2,b=4或a=3,b=6,故概率为P1==,两条直线l1:ax+by=2,l2:x+2y=2相交的情形除平行与重合(a=1,b=2)即可,所以P2==,‎ 因为点(P1,P2)在圆(x-m)2+y2=的内部,‎ 所以+<,‎ 解得-<m<,故选D.‎ ‎【答案】 D ‎(1)求古典概型的概率的步骤 第一步,判断本试验的结果是否为等可能事件,设出所求事件A;‎ 第二步,分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m;‎ 第三步,利用公式P(A)=,求出事件A的概率.‎ ‎(2)求解古典概型与其他知识交汇问题的思路 解决古典概型与其他知识交汇问题,其关键是将平面向量、直线与圆、函数的单调性及方程的根情况转化为概率模型,再按照求古典概型的步骤求解.  ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1.(2017·高考全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为(  )‎ A. B. C. D. 解析:选D.依题意,记两次取得卡片上的数字依次为a,b,则一共有25个不同的数组(a,b),其中满足a>b的数组共有10个,分别为(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),因此所求的概率为=,选D.‎ ‎2.(2018·湖北省七市(州)联考)从数字1,2,3,4,5中,随机抽取3个数字(允许重复)组成一个三位数,其各位数字之和等于12的概率为(  )‎ A. B. C. D. 解析:选A.从5个数字中任意抽取3个数字组成一个三位数,并且允许有重复的数字,这样构成的数字有53=125个,但要使各位数字之和等于12且没有重复数字时,则该数只能含有3,4,5三个数字,它们有A=6种,若三位数的各位数字均重复,则该数为444;若三位数中有2个数字重复,则该数为552,525,255,有3种.因此,所求概率为P==,故选A.‎ ‎3.设a∈{2,4},b∈{1,3},函数f(x)=ax2+bx+1.‎ ‎(1)求f(x)在区间(-∞,-1]上是减函数的概率;‎ ‎(2)从f(x)中随机抽取两个,求它们在(1,f(1))处的切线互相平行的概率.‎ 解:(1)由题意-≥-1,即b≤a.‎ 而(a,b)共有C·C=4种,满足b≤a的有3种,故概率为.‎ ‎(2)由(1)可知,函数f(x)共有4种可能,从中随机抽取两个,有6种抽法.‎ 因为函数f(x)在(1,f(1))处的切线的斜率为f′(1)=a+b,‎ 所以这两个函数中的a与b之和应该相等,而只有(2,3),(4,1)这1组满足,故概率为.‎ ‎ 对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).‎ ‎ 对较复杂的古典概型,其基本事件的个数常涉及排列数、组合数的计算,计算时要首先判断事件是否与顺序有关,以确定是按排列处理,还是按组合处理.‎ ‎ 易错防范 ‎(1)易将概率与频率混淆,频率随着试验次数变化而变化,而概率是一个常数.‎ ‎(2)对立事件是互斥事件,是互斥中的特殊情况,但互斥事件不一定是对立事件,“互斥”是“对立”的必要不充分条件.‎ ‎1.设事件A,B,已知P(A)=,P(B)=,P(A∪B)=,则A,B之间的关系一定为(  )‎ A.两个任意事件        B.互斥事件 C.非互斥事件 D.对立事件 解析:选B.因为P(A)+P(B)=+==P(A∪B),所以A,B之间的关系一定为互斥事件.故选B.‎ ‎2.(2018·安徽“江南十校”联考)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则b>a的概率是(  )‎ A. B. C. D. 解析:选D.令选取的a,b组成实数对(a,b),则有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3)‎ 共15种情况,其中b>a的有(1,2),(1,3),(2,3) 3种情况,所以b>a的概率为=.故选D.‎ ‎3.(2018·沈阳市教学质量检测(一))将A,B,C,D这4名同学从左至右随机地排成一排,则“A与B相邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率是(  )‎ A. B. C. D. 解析:选B.A,B,C,D 4名同学排成一排有A=24种排法.当A,C之间是B时,有2×2=4种排法,当A,C之间是D时,有2种排法.所以所求概率为=,故选B.‎ ‎4.满足a,b∈{-1,0,1,2},且关于x的方程ax2+2x+b=0有实数解的概率为(  )‎ A. B. C. D. 解析:选D.满足条件的方程共有4×4=16个,即基本事件共有16个.‎ 若a=0,则b=-1,0,1,2,此时共组成四个不同的方程,且都有实数解;若a≠0,则方程ax2+2x+b=0有实根,需Δ=4-4ab≥0,所以ab≤1,此时(a,b)的取值为(-1,0),(-1,1),(-1,-1),(-1,2),(1,1),(1,0),(1,-1),(2,-1),(2,0),共9个.所以(a,b)的个数为4+9=13.因此,所求的概率为.‎ ‎5.(2018·福建省普通高中质量检查)某食品厂制作了3种与“福”字有关的精美卡片,分别是“富强福”“和谐福”“友善福”,每袋食品中随机装入一张卡片.若只有集齐3种卡片才可获奖,则购买该食品4袋,获奖的概率为(  )‎ A. B. C. D. 解析:选B.将3种不同的精美卡片随机放进4个食品袋中,根据分步乘法计数原理可知共有34=81种不同放法,4个食品袋中3种不同的卡片都有的放法共有3×C×A=36种,根据古典概型概率公式得,能获奖的概率为=,故选B.‎ ‎6.口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,若红球有21个,则黑球有________个.‎ 解析:摸到黑球的概率为1-0.42-0.28=0.3.设黑球有n个,则=,故n=15.‎ 答案:15‎ ‎7.已知小李每次打靶命中靶心的概率都为40%,现采用随机模拟的方法估计小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率.先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定0,1,2,3表示命中靶心,4,5,6,7,8,9表示未命中靶心,再以每三个随机数为一组,代表三次打靶的结果,经随机模拟产生了如下20组随机数:‎ ‎321 421 191 925 271 932 800 478 589 663‎ ‎531 297 396 021 546 388 230 113 507 965‎ 据此估计,小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率为________.‎ 解析:由题意知,在20组随机数中表示三次打靶恰有两次命中靶心的有421,191,271,932,800,531,共6组随机数,所以所求概率为=0.30.‎ 答案:0.30‎ ‎8.如下的三行三列的方阵中有九个数aij(i=1,2,3;j=1,2,3),从中任取三个数,则至少有两个数位于同行或同列的概率为________.‎ 解析:从九个数中任取三个数的不同取法共有C==84种,取出的三个数分别位于不同的行与列的取法共有C·C·C=6种,所以至少有两个数位于同行或同列的概率为1-=.‎ 答案: ‎9.某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的相关数据,如表所示.‎ 一次购物量 ‎1至 ‎4件 ‎5至 ‎8件 ‎9至 ‎12件 ‎13至 ‎16件 ‎17件 及以上 顾客数(人)‎ x ‎30‎ ‎25‎ y ‎10‎ 结算时间 ‎(分钟/人)‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ 已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.‎ ‎(1)求x,y的值;‎ ‎(2)求顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率.‎ 解:(1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.‎ ‎(2)记A:一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟.‎ A1:该顾客一次购物的结算时间为2.5分钟.‎ A2:该顾客一次购物的结算时间为3分钟.‎ 将频率视为概率可得P(A)=P(A1)+P(A2)=+=0.3,‎ 所以一位顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率为0.3.‎ ‎10.(2017·高考山东卷)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.‎ ‎(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;‎ ‎(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.‎ 解:(1)由题意知,从6个国家中任选2个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有:‎ ‎{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{B1,B2},{B1,B3},{B2,B3},共15个.‎ 所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3个.‎ 则所求事件的概率为:P==.‎ ‎(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,其一切可能的结果组成的基本事件有:‎ ‎{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},共9个.‎ 包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有:{A1,B2},{A1,B3},共2个,‎ 则所求事件的概率为:P=.‎ ‎1.从1到10这十个自然数中随机取三个数,则其中一个数是另两个数之和的概率是(  )‎ A. B. C. D. 解析:选A.不妨设取出的三个数为x,y,z(xf(2a)>0的概率为(  )‎ A. B. C. D. 解析:选B.因为a∈{,,2,4,5,8,9},‎ 所以3a+2>2a,又f(3a+2)>f(2a)>0,所以函数f(x)为单调递增函数.‎ 因为f(x)=logax-3loga2=loga,所以a>1,‎ 又f(2a)>0,所以loga>0,‎ 所以>1,即a>4,则f(3a+2)>f(2a)>0的概率P=.故选B.‎ ‎3.某同学同时掷两颗骰子,得到的点数分别为a,b,则双曲线-=1的离心率e>的概率是________.‎ 解析:由e=>,得b>2a.‎ 当a=1时,b=3,4,5,6四种情况;‎ 当a=2时,b=5,6两种情况,总共有6种情况.‎ 又同时掷两颗骰子,得到的点数(a,b)共有36种结果.‎ 所以所求事件的概率P==.‎ 答案: ‎4.连续抛掷同一颗均匀的骰子,记第i次得到的向上一面的点数为ai,若存在正整数k,使a1+a2+…+ak=6,则称k为幸运数字,则幸运数字为3的概率是________.‎ 解析:连续抛掷同一颗均匀的骰子3次,所含基本事件总数n=6×6×6,要使a1+a2+a3=6,则a1,a2,a3可取1,2,3或1,1,4或2,2,2三种情况,其所含的基本事件个数m=A+C+1=10.‎ 故幸运数字为3的概率为P==.‎ 答案: ‎5.已知8支球队中有3支弱队,以抽签方式将这8支球队分为A,B两组,每组4支,求:‎ ‎(1)A,B两组中有一组恰好有2支弱队的概率;‎ ‎(2)A组中至少有2支弱队的概率.‎ 解:(1)法一:3支弱队在同一组中的概率为×2=,‎ 故有一组恰好有2支弱队的概率为1-=.‎ 法二:A组恰有2支弱队的概率为,B组恰好有2支弱队的概率为,‎ 所以有一组恰好有2支弱队的概率为+=.‎ ‎(2)法一:A组中至少有2支弱队的概率为+=.‎ 法二:A,B两组有一组中至少有2支弱队的概率为1(因为此事件为必然事件).由于对A组和B组而言,至少有2支弱队的概率是相同的,所以A组中至少有2支弱队的概率为.‎ ‎6.在某大型活动中,甲、乙等五名志愿者被随机地分到A,B,C,D四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者.‎ ‎(1)求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率;‎ ‎(2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率;‎ ‎(3)求五名志愿者中仅有一人参加A岗位服务的概率.‎ 解:(1)记“甲、乙两人同时参加A岗位服务”为事件EA,那么P(EA)==,即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是.‎ ‎(2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件E,那么P(E)==,所以甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P()=1-P(E)=.‎ ‎(3)有两人同时参加A岗位服务的概率P2==,所以仅有一人参加A岗位服务的概率P1=1-P2=.‎