2020-2021学年高二数学上学期期中测试卷03（人教A版2019） 12页

‎2020-2021学年高二数学上学期期中测试卷03（人教A版2019）‎ ‎（本卷满分150分，考试时间120分钟）‎ 测试范围：选择性必修第一册 RJ-A（2019）第一章、第二章、第三章 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知两个非零向量，，则这两个向量在一条直线上的充要条件是( )。‎ A、 B、‎ C、　　　 D、存在非零实数，使 ‎【答案】D ‎【解析】A选项，表示的单位向量，表示的单位向量，则，‎ 但不一定有，错，B选项、C选项不能推出，故选D。‎ ‎2．已知焦点在轴上的双曲线的焦距为，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的方程为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】B ‎【解析】，焦点到渐近线的距离为，则，则，‎ ‎∴双曲线方程为，故选B。‎ ‎3．若直线与圆相交，则实数的取值范围为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】D ‎【解析】圆的标准方程为，圆心，半径。‎ ‎∵直线与圆相交，∴，解得或，故选D。‎ ‎4．点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是( )。‎ A、 B、‎ C、 D、‎ ‎【答案】A ‎【解析】设中点坐标为，那么圆上一点设为，满足，，‎ 根据条件，代入后得到，‎ 化简为：，故选A。‎ ‎5．若、分别为直线与上任意一点，则的最小值为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵，∴两直线平行，将直线化为，‎ 由题意可知的最小值为这两条平行直线间的距离，即，‎ ‎∴的最小值为，故选B。‎ ‎6．已知椭圆：()的左焦点，过点作倾斜角为的直线与圆相交的弦长为，则椭圆的离心率为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】B ‎【解析】过点倾斜角为的直线方程为：，即，‎ 则圆心到直线的距离：，由弦长公式可得：，‎ 整理可得：，∴，，则：，，故选B。‎ ‎7．已知点是抛物线：的焦点，点为抛物线的对称轴与其准线的交点，过作抛物线的切线，切点为，若点恰好在以、为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意，得、，设过的抛物线的切线方程为：，‎ 联立得，‎ 令，得，即，‎ 不妨设，由双曲线的定义得，，‎ 则该双曲线的离心率为，故选D。‎ ‎8．如图所示，是棱长为的正方体，、分别是棱、上的动点，且。当、、、共面时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为( )。‎ A、 B、‎ C、 D、‎ ‎【答案】B ‎【解析】以点为原点如图建系，则、、，‎ 由题意知：当、时，、、、共面，‎ 设平面的法向量为，‎ ‎，，则，‎ 取，解得，‎ 设平面的法向量为，‎ ‎，，则，‎ 取，解得，‎ 设平面与平面所成锐二面角为，‎ 则，‎ ‎∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为，故选B。‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9．已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相垂直，则实数( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】BC ‎【解析】的斜率，‎ 当时，的斜率，∵，∴，‎ 即，解得，‎ 当时，、，直线为轴，，，直线为轴，显然，‎ ‎∴实数的值为或，故选BC。‎ ‎10．已知椭圆：()的左右焦点分别、，过且斜率为的直线交椭圆于、两点，若为直角三角形，则该椭圆的离心率( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】CD ‎【解析】当时，设，则由于，∴，，‎ ‎∵，，∴椭圆的离心率为，‎ 当时，设，则由于，∴，，‎ ‎∵，，∴椭圆的离心率为，‎ 故选CD。‎ ‎11．下列命题中不正确的是( )。‎ A、若、、、是空间任意四点，则有 B、若，则、的长度相等而方向相同或相反 C、是、共线的充分条件 D、对空间任意一点与不共线的三点、、，若()，则、、、四点共面 ‎【答案】ABD ‎【解析】A选项，而不是，故A错，‎ B选项，仅表示与的模相等，与方向无关，故B错，‎ C选项，，‎ 即，‎ 即，与方向相反，故C对，‎ D选项，空间任意一个向量都可以用不共面的三个向量、、表示，‎ ‎∴、、、四点不一定共面，故D错，‎ 故选ABD。‎ ‎12．已知、是双曲线(，)的左、右焦点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为点，交另一条渐近线于点，且，则该双曲线的离心率为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】AC ‎【解析】(1)当时，设，则，设，‎ 由题意可知，，，，‎ 则，，，‎ 代入得，‎ 即，解得，则，‎ ‎ (2)当时，设，，设，‎ 则，，‎ 由题意可知，，，，‎ 则，，，‎ 则，‎ 则，‎ 代入得，即，解得，则，‎ ‎ 故选AC。‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．动点与定点、的连线的斜率之积为，则点的轨迹方程是 。‎ ‎【答案】()‎ ‎【解析】设，则，，‎ ‎∵动点与定点、的连线的斜率之积为，‎ ‎∴，∴，即，且，‎ 综上点的轨迹方程是()。‎ ‎14．过双曲线的右支上一点，分别向圆：和圆：()作切线，切点分别为、，若的最小值为，则 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设、是双曲线的左、右焦点，也是题中圆的圆心，‎ ‎∴‎ ‎，‎ 显然其最小值为，。‎ ‎15．如图所示，是正四棱锥，是正方体，其中，，则点到平面的距离为 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】方法一：利用等体积法求点到平面距离：，‎ ‎ 又，‎ ‎ ，‎ 即，解得；‎ 方法二：利用建系求点到平面距离：以为原点，、、为、、轴建系，‎ 则，，，，，‎ ‎，，‎ 设平面的法向量为，则，即，‎ 设，解得，，则，‎ 又点到平面的距离。‎ ‎16．如图所示，已知抛物线的焦点为，直线过点且依次交抛物线及圆于、、、四点，则的最小值为 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵，焦点，准线：，‎ 由圆：，圆心，半径为，‎ 由抛物线的定义得：，又∵，∴，‎ 同理：，‎ 当轴时，则，∴，‎ 当的斜率存在且不为时，设：，‎ 代入抛物线方程，得：，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ 当且仅当，即，时取等号，‎ 综上所述的最小值为。‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．（本小题满分10分）‎ 已知两圆：和：。‎ ‎(1)求证：圆和圆相交；‎ ‎(2)求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长。‎ ‎【解析】(1)证明：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， 2分 两圆圆心距，，‎ ‎∴圆和相交； 4分 ‎(2)圆和圆的方程左、右分别相减，得， 6分 ‎∴两圆的公共弦所在直线的方程为， 7分 圆心到直线的距离， 9分 故公共弦长为。 10分 ‎18．（本小题满分12分）‎ 如图，已知的边所在直线的方程为，满足，点在边所在直线上且满足。‎ ‎(1)求边所在直线的方程；‎ ‎(2)求外接圆的方程；‎ ‎(3)若动圆过点，且与的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程。‎ ‎【解析】(1)∵，∴，又在上，∴，∴为， 1分 又边所在直线的方程为，∴直线的斜率为， 2分 又∵点在直线上，∴边所在直线的方程为，‎ 即； 4分 ‎(2)与的交点为，∴由解得点的坐标为， 5分 ‎∵，∴为斜边上的中点，即为外接圆的圆心， 6分 又，从而外接圆的方程为；7分 ‎(3)∵动圆过点，∴是该圆的半径，又∵动圆与圆外切，‎ ‎∴，即， 9分 故点的轨迹是以、为焦点，实轴长为的双曲线的左支， 10分 ‎∵实半轴长，半焦距，∴虚半轴长， 11分 从而动圆的圆心的轨迹方程为()。 12分 ‎19．（本小题满分12分）‎ 如图所示，在三棱柱中，底面为正三角形，在底面上的射影是棱的中点，于点。‎ ‎(1)证明：平面；‎ ‎(2)若，求与平面所成角的正弦值。‎ ‎【解析】(1)证明：连接，∵为正三角形，为中点，∴，‎ ‎∵，，∴平面，∴， 2分 又，，∴，又，‎ ‎∴平面， 4分 ‎(2)解：由(1)可知，，，，‎ 故分别以、、为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 6分 设，则，，，，‎ 则，，， 8分 设平面的法向量为，则即，‎ 设，则、，则， 10分 设与平面所成角为，‎ 则，‎ ‎∴与平面所成角的正弦值为。 12分 ‎20．（本小题满分12分）‎ 椭圆：()的长轴长等于圆：的直径，且的离心率等于。直线和是过点且互相垂直的两条直线，交于、两点，交于、两点。‎ ‎(1)求的标准方程；‎ ‎(2)当四边形的面积为时，求直线的斜率()。‎ ‎【解析】(1)由题意得，∴，∵，∴，∴ ， 2分 ‎∴椭圆的标准方程为； 3分 ‎(2)直线：，则直线：，由， 5分 得，恒成立， 6分 设、，则，， 7分 ‎∴， 8分 ‎∵圆心到直线：的距离， 9分 又，∴， 10分 ‎∵，∴， 11分 由，解得或，由，得。 12分 ‎21．（本小题满分12分）‎ 如图所示，在三棱柱中，四边形为菱形，， 平面平面，，，为的中点。‎ ‎(1)求证：平面；‎ ‎(2)求平面与平面所成角的大小。‎ ‎【解析】(1)∵四边形为菱形，，， 1分 ‎∴，∴， 2分 又平面平面，平面平面，∴平面，3分 又，∴平面； 4分 ‎ (2)取的中点，的中点，连接、，‎ ‎∵平面，∴平面，∴、，‎ 又四边形是菱形，，是的中点，∴，‎ 故、、两两互相垂直， 6分 以为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴，‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，‎ ‎∴、、、， 7分 由图可知，平面的一个法向量为， 8分 设平面的法向量为，则，即，‎ 取，得平面的一个法向量为， 10分 设平面与平面所成角的平面角为，‎ 则， 11分 又∵，∴，∴平面与平画所成角为。 12分 ‎22．（本小题满分12分）‎ 已知椭圆，抛物线的焦点均在轴上，的中心和的顶点均为原点，从、上分别取两个点，将其坐标记录于下表中：‎ ‎(1)求、的标准方程；‎ ‎(2)若直线：()与椭圆交于不同的两点、，且线段的垂直平分线过定点，求实数的取值范围。‎ ‎【解析】(1)设抛物线：()，则有()， 1分 据此验证个点知、在抛物线上，易求：， 2分 设椭圆：()，把点、代入得：，3分 解得，，∴的方程为：； 4分 ‎(2)设、，将()代入椭圆方程，消去得：‎ ‎， 5分 ‎∴，即①， 6分 由根与系数关系得：，则， 7分 ‎∴线段的中点的坐标为， 8分 又线段的垂直平分线的方程为， 9分 由点在直线上，得， 10分 即，∴，‎ 由①得，∴，即或， 11分 ‎∴实数的取值范围是。 12分