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  • 2021-06-11 发布

2020-2021学年高二数学上学期期中测试卷03(人教A版2019)

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‎2020-2021学年高二数学上学期期中测试卷03(人教A版2019)‎ ‎(本卷满分150分,考试时间120分钟)‎ 测试范围:选择性必修第一册 RJ-A(2019)第一章、第二章、第三章 一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知两个非零向量,,则这两个向量在一条直线上的充要条件是( )。‎ A、 B、‎ C、    D、存在非零实数,使 ‎【答案】D ‎【解析】A选项,表示的单位向量,表示的单位向量,则,‎ 但不一定有,错,B选项、C选项不能推出,故选D。‎ ‎2.已知焦点在轴上的双曲线的焦距为,焦点到渐近线的距离为,则双曲线的方程为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】B ‎【解析】,焦点到渐近线的距离为,则,则,‎ ‎∴双曲线方程为,故选B。‎ ‎3.若直线与圆相交,则实数的取值范围为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】D ‎【解析】圆的标准方程为,圆心,半径。‎ ‎∵直线与圆相交,∴,解得或,故选D。‎ ‎4.点与圆上任一点连线的中点的轨迹方程是( )。‎ A、 B、‎ C、 D、‎ ‎【答案】A ‎【解析】设中点坐标为,那么圆上一点设为,满足,,‎ 根据条件,代入后得到,‎ 化简为:,故选A。‎ ‎5.若、分别为直线与上任意一点,则的最小值为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵,∴两直线平行,将直线化为,‎ 由题意可知的最小值为这两条平行直线间的距离,即,‎ ‎∴的最小值为,故选B。‎ ‎6.已知椭圆:()的左焦点,过点作倾斜角为的直线与圆相交的弦长为,则椭圆的离心率为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】B ‎【解析】过点倾斜角为的直线方程为:,即,‎ 则圆心到直线的距离:,由弦长公式可得:,‎ 整理可得:,∴,,则:,,故选B。‎ ‎7.已知点是抛物线:的焦点,点为抛物线的对称轴与其准线的交点,过作抛物线的切线,切点为,若点恰好在以、为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意,得、,设过的抛物线的切线方程为:,‎ 联立得,‎ 令,得,即,‎ 不妨设,由双曲线的定义得,,‎ 则该双曲线的离心率为,故选D。‎ ‎8.如图所示,是棱长为的正方体,、分别是棱、上的动点,且。当、、、共面时,平面与平面所成锐二面角的余弦值为( )。‎ A、 B、‎ C、 D、‎ ‎【答案】B ‎【解析】以点为原点如图建系,则、、,‎ 由题意知:当、时,、、、共面,‎ 设平面的法向量为,‎ ‎,,则,‎ 取,解得,‎ 设平面的法向量为,‎ ‎,,则,‎ 取,解得,‎ 设平面与平面所成锐二面角为,‎ 则,‎ ‎∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为,故选B。‎ 二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分.‎ ‎9.已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相垂直,则实数( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】BC ‎【解析】的斜率,‎ 当时,的斜率,∵,∴,‎ 即,解得,‎ 当时,、,直线为轴,,,直线为轴,显然,‎ ‎∴实数的值为或,故选BC。‎ ‎10.已知椭圆:()的左右焦点分别、,过且斜率为的直线交椭圆于、两点,若为直角三角形,则该椭圆的离心率( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】CD ‎【解析】当时,设,则由于,∴,,‎ ‎∵,,∴椭圆的离心率为,‎ 当时,设,则由于,∴,,‎ ‎∵,,∴椭圆的离心率为,‎ 故选CD。‎ ‎11.下列命题中不正确的是( )。‎ A、若、、、是空间任意四点,则有 B、若,则、的长度相等而方向相同或相反 C、是、共线的充分条件 D、对空间任意一点与不共线的三点、、,若(),则、、、四点共面 ‎【答案】ABD ‎【解析】A选项,而不是,故A错,‎ B选项,仅表示与的模相等,与方向无关,故B错,‎ C选项,,‎ 即,‎ 即,与方向相反,故C对,‎ D选项,空间任意一个向量都可以用不共面的三个向量、、表示,‎ ‎∴、、、四点不一定共面,故D错,‎ 故选ABD。‎ ‎12.已知、是双曲线(,)的左、右焦点,过作双曲线一条渐近线的垂线,垂足为点,交另一条渐近线于点,且,则该双曲线的离心率为( )。‎ A、 B、 C、 D、‎ ‎【答案】AC ‎【解析】(1)当时,设,则,设,‎ 由题意可知,,,,‎ 则,,,‎ 代入得,‎ 即,解得,则,‎ ‎ (2)当时,设,,设,‎ 则,,‎ 由题意可知,,,,‎ 则,,,‎ 则,‎ 则,‎ 代入得,即,解得,则,‎ ‎ 故选AC。‎ 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.动点与定点、的连线的斜率之积为,则点的轨迹方程是 。‎ ‎【答案】()‎ ‎【解析】设,则,,‎ ‎∵动点与定点、的连线的斜率之积为,‎ ‎∴,∴,即,且,‎ 综上点的轨迹方程是()。‎ ‎14.过双曲线的右支上一点,分别向圆:和圆:()作切线,切点分别为、,若的最小值为,则 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设、是双曲线的左、右焦点,也是题中圆的圆心,‎ ‎∴‎ ‎,‎ 显然其最小值为,。‎ ‎15.如图所示,是正四棱锥,是正方体,其中,,则点到平面的距离为 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】方法一:利用等体积法求点到平面距离:,‎ ‎ 又,‎ ‎ ,‎ 即,解得;‎ 方法二:利用建系求点到平面距离:以为原点,、、为、、轴建系,‎ 则,,,,,‎ ‎,,‎ 设平面的法向量为,则,即,‎ 设,解得,,则,‎ 又点到平面的距离。‎ ‎16.如图所示,已知抛物线的焦点为,直线过点且依次交抛物线及圆于、、、四点,则的最小值为 。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵,焦点,准线:,‎ 由圆:,圆心,半径为,‎ 由抛物线的定义得:,又∵,∴,‎ 同理:,‎ 当轴时,则,∴,‎ 当的斜率存在且不为时,设:,‎ 代入抛物线方程,得:,‎ ‎∴,,‎ ‎∴,‎ 当且仅当,即,时取等号,‎ 综上所述的最小值为。‎ 四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 已知两圆:和:。‎ ‎(1)求证:圆和圆相交;‎ ‎(2)求圆和圆的公共弦所在直线的方程和公共弦长。‎ ‎【解析】(1)证明:圆的圆心,半径,圆的圆心,半径, 2分 两圆圆心距,,‎ ‎∴圆和相交; 4分 ‎(2)圆和圆的方程左、右分别相减,得, 6分 ‎∴两圆的公共弦所在直线的方程为, 7分 圆心到直线的距离, 9分 故公共弦长为。 10分 ‎18.(本小题满分12分)‎ 如图,已知的边所在直线的方程为,满足,点在边所在直线上且满足。‎ ‎(1)求边所在直线的方程;‎ ‎(2)求外接圆的方程;‎ ‎(3)若动圆过点,且与的外接圆外切,求动圆的圆心的轨迹方程。‎ ‎【解析】(1)∵,∴,又在上,∴,∴为, 1分 又边所在直线的方程为,∴直线的斜率为, 2分 又∵点在直线上,∴边所在直线的方程为,‎ 即; 4分 ‎(2)与的交点为,∴由解得点的坐标为, 5分 ‎∵,∴为斜边上的中点,即为外接圆的圆心, 6分 又,从而外接圆的方程为;7分 ‎(3)∵动圆过点,∴是该圆的半径,又∵动圆与圆外切,‎ ‎∴,即, 9分 故点的轨迹是以、为焦点,实轴长为的双曲线的左支, 10分 ‎∵实半轴长,半焦距,∴虚半轴长, 11分 从而动圆的圆心的轨迹方程为()。 12分 ‎19.(本小题满分12分)‎ 如图所示,在三棱柱中,底面为正三角形,在底面上的射影是棱的中点,于点。‎ ‎(1)证明:平面;‎ ‎(2)若,求与平面所成角的正弦值。‎ ‎【解析】(1)证明:连接,∵为正三角形,为中点,∴,‎ ‎∵,,∴平面,∴, 2分 又,,∴,又,‎ ‎∴平面, 4分 ‎(2)解:由(1)可知,,,,‎ 故分别以、、为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系, 6分 设,则,,,,‎ 则,,, 8分 设平面的法向量为,则即,‎ 设,则、,则, 10分 设与平面所成角为,‎ 则,‎ ‎∴与平面所成角的正弦值为。 12分 ‎20.(本小题满分12分)‎ 椭圆:()的长轴长等于圆:的直径,且的离心率等于。直线和是过点且互相垂直的两条直线,交于、两点,交于、两点。‎ ‎(1)求的标准方程;‎ ‎(2)当四边形的面积为时,求直线的斜率()。‎ ‎【解析】(1)由题意得,∴,∵,∴,∴ , 2分 ‎∴椭圆的标准方程为; 3分 ‎(2)直线:,则直线:,由, 5分 得,恒成立, 6分 设、,则,, 7分 ‎∴, 8分 ‎∵圆心到直线:的距离, 9分 又,∴, 10分 ‎∵,∴, 11分 由,解得或,由,得。 12分 ‎21.(本小题满分12分)‎ 如图所示,在三棱柱中,四边形为菱形,, 平面平面,,,为的中点。‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求平面与平面所成角的大小。‎ ‎【解析】(1)∵四边形为菱形,,, 1分 ‎∴,∴, 2分 又平面平面,平面平面,∴平面,3分 又,∴平面; 4分 ‎ (2)取的中点,的中点,连接、,‎ ‎∵平面,∴平面,∴、,‎ 又四边形是菱形,,是的中点,∴,‎ 故、、两两互相垂直, 6分 以为坐标原点,、、所在直线分别为轴、轴、轴,‎ 建立如图所示的空间直角坐标系,‎ ‎∴、、、, 7分 由图可知,平面的一个法向量为, 8分 设平面的法向量为,则,即,‎ 取,得平面的一个法向量为, 10分 设平面与平面所成角的平面角为,‎ 则, 11分 又∵,∴,∴平面与平画所成角为。 12分 ‎22.(本小题满分12分)‎ 已知椭圆,抛物线的焦点均在轴上,的中心和的顶点均为原点,从、上分别取两个点,将其坐标记录于下表中:‎ ‎(1)求、的标准方程;‎ ‎(2)若直线:()与椭圆交于不同的两点、,且线段的垂直平分线过定点,求实数的取值范围。‎ ‎【解析】(1)设抛物线:(),则有(), 1分 据此验证个点知、在抛物线上,易求:, 2分 设椭圆:(),把点、代入得:,3分 解得,,∴的方程为:; 4分 ‎(2)设、,将()代入椭圆方程,消去得:‎ ‎, 5分 ‎∴,即①, 6分 由根与系数关系得:,则, 7分 ‎∴线段的中点的坐标为, 8分 又线段的垂直平分线的方程为, 9分 由点在直线上,得, 10分 即,∴,‎ 由①得,∴,即或, 11分 ‎∴实数的取值范围是。 12分