2015年数学理高考课件2-5 指数与指数函数 32页

[ 最新考纲展示 ] 　 1 ． 了解指数函数模型的实际背景．　 2. 理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．　 3. 理解指数幂的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点．　 4. 知道指数函数是一类重要的函数模型． 第五节　指数与指数函数 根式 1 ．根式的概念 2. 两个重要公式 a ____________________[ 通关方略 ]____________________ 对于根式的化简式进行根式运算时，一定要注意根指数的奇偶性的判断，若不明确，就分奇数与偶数情况讨论． 答案： A 有理数指数幂 1 ．幂的有关概念 (3)0 的正分数指数幂等于 0 的负分数指数幂 ． 2 ． 有理数指数幂的性质 (1) a r a s ＝ ( a >0 ， r ， s ∈ Q ) ； (2)( a r ) s ＝ ( a >0, r ， s ∈ Q ) ； (3)( ab ) r ＝ ( a >0 ， b >0 ， r ∈ Q ) ． 0, 无意义 a r ＋ s a rs a r b r ____________________[ 通关方略 ]____________________ 1 ． 分数指数幂与根式的关系 分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而简化计算过程． 2 ．有理数指数幂的运算性质中，要求指数的底数都大于 0 ，否则不能用性质来运算． 指数函数的图象与性质 3 ．函数 y ＝ a x － a ( a >0 ，且 a ≠ 1) 的图象可能是 ( 　　 ) 解析： 当 x ＝ 1 时， y ＝ a 1 － a ＝ 0 ， ∴ 函数 y ＝ a x － a 的图象过定点 (1,0) ， 结合图象可知选 C. 答案： C 4 ．已知 a ＝ 2 0.2 ， b ＝ 0.4 0.2 ， c ＝ 0.4 0.6 ，则 ( 　　 ) A ． a > b > c 　　 B ． a > c > b 　　 C ． c > a > b 　　 D ． b > c > a 解析： 由 0.2<0.6,0<0.4<1 ，并结合指数函数的图象可知 0.4 0.2 >0.4 0.6 ，即 b > c ；因为 a ＝ 2 0.2 >1 ， b ＝ 0.4 0.2 <1 ，所以 a > b . 综上， a > b > c . 答案： A 指数幂的化简与求值 反思总结 进行指数幂运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．还需注意下列问题 (1) 如果化简求值的结果含有字母，一般采用分数指数幂的形式表示． (2) 应用平方差、立方和 ( 差 ) 、完全平方公式及 a p a － p ＝ 1( a ≠ 0) 简化运算． 答案： 6 指数函数的图象及应用 【 例 2】 　 (1) 已知函数 f ( x ) ＝ ( x － a ) · ( x － b )( 其中 a > b ) ，若 f ( x ) 的图象如图所示，则函数 g ( x ) ＝ a x ＋ b 的图象是 ( 　　 ) (2) 若曲线 | y | ＝ 2 x ＋ 1 与直线 y ＝ b 没有公共点，则 b 的取值范围是 ________ ． [ 解析 ] 　 (1) 由已知并结合图象可知 0< a <1 ， b < － 1. 对于函数 g ( x ) ＝ a x ＋ b ，它一定是单调递减的． 且当 x ＝ 0 时 g (0) ＝ a 0 ＋ b ＝ 1 ＋ b <0 ，即图象与 y 轴交点在负半轴上． (2) 曲线 | y | ＝ 2 x ＋ 1 与直线 y ＝ b 的图象如图所示，由图象可得：如果 | y | ＝ 2 x ＋ 1 与直线 y ＝ b 没有公共点，则 b 应满足的条件是 b ∈ [ － 1,1] ． [ 答案 ] 　 (1)A 　 (2)[ － 1,1] 解析： 曲线 y ＝ |2 x － 1| 与直线 y ＝ b 的图象如图所示，由图象可得，如果曲线 y ＝ |2 x － 1| 与直线 y ＝ b 有两个公共点． 则 b 的取值范围是 (0,1) ． 反思总结 1 ． 与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象． 2 ． y ＝ a x ， y ＝ | a x | ， y ＝ a | x | ( a >0 且 a ≠ 1) 三者之间的关系： y ＝ a x 与 y ＝ | a x | 是同一函数的不同表现形式． 函数 y ＝ a | x | 与 y ＝ a x 不同，前者是一个偶函数，其图象关于 y 轴对称，当 x ≥ 0 时两函数图象相同． 指数函数的性质及应用 [ 答案 ] 　 (1)D 　 (2)A 反思总结 解决与指数函数的性质问题时应注意 (1) 大小比较时，注意构造函数利用单调性去比较，有时需要借助于中间量如 0,1 判断． (2) 与指数函数单调性有关的综合应用问题，要注意分类讨论思想及数形结合思想的应用． 变式训练 2 ．函数 f ( x ) ＝ a |2 x － 4| ( a >0 ， a ≠ 0) 且 f (1) ＝ 9. 则 f ( x ) 的单调递减区间是 ________ ． 解析： 由 f (1) ＝ 9 得 a 2 ＝ 9 ， ∴ a ＝ 3. 因此 f ( x ) ＝ 3 |2 x － 4| ， 又 ∵ g ( x ) ＝ |2 x － 4| 在 ( － ∞ ， 2] 内单调递减， ∴ f ( x ) 的单调递减区间是 ( － ∞ ， 2] ． 答案： ( －∞， 2] —— 分类讨论思想在指数函数中的应用 分类讨论思想在指数函数中主要是涉及单调性问题，一般情况下，当指数函数的底数不明确时，要分 a >1 或 0< a <1 两种情况讨论． 【 典例 】 　设 a >0 且 a ≠ 1 ，函数 y ＝ a 2 x ＋ 2 a x － 1 在 [ － 1,1] 上的最大值是 14 ，求 a 的值． 由题悟道 本题主要考查换元法求二次函数最值及指数函数的单调性，解题时，换元后由于底数 a 取值不定故要分两种情况进行讨论． 若指数函数 y ＝ a x 在 [ － 1,1] 上的最大值与最小值的差是 1 ，则底数 a ＝ ________. 本小节结束 请按 ESC 键返回