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广东省佛山市2019-2020学年普通高中高三教学质量检测(一)数学理科试题(PDF版,含答案)

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高三教学质量检测(一)理科数学试题 第 1 页 共 4 页 2019~2020 学年佛山市普通高中高三教学质量检测(一) 数 学(理科) 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内;如需改 动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效. 4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回. 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的. 1.在复平面内,复数 5i 1+ 2i 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合  2 2 0A x x x    ,  | | 1B x x  ,则 A B I ( ) A. ( 2, 1)  B. ( 1,1) C. (0,1) D. (1,2) 3.已知 ,x y R ,且 0x y  ,则( ) A. cos cos 0x y  B. cos cos 0x y  C. ln ln 0x y  D. ln ln 0x y  4.函数 ( )f x 的图像向左平移一个单位长度,所得图像与 exy  关于 y 轴对称,则 ( )f x  ( ) A. 1e x  B. 1e x  C. 1ex D. 1ex 5.希尔宾斯基三角形是一种分形,由波兰数学家希尔宾斯基在 1915 年提出,先作一个正三角形,挖去一 个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形),然后在剩下的小三角形中又挖去一个 “中心三角形”,我们用白色代表挖去的 面积,那么黑三角形为剩下的面积(我 们称黑三角形为希尔宾斯基三角形).在 如图第 3 个大正三角形中随机取点,则 落在黑色区域的概率为( ) A. 3 5 B. 9 16 C. 7 16 D. 2 5 6.已知等比数列 na 满足 1 2 36a a  , 1 3 24a a  ,则使得 1 2 na a aL 取得最大值的 n 为( ) A.3 B. 4 C.5 D. 6 7.已知 为锐角, 3cos 5   ,则 πtan =4 2     ( ) A. 1 3 B. 1 2 C. 2 D.3 2020 年 1 月 7 日 高三教学质量检测(一)理科数学试题 第 2 页 共 4 页 8.已知双曲线 2 2 2 2: 1x yC a b   ,O 为坐标原点,直线 x a 与双曲线C 的两条渐近线交于 ,A B 两点,若 △OAB 是边长为 2 的等边三角形,则双曲线C 的方程为( ) A. 2 2 13 x y  B. 2 2 13 yx   C. 2 2 112 4 x y  D. 2 2 14 12 x y  9.地球上的风能取之不尽,用之不竭.风能是清洁能源,也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发 电,近 10 年来,全球风力发电累计装机容量连年攀升,中国更是发展迅猛,在 2014 年累计装机容量 就突破了 100GW,达到 114.6GW,中国的风力发电技术也日臻成熟,在全球范围的能源升级换代行动 中体现出大国的担当与决心.以下是近 10 年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图. 根据以上信息,正确的统计结论是( ) A.截止到 2015 年中国累计装机容量达到峰值 B.10 年来全球新增装机容量连年攀升 C.10 年来中国新增装机容量平均超过 20GW D.截止到 2015 年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过 1 3 10.已知函数 1( ) 2 12 1xf x x   ,且 2( ) (2 ) 3f a f a  ,则 a 的取值范围是( ) A. ( , 3) (1, )  U B. ( , 2) (0, )  U C. ( 2,0) D. ( 1,3) 11.已知函数 ( ) sin sin(π )f x x x  ,现给出如下结论: ① ( )f x 是奇函数; ② ( )f x 是周期函数; ③ ( )f x 在区间 (0, π) 上有三个零点; ④ ( )f x 的最大值为 2 . 其中正确结论的个数为( ) A.1 B. 2 C.3 D. 4 12.已知正三棱柱 1 1 1ABC A B C 的侧棱长为 4 ,底面边长为 2 ,用一个平面截此棱柱,与侧棱 1 1 1, ,AA BB CC 分别交于点 , ,M N Q ,若△ MNQ 为直角三角形,则△ MNQ 面积的最大值为( ) A.3 B. 10 C. 17 D.3 2 高三教学质量检测(一)理科数学试题 第 3 页 共 4 页 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22~23 为选 考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13.从进入决赛的 6 名选手中决出 1 名一等奖,2 名二等奖,3 名三等奖,则可能的决赛结果共有 种.(用数字作答) 14.在△ ABC 中, 2AB  , 3AC  , P 是边 BC 的垂直平分线上一点,则 AP BC  uuur uuur . 15.函数 ( ) lnf x x 和 2( )g x ax x  的图象有公共点 P,且在点 P 处的切线相同,则这条切线方程为 . 16.在平面直角坐标系 xOy 中,对曲线C 上任意一点 P , P 到直线 1 0x   的距离与该点到点O 的距离 之和等于 2 ,则曲线C 与 y 轴的交点坐标是 ;设点 5 ,04A    ,则| | | |PO PA 的最小值 为 . 三、解答题:本大题共 7 小题,共 70 分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 绿水青山就是金山银山.近年来,祖国各地依托本地自然资源,打造旅游产业,旅游业正蓬勃发展.景 区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念,合力使旅游市场走上规范有序且可持 续的发展轨道.某景区有一个自愿消费的项目:在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合 影,参观后,在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来,游客可自由选择是否带走照片,若带走照片则需 支付 20 元,没有被带走的照片会收集起来统一销毁。该项目运营一段时间后,统计出平均只有三成的游 客会选择带走照片.为改善运营状况,该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作了市场调研,发现收费 与消费意愿有较强的线性相关性,并统计出在原有的基础上,价格每下调 1 元,游客选择带走照片的可能 性平均增加 0.05,假设平均每天约有 5000 人参观该特色景点,每张照片的综合成本为 5 元,假设每个游 客是否购买照片相互独立. (1)若调整为支付 10 元就可带走照片,该项目每天的平均利润比调整前多还是少? (2)要使每天的平均利润达到最大值,应如何定价? 18.(本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,内角 A , B ,C 的对边分别为 a ,b , c .已知 πsin sin( )3a B b A  . (1)求 A ; (2) D 是线段 BC 上的点,若 2AD BD  , 3CD  ,求△ ADC 的面积. 19.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的离心率为 1 2 ,点 31, 2A     在椭圆C 上,直线 1l 过椭圆C 的右焦 点与上顶点,动直线 2 :l y kx 与椭圆C 交于 ,M N 两点,交 1l 于 P 点. (1)求椭圆C 的方程; (2)已知O 为坐标原点,若点 P 满足 1 4OP MN ,求此时 MN 的长度. 高三教学质量检测(一)理科数学试题 第 4 页 共 4 页 20.(本小题满分 12 分) 如图,三棱锥 P ABC 中,平面 PAB  平面 ABC ,PA PB , 90APB ACB     ,点 ,E F 分 别是棱 ,AB PB 的中点,点G 是△ BCE 的重心. (1)证明: / /GF 平面 PAC ; (2)若 GF 与平面 ABC 所成的角为 60 ,求二面角 B AP C  的余弦值. 21.(本小题满分12分) 已知函数 ( ) 1 2sin , 0f x x x x    . (1)求 ( )f x 的最小值; (2)证明: 2( ) e xf x  . 请考生在第 22,23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清楚题号. 22.(本小题满分 10 分)[选修 4 4 :坐标系与参数方程选讲] 在直角坐标系 xOy 中,曲线C 的参数方程为 24 4 x m y m     ( m 为参数). (1)写出曲线C 的普通方程,并说明它表示什么曲线; (2)已知倾斜角互补的两条直线 1l , 2l ,其中 1l 与C 交于 A , B 两点, 2l 与C 交于 M , N 两点, 1l 与 2l 交于点  0 0,P x y ,求证: PA PB PM PN   . 23.(本小题满分 10 分)[选修 4 5 :不等式选讲] 已知函数 ( ) 1f x x a x    . (1)若 ( ) 2f a  ,求 a 的取值范围; (2)当 [ , ]x a a k  时,函数 ( )f x 的值域为[1,3],求 k 的值. 理科数学参考答案与评分标准 第 1页(共 4页) 2019~2020 年佛山市普通高中高三教学质量检测(一) 数 学(理科)参考答案与评分标准 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A D C A B B D A D B B C 二、填空题:本大共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 13. 60 14. 5 2 15. 1y x  16.   70, 1 , 4  三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【解析】(1)当收费为 20 元时,照片被带走的可能性为 0.3,不被带走的可能性为 0.7,设每个游客的 利润为 1Y (元),则 1Y 是随机变量,其分布列为: 1Y 15 5 P 0.3 0.7 1( ) 15 0.3 5 0.7 1E Y      元,则 5000 个游客的平均利润为 5000 元; …………2 分 当收费为 10 元时,照片被带走的可能性为 0.3 0.05 10 0.8   ,不被带走的可能性为 0.2,设每个游客的 利润为 2Y (元),则 2Y 是随机变量,其分布列为: 2Y 5 5 P 0.8 0.2 2( ) 5 0.8 5 0.2 3E Y      元,则 5000 个游客的平均利润为 15000 元; ………………5 分 该项目每天的平均利润比调整前多 10000 元. …………………………6 分 (2)设降价 x 元,则 0 15x  ,照片被带走的可能性为 0.3 0.05x ,不被带走的可能性为 0.7 0.05x , 设每个游客的利润为Y (元),则Y 是随机变量,其分布列为: Y 15 x 5 P 0.3 0.05x 0.7 0.05x 2( ) (15 ) (0.3 0.05 ) 5 (0.7 0.05 ) 0.05[69 ( 7) ]E Y x x x x          ……………………10 分 当 7x  时, ( )E Y 有最大值 3.45 元, ………………………………………11 分 即当定价为 13 元时,日平均利润为 17250 元. ……………………………………………12 分 18. 【解析】(1)由正弦定理,可得 sin sina B b A . …………………………………………1 分 则有 1 3sin ( sin cos )2 2b A b A A  ,化简得 1 3sin cos2 2A A  . …………………………3 分 即 tan 3A   ,∵ (0, π)A ,则 2π 3A  . ……………………………………………………5 分 (2)设 π, (0, )3B     , … ……4 分 … ……8 分 … ……1 分 理科数学参考答案与评分标准 第 2页(共 4页) 由题意得 BAD   , 2ADC   , 2π 3DAC    , π 3ACD    .……………………6 分 在△ ADC 中, sin sin CD AD DAC ACD   ,则 3 2 2π πsin( ) sin( )3 3      . ………………………7 分 ∴ 3 2 3 1 3 1cos sin cos sin2 2 2 2        ,得 3sin cos5   . ……………………………8 分 结合 2 2sin cos 1   ,可得 21sin 14   , 5 7cos 14   .………………………………………9 分 则 5 3sin 2 2sin cos 14     . …………………………………………………………………10 分 ∴ 1 1 5 3 15 3sin 2 32 2 4 14ADCS AD CD ADC         .………………………………………12 分 19.【解析】(1)由题意得 1 2 ce a   , 2 2 2 3( )1 2 1a b   ,结合 2 2 2a b c  , 解得 2 4a  , 2 3b  , 1c  . …………………………………………………………………………3 分 故所求椭圆C 的方程为 2 2 14 3 x y  . …………………………………………………………………4 分 (2)易知定直线 1l 的方程为 3 3 0x y   . ……………………………………………………5 分 联立 2 2 14 3 y kx x y    ,整理得 2 2(3 4 ) 12k x  ,解得 2 12 3 4x k    , 无妨令 M 点坐标为 2 2 12 12( , )3 4 3 4kk k  . …………………………………………………………7 分 ∵ 1 4OP MN ,由对称性可知,点 P 为OM 的中点,故 P 点坐标为 2 2 12 12 3 4 3 4( , )2 2 kk k  .…8 分 又 P 在直线 1 : 3 3 0l x y   上,故 2 2 12 12 3 4 3 43 3 02 2 kk k     , 解得 1 2 2 30, 3k k  .故 M 点坐标为 (2,0) 或 6 4 3( , )5 5 . …………………………………………10 分 所以 2OM  或 2 21 5 ,所以 MN 的长度为 4 或 4 21 5 . ……………………………………………12 分 理科数学参考答案与评分标准 第 3页(共 4页) 20.【解析】(1)连接 EF ,连接 EG 并延长交 BC 于点 D ,则点 D 为 BC 的中点, 从而点 , ,D E F 分别是棱 , ,CB AB PB 的中点,∴ / /DE AC , / /EF AP .…1 分 又 ,DE EF  平面 PAC , ,AC AP  平面 PAC . ∴ / /DE 平面 PAC , / /EF 平面 PAC . ……………………2 分 又 ,DE EF  平面 EFG , DE EF E ,∴平面 / /EFG 平面 PAC .…3 分 又GF  平面 EFG ,∴ / /GF 平面 PAC 。 ………………………………4 分 (2)连接 PE ,∵ PA PB , E 是 AB 的中点,∴ PE  AB ,∵平面 PAB  平面 ABC ,平面 PAB  平面 ABC AB , PE  平面 PAB ,∴ PE  平面 ABC . …………………………………………6 分 连接 CG 并延长交 BE 于点O ,则O 为 BE 的中点,连接OF ,则 / /OF PE ,∴OF  平面 ABC . ∴ FGO 为GF 与平面 ABC 所成的角,即 60FGO   . …………………………………………7 分 在 Rt△ FGO 中,设 2GF  ,则 1OG  , 3OF  ,∴ 3OC  , 2 3PE  . ∴ 4 3AB  , 2 3CE  , 3OE  ,∴ 2 2 2OE OC CE  ,即OC AB . …………………8 分 如图建立空间直角坐标系O xyz ,则 (0, 3 3,0)A  , (3,0,0)C , (0, 3,2 3)P  , ∴ (3,3 3,0)AC  , (0,2 3,2 3)AP  ,设平面 PAC 的一个法向量为 1 ( , , )x y zn , 则由 1 1 3 3 3 0 2 3 2 3 0 AP x y AC y z            n n ,可取 1 ( 3, 1,1) n . ………………………………………10 分 又平面 PAB 的一个法向量可取 2 (1,0,0)n . …………………………………………………………11 分 则 1 2 1 2 1 2 3 15cos , | || | 55    n nn n n n ,所以二面角 B AP C  的余弦值为 15 5 .……………12 分 21.【解析】(1) ( ) 1 2cosf x x   ,令 ( ) 0f x  ,得 1cos 2x  . ………………………………1 分 故在区间[0, π]上, ( )f x 的唯一零点是 π 3x  . ……………………………………………………2 分 当 π[0, )3x 时, ( ) 0f x  , ( )f x 单调递减;当 π( , π]3x 时, ( ) 0f x  , ( )f x 单调递增.……3 分 故在区间[0, π]上, ( )f x 的极小值为 π π( ) 1 33 3f    . …………………………………………4 分 当 πx  时, π( ) 1 π 2 π 1 ( )3f x f      ,所以 ( )f x 的最小值为 π π( ) 1 33 3f    .………5 分 (2)要证: 0x  时, 2( ) e xf x  ,即证: 0x  时, 2( ) (1 2sin )e 1xg x x x    .…………6 分 2 2 2( ) 2(1 2sin )e (1 2cos )e (3 2 4sin 2cos )ex x xg x x x x x x x          ,……………………7 分 令 ( ) sin , 0h x x x x   ,则 ( ) 1 cos 0h x x    ,即 ( )h x 是 (0, ) 上的增函数. 理科数学参考答案与评分标准 第 4页(共 4页) ∴ ( ) (0) 0h x h  ,即 sinx x . ……………………………………………………………………9 分 ∴ π3 2 4sin 2cos 3 2sin 4sin 2cos 3 2(sin cos ) 3 2 2 sin( ) 04x x x x x x x x x              ∴ 2( ) (3 2 4sin 2cos )e 0xg x x x x      .…………………………………………………………11 分 即 ( )g x 是 (0, ) 上的增函数, ( ) (0) 1g x g  ,故当 0x  时, 2( ) e xf x  . ………………12 分 22.【解析】(1)由 4y m ,得 4 ym  ,代入 24x m ,得 2 4 yx  ,即 2 4y x .………………2 分 ∴C 的普通方程为 2 4y x ,表示开口向右,焦点为 (1,0)F 的抛物线. ……………………………4 分 (2)设直线 1l 的倾斜角为 ,直线 2l 的倾斜角为 π  , 则直线 1l 的参数方程为 0 0 cos (sin x x t ty y t        为参数 ) . …………………………………………………5 分 与 2 4y x 联立得 2 2 2 0 0 0sin (2 sin 4cos ) 4 0t y t y x       .…………………………………6 分 设方程的两个解为 1 2,t t ,则 2 0 0 1 2 2 4 sin y xt t   .……………………………………………………………7 分 ∴ 2 0 0 1 2 2 4 sin y xPA PB t t      . ……………………………………………………………………8 分 则 2 2 0 0 0 0 2 2 4 4 sin (π ) sin y x y xPM PN       . ……………………………………………………………9 分 ∴ PA PB PM PN   .………………………………………………………………………………10 分 23.【解析】(1) ( ) 1 2f a a   ,得 2 1 2a    . ………………………………………………2 分 即 1 3a   ,∴ a 的取值范围是 ( 1,3) .………………………………………………………………4 分 (2)当 1a  时,函数 ( )f x 在区间[ , ]a a k 上单调递增.……………………………………………5 分 则 min[ ( )] ( ) 1 1f x f a a    ,得 2a  . max[ ( )] ( ) 2 1 3f x f a k a k      ,得 1k  .……6 分 当 1a  时, 2 1, 1 ( ) 1 , 1 2 1, x a x f x a a x x a x a            .…………………………………………………………………8 分 则 min[ ( )] ( ) 1 1f x f a a    ,得 0a  . max[ ( )] ( ) 2 1 3f x f a k a k      ,得 2k  .……9 分 综上所述, k 的值为1或 2 . ………………………………………………………………………………10 分