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高三教学质量检测(一)理科数学试题 第 1 页 共 4 页
2019~2020 学年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)
数 学(理科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟.
注意事项:
1.答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目.
2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内;如需改
动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液,不按以上要求作答的答案无效.
4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷交回.
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题
目要求的.
1.在复平面内,复数 5i
1+ 2i
对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知集合 2 2 0A x x x , | | 1B x x ,则 A B I ( )
A. ( 2, 1) B. ( 1,1) C. (0,1) D. (1,2)
3.已知 ,x y R ,且 0x y ,则( )
A. cos cos 0x y B. cos cos 0x y
C. ln ln 0x y D. ln ln 0x y
4.函数 ( )f x 的图像向左平移一个单位长度,所得图像与 exy 关于 y 轴对称,则 ( )f x ( )
A. 1e x B. 1e x C. 1ex D. 1ex
5.希尔宾斯基三角形是一种分形,由波兰数学家希尔宾斯基在 1915 年提出,先作一个正三角形,挖去一
个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形),然后在剩下的小三角形中又挖去一个
“中心三角形”,我们用白色代表挖去的
面积,那么黑三角形为剩下的面积(我
们称黑三角形为希尔宾斯基三角形).在
如图第 3 个大正三角形中随机取点,则
落在黑色区域的概率为( )
A. 3
5 B. 9
16 C. 7
16 D. 2
5
6.已知等比数列 na 满足 1 2 36a a , 1 3 24a a ,则使得 1 2 na a aL 取得最大值的 n 为( )
A.3 B. 4 C.5 D. 6
7.已知 为锐角, 3cos 5
,则 πtan =4 2
( )
A. 1
3 B. 1
2 C. 2 D.3
2020 年 1 月 7 日
高三教学质量检测(一)理科数学试题 第 2 页 共 4 页
8.已知双曲线
2 2
2 2: 1x yC a b
,O 为坐标原点,直线 x a 与双曲线C 的两条渐近线交于 ,A B 两点,若
△OAB 是边长为 2 的等边三角形,则双曲线C 的方程为( )
A.
2
2 13
x y B.
2
2 13
yx C.
2 2
112 4
x y D.
2 2
14 12
x y
9.地球上的风能取之不尽,用之不竭.风能是清洁能源,也是可再生能源.世界各国致力于发展风力发
电,近 10 年来,全球风力发电累计装机容量连年攀升,中国更是发展迅猛,在 2014 年累计装机容量
就突破了 100GW,达到 114.6GW,中国的风力发电技术也日臻成熟,在全球范围的能源升级换代行动
中体现出大国的担当与决心.以下是近 10 年全球风力发电累计装机容量与中国新增装机容量图.
根据以上信息,正确的统计结论是( )
A.截止到 2015 年中国累计装机容量达到峰值
B.10 年来全球新增装机容量连年攀升
C.10 年来中国新增装机容量平均超过 20GW
D.截止到 2015 年中国累计装机容量在全球累计装机容量中占比超过 1
3
10.已知函数 1( ) 2 12 1xf x x
,且 2( ) (2 ) 3f a f a ,则 a 的取值范围是( )
A. ( , 3) (1, ) U B. ( , 2) (0, ) U C. ( 2,0) D. ( 1,3)
11.已知函数 ( ) sin sin(π )f x x x ,现给出如下结论:
① ( )f x 是奇函数;
② ( )f x 是周期函数;
③ ( )f x 在区间 (0, π) 上有三个零点;
④ ( )f x 的最大值为 2 .
其中正确结论的个数为( )
A.1 B. 2 C.3 D. 4
12.已知正三棱柱 1 1 1ABC A B C 的侧棱长为 4 ,底面边长为 2 ,用一个平面截此棱柱,与侧棱 1 1 1, ,AA BB CC
分别交于点 , ,M N Q ,若△ MNQ 为直角三角形,则△ MNQ 面积的最大值为( )
A.3 B. 10 C. 17 D.3 2
高三教学质量检测(一)理科数学试题 第 3 页 共 4 页
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分.第 13~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22~23 为选
考题,考生根据要求作答.
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.
13.从进入决赛的 6 名选手中决出 1 名一等奖,2 名二等奖,3 名三等奖,则可能的决赛结果共有
种.(用数字作答)
14.在△ ABC 中, 2AB , 3AC , P 是边 BC 的垂直平分线上一点,则 AP BC
uuur uuur
.
15.函数 ( ) lnf x x 和 2( )g x ax x 的图象有公共点 P,且在点 P 处的切线相同,则这条切线方程为
.
16.在平面直角坐标系 xOy 中,对曲线C 上任意一点 P , P 到直线 1 0x 的距离与该点到点O 的距离
之和等于 2 ,则曲线C 与 y 轴的交点坐标是 ;设点 5 ,04A
,则| | | |PO PA 的最小值
为 .
三、解答题:本大题共 7 小题,共 70 分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本小题满分 12 分)
绿水青山就是金山银山.近年来,祖国各地依托本地自然资源,打造旅游产业,旅游业正蓬勃发展.景
区与游客都应树立尊重自然、顺应自然、保护自然的生态文明理念,合力使旅游市场走上规范有序且可持
续的发展轨道.某景区有一个自愿消费的项目:在参观某特色景点入口处会为每位游客拍一张与景点的合
影,参观后,在景点出口处会将刚拍下的照片打印出来,游客可自由选择是否带走照片,若带走照片则需
支付 20 元,没有被带走的照片会收集起来统一销毁。该项目运营一段时间后,统计出平均只有三成的游
客会选择带走照片.为改善运营状况,该项目组就照片收费与游客消费意愿关系作了市场调研,发现收费
与消费意愿有较强的线性相关性,并统计出在原有的基础上,价格每下调 1 元,游客选择带走照片的可能
性平均增加 0.05,假设平均每天约有 5000 人参观该特色景点,每张照片的综合成本为 5 元,假设每个游
客是否购买照片相互独立.
(1)若调整为支付 10 元就可带走照片,该项目每天的平均利润比调整前多还是少?
(2)要使每天的平均利润达到最大值,应如何定价?
18.(本小题满分 12 分)
在△ ABC 中,内角 A , B ,C 的对边分别为 a ,b , c .已知 πsin sin( )3a B b A .
(1)求 A ;
(2) D 是线段 BC 上的点,若 2AD BD , 3CD ,求△ ADC 的面积.
19.(本小题满分 12 分)
已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的离心率为 1
2
,点 31, 2A
在椭圆C 上,直线 1l 过椭圆C 的右焦
点与上顶点,动直线 2 :l y kx 与椭圆C 交于 ,M N 两点,交 1l 于 P 点.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)已知O 为坐标原点,若点 P 满足 1
4OP MN ,求此时 MN 的长度.
高三教学质量检测(一)理科数学试题 第 4 页 共 4 页
20.(本小题满分 12 分)
如图,三棱锥 P ABC 中,平面 PAB 平面 ABC ,PA PB , 90APB ACB ,点 ,E F 分
别是棱 ,AB PB 的中点,点G 是△ BCE 的重心.
(1)证明: / /GF 平面 PAC ;
(2)若 GF 与平面 ABC 所成的角为 60 ,求二面角
B AP C 的余弦值.
21.(本小题满分12分)
已知函数 ( ) 1 2sin , 0f x x x x .
(1)求 ( )f x 的最小值;
(2)证明: 2( ) e xf x .
请考生在第 22,23 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清楚题号.
22.(本小题满分 10 分)[选修 4 4 :坐标系与参数方程选讲]
在直角坐标系 xOy 中,曲线C 的参数方程为
24
4
x m
y m
( m 为参数).
(1)写出曲线C 的普通方程,并说明它表示什么曲线;
(2)已知倾斜角互补的两条直线 1l , 2l ,其中 1l 与C 交于 A , B 两点, 2l 与C 交于 M , N 两点, 1l
与 2l 交于点 0 0,P x y ,求证: PA PB PM PN .
23.(本小题满分 10 分)[选修 4 5 :不等式选讲]
已知函数 ( ) 1f x x a x .
(1)若 ( ) 2f a ,求 a 的取值范围;
(2)当 [ , ]x a a k 时,函数 ( )f x 的值域为[1,3],求 k 的值.
理科数学参考答案与评分标准 第 1页(共 4页)
2019~2020 年佛山市普通高中高三教学质量检测(一)
数 学(理科)参考答案与评分标准
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A D C A B B D A D B B C
二、填空题:本大共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.
13. 60 14. 5
2 15. 1y x 16. 70, 1 , 4
三、解答题:本大题共 6 小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.【解析】(1)当收费为 20 元时,照片被带走的可能性为 0.3,不被带走的可能性为 0.7,设每个游客的
利润为 1Y (元),则 1Y 是随机变量,其分布列为:
1Y 15 5
P 0.3 0.7
1( ) 15 0.3 5 0.7 1E Y 元,则 5000 个游客的平均利润为 5000 元; …………2 分
当收费为 10 元时,照片被带走的可能性为 0.3 0.05 10 0.8 ,不被带走的可能性为 0.2,设每个游客的
利润为 2Y (元),则 2Y 是随机变量,其分布列为:
2Y 5 5
P 0.8 0.2
2( ) 5 0.8 5 0.2 3E Y 元,则 5000 个游客的平均利润为 15000 元; ………………5 分
该项目每天的平均利润比调整前多 10000 元. …………………………6 分
(2)设降价 x 元,则 0 15x ,照片被带走的可能性为 0.3 0.05x ,不被带走的可能性为 0.7 0.05x ,
设每个游客的利润为Y (元),则Y 是随机变量,其分布列为:
Y 15 x 5
P 0.3 0.05x 0.7 0.05x
2( ) (15 ) (0.3 0.05 ) 5 (0.7 0.05 ) 0.05[69 ( 7) ]E Y x x x x ……………………10 分
当 7x 时, ( )E Y 有最大值 3.45 元, ………………………………………11 分
即当定价为 13 元时,日平均利润为 17250 元. ……………………………………………12 分
18. 【解析】(1)由正弦定理,可得 sin sina B b A . …………………………………………1 分
则有 1 3sin ( sin cos )2 2b A b A A ,化简得 1 3sin cos2 2A A . …………………………3 分
即 tan 3A ,∵ (0, π)A ,则 2π
3A . ……………………………………………………5 分
(2)设 π, (0, )3B ,
…
……4 分
…
……8 分
…
……1 分
理科数学参考答案与评分标准 第 2页(共 4页)
由题意得 BAD , 2ADC , 2π
3DAC , π
3ACD .……………………6 分
在△ ADC 中,
sin sin
CD AD
DAC ACD
,则 3 2
2π πsin( ) sin( )3 3
. ………………………7 分
∴ 3 2
3 1 3 1cos sin cos sin2 2 2 2
,得 3sin cos5
. ……………………………8 分
结合 2 2sin cos 1 ,可得 21sin 14
, 5 7cos 14
.………………………………………9 分
则 5 3sin 2 2sin cos 14
. …………………………………………………………………10 分
∴ 1 1 5 3 15 3sin 2 32 2 4 14ADCS AD CD ADC .………………………………………12 分
19.【解析】(1)由题意得 1
2
ce a
,
2
2 2
3( )1 2 1a b
,结合 2 2 2a b c ,
解得 2 4a , 2 3b , 1c . …………………………………………………………………………3 分
故所求椭圆C 的方程为
2 2
14 3
x y . …………………………………………………………………4 分
(2)易知定直线 1l 的方程为 3 3 0x y . ……………………………………………………5 分
联立 2 2
14 3
y kx
x y
,整理得 2 2(3 4 ) 12k x ,解得 2
12
3 4x k
,
无妨令 M 点坐标为 2 2
12 12( , )3 4 3 4kk k
. …………………………………………………………7 分
∵ 1
4OP MN ,由对称性可知,点 P 为OM 的中点,故 P 点坐标为
2 2
12 12
3 4 3 4( , )2 2
kk k .…8 分
又 P 在直线 1 : 3 3 0l x y 上,故
2 2
12 12
3 4 3 43 3 02 2
kk k ,
解得 1 2
2 30, 3k k .故 M 点坐标为 (2,0) 或 6 4 3( , )5 5
. …………………………………………10 分
所以 2OM 或 2 21
5
,所以 MN 的长度为 4 或 4 21
5
. ……………………………………………12 分
理科数学参考答案与评分标准 第 3页(共 4页)
20.【解析】(1)连接 EF ,连接 EG 并延长交 BC 于点 D ,则点 D 为 BC 的中点,
从而点 , ,D E F 分别是棱 , ,CB AB PB 的中点,∴ / /DE AC , / /EF AP .…1 分
又 ,DE EF 平面 PAC , ,AC AP 平面 PAC .
∴ / /DE 平面 PAC , / /EF 平面 PAC . ……………………2 分
又 ,DE EF 平面 EFG , DE EF E ,∴平面 / /EFG 平面 PAC .…3 分
又GF 平面 EFG ,∴ / /GF 平面 PAC 。 ………………………………4 分
(2)连接 PE ,∵ PA PB , E 是 AB 的中点,∴ PE AB ,∵平面 PAB 平面 ABC ,平面 PAB
平面 ABC AB , PE 平面 PAB ,∴ PE 平面 ABC . …………………………………………6 分
连接 CG 并延长交 BE 于点O ,则O 为 BE 的中点,连接OF ,则 / /OF PE ,∴OF 平面 ABC .
∴ FGO 为GF 与平面 ABC 所成的角,即 60FGO . …………………………………………7 分
在 Rt△ FGO 中,设 2GF ,则 1OG , 3OF ,∴ 3OC , 2 3PE .
∴ 4 3AB , 2 3CE , 3OE ,∴ 2 2 2OE OC CE ,即OC AB . …………………8 分
如图建立空间直角坐标系O xyz ,则 (0, 3 3,0)A , (3,0,0)C , (0, 3,2 3)P ,
∴ (3,3 3,0)AC , (0,2 3,2 3)AP ,设平面 PAC 的一个法向量为 1 ( , , )x y zn ,
则由 1
1
3 3 3 0
2 3 2 3 0
AP x y
AC y z
n
n
,可取 1 ( 3, 1,1) n . ………………………………………10 分
又平面 PAB 的一个法向量可取 2 (1,0,0)n . …………………………………………………………11 分
则 1 2
1 2
1 2
3 15cos , | || | 55
n nn n n n
,所以二面角 B AP C 的余弦值为 15
5
.……………12 分
21.【解析】(1) ( ) 1 2cosf x x ,令 ( ) 0f x ,得 1cos 2x . ………………………………1 分
故在区间[0, π]上, ( )f x 的唯一零点是 π
3x . ……………………………………………………2 分
当 π[0, )3x 时, ( ) 0f x , ( )f x 单调递减;当 π( , π]3x 时, ( ) 0f x , ( )f x 单调递增.……3 分
故在区间[0, π]上, ( )f x 的极小值为 π π( ) 1 33 3f . …………………………………………4 分
当 πx 时, π( ) 1 π 2 π 1 ( )3f x f ,所以 ( )f x 的最小值为 π π( ) 1 33 3f .………5 分
(2)要证: 0x 时, 2( ) e xf x ,即证: 0x 时, 2( ) (1 2sin )e 1xg x x x .…………6 分
2 2 2( ) 2(1 2sin )e (1 2cos )e (3 2 4sin 2cos )ex x xg x x x x x x x ,……………………7 分
令 ( ) sin , 0h x x x x ,则 ( ) 1 cos 0h x x ,即 ( )h x 是 (0, ) 上的增函数.
理科数学参考答案与评分标准 第 4页(共 4页)
∴ ( ) (0) 0h x h ,即 sinx x . ……………………………………………………………………9 分
∴ π3 2 4sin 2cos 3 2sin 4sin 2cos 3 2(sin cos ) 3 2 2 sin( ) 04x x x x x x x x x
∴ 2( ) (3 2 4sin 2cos )e 0xg x x x x .…………………………………………………………11 分
即 ( )g x 是 (0, ) 上的增函数, ( ) (0) 1g x g ,故当 0x 时, 2( ) e xf x . ………………12 分
22.【解析】(1)由 4y m ,得
4
ym ,代入 24x m ,得
2
4
yx ,即 2 4y x .………………2 分
∴C 的普通方程为 2 4y x ,表示开口向右,焦点为 (1,0)F 的抛物线. ……………………………4 分
(2)设直线 1l 的倾斜角为 ,直线 2l 的倾斜角为 π ,
则直线 1l 的参数方程为 0
0
cos (sin
x x t ty y t
为参数 ) . …………………………………………………5 分
与 2 4y x 联立得 2 2 2
0 0 0sin (2 sin 4cos ) 4 0t y t y x .…………………………………6 分
设方程的两个解为 1 2,t t ,则
2
0 0
1 2 2
4
sin
y xt t
.……………………………………………………………7 分
∴
2
0 0
1 2 2
4
sin
y xPA PB t t
. ……………………………………………………………………8 分
则
2 2
0 0 0 0
2 2
4 4
sin (π ) sin
y x y xPM PN
. ……………………………………………………………9 分
∴ PA PB PM PN .………………………………………………………………………………10 分
23.【解析】(1) ( ) 1 2f a a ,得 2 1 2a . ………………………………………………2 分
即 1 3a ,∴ a 的取值范围是 ( 1,3) .………………………………………………………………4 分
(2)当 1a 时,函数 ( )f x 在区间[ , ]a a k 上单调递增.……………………………………………5 分
则 min[ ( )] ( ) 1 1f x f a a ,得 2a . max[ ( )] ( ) 2 1 3f x f a k a k ,得 1k .……6 分
当 1a 时,
2 1, 1
( ) 1 , 1
2 1,
x a x
f x a a x
x a x a
.…………………………………………………………………8 分
则 min[ ( )] ( ) 1 1f x f a a ,得 0a . max[ ( )] ( ) 2 1 3f x f a k a k ,得 2k .……9 分
综上所述, k 的值为1或 2 . ………………………………………………………………………………10 分
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