2020年高中数学第四章导数及其应用4 2页

‎4.4　生活中的优化问题举例 ‎1．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是 ‎(　　)‎ A．8 B. C．－1 D．－8‎ 答案　C 解析　原油温度的瞬时变化率为f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以 当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1.‎ ‎2．设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V，那么其表面积最小时底面边长为 ‎(　　)‎ A. B. C. D．2 答案　C 解析　设底面边长为x，则表面积S＝x2＋V(x>0)．‎ ‎∴S′＝(x3－4V)．令S′＝0，得x＝.‎ ‎3. 在边长为‎60 cm的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？‎ 解　设箱底边长为x cm，则箱高h＝ cm，箱子容积V(x)＝x2h＝(0＜x＜60)．‎ V′(x)＝60x－x2令V′(x)＝60x－x2＝0，‎ 解得x＝0(舍去)或x＝40，并求得V(40)＝16 000.‎ 由题意知，当x过小(接近0)或过大(接近60)时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值．‎ 答　当x＝‎40 cm时，箱子容积最大，最大容积是16 ‎000 cm3.‎ ‎4．统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为y＝x3－x＋8(00，h(x)是增函数，‎ 所以当x＝80时，h(x)取得极小值h(80)＝11.25(升)．‎ 因为h(x)在(0,120]上只有一个极小值，所以它是最小值．‎ 答　汽车以‎80千米/时匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为‎11.25升．‎ ‎1．解有关函数最大值、最小值的实际问题，在分析问题中的各个变量之间的关系的基础上，列出合乎题意的函数关系式，并确定函数的定义域．注意所求得的结果一定符合问题的实际意义．‎ ‎2．利用导数解决生活中的优化问题时，有时会遇到在定义域内只有一个点使f′(x)＝0，如果函数在该点取得极大(小)值，极值就是函数的最大(小)值，因此在求有关实际问题的最值时，一般不考虑端点．‎ 2‎