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- 2021-06-11 发布
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6.1 幂函数
学 习 目 标
核 心 素 养
1.了解幂函数的概念,会画出幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=x的图象.(重点)
2.能根据幂函数的图象,了解幂函数的性质.(难点)
3.会用几个常见的幂函数性质比较大小.(重点、难点)
通过学习本节内容,提升学生的数学抽象和逻辑推理的数学核心素养.
经调查,一种商品的价格和需求之间的关系如下表所示:
价格/元
0.6
0.65
0.7
0.75
0.8
0.85
0.9
需求量/t
1.216
1.179
1.146
1.117
1.089
1.064
1.041
根据此表,我们可以得到价格x与需求量y之间近似地满足关系式y=x-0.38.这是一类怎样的函数,这类函数有什么一般的性质?
1.幂函数的概念
一般地,我们把形如y=xα的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数.
2.幂函数的图象和性质
- 8 -
3.在同一平面直角坐标系中,幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x,y=x-1的图象如图所示:
1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)幂函数的图象不经过第四象限. ( )
(2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1)这两点. ( )
(3)幂函数y=xα的定义域为R,与指数也无关. ( )
[提示] (1)由幂函数的一般式y=xα(α为常数)及图象可知,当x>0时,y>0,即图象不经过第四象限.
(2)y=x-1不经过(0,0)点,故错误.
(3)y=x,定义域为[0,+∞),与指数有关,故错误.
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2.若y=mxα+(2n-4)是幂函数,则m+n= .
3 [由题意得所以m+n=3.]
3.已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(2,8),则f(-2)= .
-8 [8=2α,所以α=3,
所以f(x)=x3,f(-2)=(-2)3=-8.]
幂函数的概念
【例1】 已知y=(m2+2m-2)x+2n-3是幂函数,求m,n的值.
[思路点拨] 由幂函数的定义列式求解.
- 8 -
[解] 由题意得解得
∴m=-3,n=为所求.
1.幂函数y=xα满足的三个特征
(1)幂xα前系数为1;
(2)底数只能是自变量x,指数是常数;
(3)项数只有一项.
2.求幂函数解析式时常用待定系数法,即设解析式为f(x)=xα,根据条件求出α.
1.下列函数是幂函数的有 .(填序号)
①y=x2x;②y=2x2;③y=;④y=x2+1;⑤y=-;⑥y=x.
③⑥ [根据幂函数的定义,只有③⑥符合题意.]
2.已知幂函数f(x)=xα的图象经过,则f(100)= .
[由题知2α==2,∴α=-.
∴f(x)=x,
∴f(100)=100==.]
比较大小
【例2】 比较下列各组数中两个数的大小:
(1)与;(2)与;
(3)0.25与6.25;(4)1.20.6与0.30.4;
(5)(-3)与(-2).
[思路点拨] 可以借助幂函数y=x2的单调性或化为同指数或借助于中间量进行比较.
[解] (1)∵y=x是[0,+∞)上的增函数,且>,
∴>.
(2)∵y=x-1是(-∞,0)上的减函数,
- 8 -
且-<-,
∴>.
(3)0.25==2,
6.25=2.5.
∵y=x是[0,+∞)上的增函数,且2<2.5,
∴2<2.5,即0.25<6.25.
(4)由幂函数的单调性,知1.20.6>10.6=1,0.30.4<10.4=1,从而0.30.4<1.20.6.
(5)由幂函数的奇偶性,(-3)=3>0,(-2)=-2<0,
所以(-3) >(-2).
比较幂值的大小,关键在于构造适当的函数:
(1)若指数相同而底数不同,则构造幂函数;若指数相同、底数不在同一单调区间,则用奇偶性;
(2)若指数与底数都不同,需考虑是否能把指数化为相同,是否可以引入中间量.
3.比较下列各组中两个数的大小:
(1)3,3.1;
(2)a1.5,(a+1)1.5(a>0);
(3)(-0.88),0.89.
[解] (1)因为函数y=x在(0,+∞)内是减函数,所以3>3.1.
(2)函数y=x1.5在(0,+∞)内是增函数,又a>0,a+1>a,
所以(a+1)1.5>a1.5.
(3)函数y=x为偶函数,在[0,+∞)上是增函数,
所以(-0.88)= 0.88<0.89.
【例3】 点(,2)与点分别在幂函数f(x),g(x)的图象上,问当x为何值时,有:
(1)f(x)>g(x);(2)f(x)=g(x);(3)f(x)g(x);
(2)当x=1时,f(x)=g(x);
(3)当x∈(0,1)时,f(x)0,幂函数的图象恒经过(0,0),(1,1),在[0,+∞)是增函数.
(2)α<0,幂函数的图象恒经过(1,1),在(0,+∞)上是减函数.
3.幂函数图象在第一象限内随指数变化而变化的规律
(1)在第一象限内直线x=1的右侧,图象从上到下,相应的指数由大变小;
(2)在第一象限内直线x=1的左侧,图象从下到上,相应的指数由大变小.
4.(1)若四个幂函数y=xa,y=xb,y=xc,y=xd在同一坐标系中的图象如图,则a,b,c,d的大小关系是( )
A.d>c>b>a
B.a>b>c>d
C.d>c>a>b
D.a>b>d>c
- 8 -
(2)函数y=x-1的图象关于x轴对称的图象大致是( )
A B C D
(1)B (2)B [(1)令a=2,b=,c=-,d=-1,正好和题目所给的形式相符合.
在第一象限内,x=1的右侧部分的图象,图象由下至上,幂指数增大,所以a>b>c>d.故选B.
(2)y=x的图象位于第一象限且为增函数,所以函数图象是上升的,函数y=x-1的图象可看作由y=x的图象向下平移一个单位得到的(如选项A中的图所示),将y=x-1的图象关于x轴对称后即为选项B.]
幂函数的图象与性质的综合应用
[探究问题]
1.幂函数y=x的图象应该怎么作?
[提示] ①因为0<<1,故幂函数y=x=的定义域为R,且为偶函数,
②函数y=x在第一象限的图象恒过(0,0),(1,1),在[0,+∞)是增函数.
③利用偶函数的图象关于y轴对称,得到第二象限的图象.(图略)
2.从上述过程能否归纳出作幂函数y=xα的图象的步骤?
[提示] ①先求定义域,判定函数的奇偶性;
②再看α,按α<0,α>0来分类确定在第一象限的图象的形状;
③结合奇偶性利用图象变换得到函数在y轴左侧的图象.
3.作出y=x的图象(草图),并说明若x>y时,x,y与0的大小关系有多少种?
[提示] y=x在第一象限内的图象单调递减,且为奇函数,草图如下,
从图象可以看出,若x>y,则有以下情况:
①00>y.
【例4】 已知幂函数y=x3m-9(m∈N*)的图象关于y
- 8 -
轴对称,且在(0,+∞)上单调递减,求满足(a+1) <(3-2a) 的a的取值范围.
[思路点拨] →→→→→
[解] ∵函数在(0,+∞)上递减,
∴3m-9<0,解得m<3.
又m∈N*,∴m=1,2.
又函数图象关于y轴对称,∴3m-9为偶数,故m=1.
∴有(a+1) <(3-2a) .
∵y=x在(-∞,0),(0,+∞)上均递减,
∴a+1>3-2a>0或0>a+1>3-2a,或a+1<0<3-2a,解得x,则x的取值范围是 .
(-∞,0)∪(1,+∞) [作出函数y=x2和y=x的图象(如图所示),易得x<0或x>1.]
1.幂函数y=xα的底数是自变量,指数是常数,只有一项,系数为1.
- 8 -
2.简单幂函数的图象与性质的探究策略
(1)先求幂函数的定义域,若对称,判定其奇偶性(一定具有奇偶性).
(2)研究幂函数位于第一象限的图象与性质
①α>0,幂函数的图象恒经过(0,0),(1,1),在[0,+∞)上是增函数.
②α<0,幂函数的图象恒经过(1,1),在(0,+∞)上是减函数.
(3)结合幂函数的奇偶性,得到第三或第二象限的图象与性质,幂函数的图象一定不经过第四象限.
1.下列所给出的函数中,是幂函数的是( )
A.y=x-3 B.y=-x3
C.y=2x3 D.y=x3-1.
A [幂函数是形如y=xα的函数,观察四个函数只有A中函数是幂函数.]
2.已知幂函数y=xα的图象过点(2,),则f(4)的值是 .
2 [将点(2,)代入幂函数可得f(2)=2α=,解得α=,即幂函数为f(x)=x,可得f(4)=4=2.]
3.下列幂函数中,过点(0,0),(1,1)且为偶函数的是 .(填序号)
(1)y=x;(2)y=x4;(3)y=x-1;(4)y=x3.
(2) [(1)为非奇非偶函数,(3)为不过(0,0)的奇函数,(4)为奇函数,只有(2)符合题意.]
4.比较下列各组数的大小:
(1)3与3.1;
(2)4.1,3.8,(-1.9).
[解] (1)因为函数y=x在(0,+∞)上为减函数,
又3<3.1,所以3>3.1.
(2)4.1>1=1,0<3.8<1=1,而(-1.9) <0,所以4.1>3.8>(-1.9).
- 8 -
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