2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6 44页

6 . 2 . 4 　 向量的数量积 课标阐释 思维脉络 1 . 理解平面向量数量积的含义及其物理意义 . ( 数学抽象 ) 2 . 掌握数量积公式及投影向量的意义 . ( 数学运算、直观想象 ) 3 . 掌握平面向量数量积的性质及其运算律 . ( 数学运算、逻辑推理 ) 4 . 会求向量的模、夹角 , 能运用数量积解决向量的垂直问题 . ( 数学抽象、数学运算 ) 激趣诱思 知识点拨 一只猴子捡到一把钝刀 , 连小树也砍不断 . 于是它向砍柴人请教 , 砍柴人说 “ 把刀放到石上磨一磨 ” . 于是猴子高兴地飞奔回去 , 立刻把刀放在一块石头上拼命地磨 . 直到它发现刀口和刀背差不多厚了 , 便停下来 …… 结果当然是失败的 . 难道猴子没有做功吗 ? 不 ! 难道猴子没有用心吗 ? 不 ! 但是做功 ≠ 成功 . 物理学当中的做功在数学中叫做什么 , 是如何表示的呢 ? 激趣诱思 知识点拨 知识点一、向量数量积的定义 1 . 向量 a 与向量 b 的夹角 (1) 夹角的定义 : 已知两个非零向量 a , b , O 是平面上的任意一点 , 作 激趣诱思 知识点拨 2 . 向量的数量积 (1) 定义 : 已知两个非零向量 a 与 b , 它们的夹角为 θ , 我们把数量 | a || b | cos θ 叫做向量 a 与 b 的数量积 ( 或内积 ), 记作 a · b , 即 a · b =| a || b | cos θ . (2) 零向量与任一向量的数量积为 0 . (3) 向量数量积的大小与两个向量的长度及其夹角有关 . 名师点析 两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算 , 与实数乘实数、数乘向量的乘法有着本质的区别 , 书写时一定要注意用 a · b 表示 , 不能用 a × b 或 ab 表示 . 激趣诱思 知识点拨 微思考 两个向量的数量积结果是向量还是数量 ? 提示 : 是数量 . 微练习 答案 : (1) - 2 　 ( 2)8 激趣诱思 知识点拨 知识点二、向量 a 在向量 b 上的投影 向量 激趣诱思 知识点拨 激趣诱思 知识点拨 微练习 (1) 若 | a |= 3, | b |= 4, a 与 b 的夹角是 120°, 与 b 方向相同的单位向量为 e , 则向量 a 在向量 b 上的投影向量为 　　　　　 .  (2) 若 a · b =- 6, | a |= 8, 与 a 方向相同的单位向量为 e , 则向量 b 在向量 a 上的投影向量为 　　　　　 .  激趣诱思 知识点拨 知识 点三、平面向量数量积的性质 设 a , b 是非零向量 , 它们的夹角是 θ , e 是与 b 方向相同的单位向量 , 则 (1) a · e = e · a = | a | cos θ . (2) a ⊥ b ⇔ a · b = 0 . (3) 当 a 与 b 同向时 , a · b =| a || b | ; 当 a 与 b 反向时 , a · b =-| a || b |. 特别 激趣诱思 知识点拨 微练习 已知 | a |= 7, 则 a · a = 　　　　　 .  解析 : a · a =| a | 2 = 7 2 = 49 . 答案 : 49 激趣诱思 知识点拨 知识点四、平面向量数量积的运算 律 交换律 a·b=b·a 数乘的结合律 ( λ a)·b= λ (a·b)=a·( λ b) 分配律 (a+b)·c=a·c+b·c 名师点析 (1) 向量数量积的运算不适合约分 , 即 a · b = a · c b = c . (2) 向量数量积运算也不适合结合律 , 即 ( a · b ) · c 不一定等于 a · ( b · c ), 这是由于 ( a · b ) · c 表示一个与 c 共线的向量 , 而 a · ( b · c ) 表示一个与 a 共线的向量 . 激趣诱思 知识点拨 微 练习 答案 : (1)A 　 ( 2)A 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 求平面向量的数量积 角度 1 　 数量积的简单计算 例 1 已知 | a |= 2, | b |= 3, a 与 b 的夹角为 120°, 求 : (1) a · b ;(2) a 2 - b 2 ;(3)(2 a - b )·( a + 3 b ) . 分析 依据数量积、模、夹角 的定义 → 逐一进行计算即可 ( 2) a 2 - b 2 =| a | 2 -| b | 2 = 4 - 9 =- 5 . (3)(2 a - b )·( a + 3 b ) = 2 a 2 + 5 a · b - 3 b 2 = 2 | a | 2 + 5 | a || b | cos 120° - 3 | b | 2 = 8 - 15 - 27 =- 34 . 反思感悟 求向量的数量积时 , 需明确两个关键点 : 相关向量的模和夹角 . 若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算 , 则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 角度 2 　 几何图形中向量数量积的计算 例 2 (2019 天津高考 ) 在四边形 ABCD 中 , 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 答案 : - 1 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 平面向量的数量积在平面几何中的应用 (1) 解决几何图形中的向量的数量积运算问题 , 要充分利用图形特点及其含有的特殊向量 , 这里的特殊向量主要指具有特殊夹角或已知长度的向量 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 求向量的投影向量 例 3 如图 , 在 △ ABC 中 , AB=AC= 4, ∠ BAC= 90°, D 是边 BC 的中点 , 求 : 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 投影向量的求解策略 求投影向量要搞清是求哪一个向量在哪一个向量上的投影向量 , 在正确理解其定义的同时 , 找准两向量之间的夹角是关键 . 确定两向量的夹角时 , 一定要注意 “ 共始点 ” . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 答案 : A 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 向量模的相关问题 角度 1 　 利用数量积求向量的模 例 4 (1) 已知向量 a , b 满足 | a |=| b |= 5, 且 a 与 b 的夹角为 60°, 则 | 2 a + b |= 　　　　　 .  探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 向量模的求解方法 根据数量积的定义 a · a =| a || a | cos 0° =| a | 2 , 得 这 是求向量的模的一种方法 . 即要求一个向量的模 , 先求这个向量与自身的数量积 ( 一定非负 ), 再求它的算术平方根 . 对于复杂的向量也是如此 . 例如 , 求 | a + b | , 可先求 ( a + b ) 2 = ( a + b ) · ( a + b ), 再取其算术平方根即为 | a + b |. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 3 已知向量 a , b 满足 | a |= 2, | b |= 3, | a + b |= 4, 求 | a - b |. 解 : 因为 | a + b |= 4, 所以 | a + b | 2 = 4 2 , 所以 a 2 + 2 a · b + b 2 = 16 . ① 因为 | a |= 2, | b |= 3, 所以 a 2 =| a | 2 = 4, b 2 =| b | 2 = 9, 代入 ① 式得 4 + 2 a · b + 9 = 16, 得 2 a · b = 3 . 又因为 ( a - b ) 2 = a 2 - 2 a · b + b 2 = 4 - 3 + 9 = 10 , 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 角度 2 　 与模有关的最值问题 例 5 (1) 若平面向量 a , b , c 满足 : | a |=| c |= 1, | b |= 2, 且 c ·( a - b ) = 0, 则 | b - c | 的取值范围是 ( 　　 ) (2) 若 a , b , c 均为单位向量 , 且 a · b = 0, 则 | a + b - c | 的最小值为 ( 　　 ) 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 答案 : (1)B 　 ( 2)A 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 向量模的最值问题的求法 涉及向量模的最值问题 , 一般是把模平方 , 利用平面向量的数量积运算 , 把问题转化为关于某个量的函数 , 进而求出最值 . 需要掌握向量模的一些简单几何意义 : ① | a | 为正值 , 则说明当表示向量的有向线段的起点确定后 , 其终点在以起点为圆心 , 以 | a | 为半径的圆上运动 ; ② 若 | a + b |=| a - b | , 则有 a ⊥ b ; ③ 若 ( a+b ) · ( a-b ) = 0, 则 | a |=| b |. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 4 若两个单位向量 a , b 的夹角为 120°, k ∈ R , 则 | a -k b | 的最小值为 ( 　　 ) 答案 : B 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 利用数量积解决向量的夹角与垂直问题 例 6 (1) 若非零向量 a , b 满足 | a |=| b | , 且 (2 a + b ) ⊥ b , 则 a 与 b 的夹角为 ( 　　 ) A.30° B.60° C.120° D.150° (2) 已知非零向量 a , b 满足 | a |=| b |=| a + b | , 求 a 与 a + b 的夹角及 a 与 a - b 的夹角 . 分析 (1) 将已知条件展开变形后利用数量积的定义求解 . (2) 可采用数形结合的方法构造平面图形求解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 (1) 解析 : 因为 (2 a + b ) ⊥ b , 所以 (2 a + b )· b = 0, 所以 2 a · b +| b | 2 = 0 . 设 a , b 的夹角为 θ , 则 2 | a || b | cos θ +| b | 2 = 0 . 又 | a |=| b | , 所以 2 | b | 2 cos θ +| b | 2 = 0, 因此 cos θ =- , 从而 θ = 120° . 选 C . 答案 : C 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 求平面向量夹角的方法 (1) 求向量的夹角 , 主要是利用公式 cos θ = 求 出夹角的余弦值 , 从而求得夹角 . 可以直接求出 a · b 的值及 | a | , | b | 的值 , 然后代入求解 , 也可以寻找 | a | , | b | , a · b 三者之间的关系 , 然后代入求解 . (2) 求向量的夹角 , 还可结合向量线性运算、模的几何意义 , 利用数形结合的方法求解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 延伸探究 本例 (1) 中 , 若非零向量 a , b 的夹角为 60°, 且 | a |=| b | , 当 ( a + 2 b ) ⊥ ( k a - b ) 时 , 求实数 k 的值 . 解 : 因为 ( a + 2 b ) ⊥ ( k a - b ), 所以 ( a + 2 b )·( k a - b ) = 0, 即 k| a | 2 + (2 k- 1) a · b - 2 | b | 2 = 0, 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 利用向量的数量积判断几何图形的 形状 A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 ABC 的形状是 ( 　　 ) A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 以上都不对 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 答案 : (1)B 　 ( 2)A 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 能够 将 , 并熟练地运用向量的减法 , 是本题获解的关键 . 依据向量的数量积的有关知识判断平面图形的形状的关键是由已知条件建立向量的数量积、模、夹角等之间的关系 , 其中移项、平方是常用手段 , 可以出现向量的数量积及模等信息 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 答案 : B 2 . 若 | a |= 4, | b |= 2, a 和 b 的夹角为 30°, 则 a 在 b 上的投影向量的模为 ( 　　 ) 答案 : C 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 答案 : B 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 4 . 若向量 a 与 b 的夹角为 60°, | b |= 4,( a + 2 b )·( a - 3 b ) =- 72, 则 | a |= ( 　　 ) A.2 B.4 C.6 D.12 解析 : 因为 ( a + 2 b )·( a - 3 b ) =- 72, 所以 a 2 - a · b - 6 b 2 =- 72, 即 | a | 2 -| a || b | cos 60° - 6 | b | 2 =- 72, 所以 | a | 2 - 2 | a |- 24 = 0 . 又 | a | ≥0, 故 | a |= 6 . 答案 : C 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 5 . 已知两个单位向量 a , b 的夹角为 60°, 若 (2 a + b ) ⊥ ( a + λ b ), 则 λ = 　　　　 .  解析 : ∵ (2 a + b ) ⊥ ( a + λ b ), ∴ (2 a + b )·( a + λ b ) = 0, ∴ 2 a 2 + 2 λ a · b + a · b + λ b 2 = 0 . ∵ | a |=| b |= 1, 且 a 与 b 的夹角为 60°, 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 答案 : 22