高二数学上学期期中试题 文（含解析） 13页

‎【2019最新】精选高二数学上学期期中试题 文（含解析）‎ 文科数学 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 中，角的对边分别为，已知，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】在△ABC中， ， ∴则 ， ∴由正弦定理可得： ‎ 故选C ‎2. 等比数列中，若，，则（ ）‎ A. 64 B. -64 C. 32 D. -32‎ ‎【答案】A - 13 - / 13‎ ‎【解析】数列是等比数列，，， 即 解得 那么 故选A． ‎ ‎3. 已知等差数列中，公差，，，则（ ）‎ A. 5或7 B. 3或5 C. 7或-1 D. 3或-1‎ ‎【答案】D ‎【解析】在等差数列中，公差，，，得 ，解得 或 ． ‎ 故选D．‎ ‎4. 中，，，,则（ ）‎ A. 15 B. 9 C. -15 D. -9‎ ‎【答案】B ‎【解析】中，，， 则，如图所示； ‎ - 13 - / 13‎ 故选B．‎ ‎5. 已知成等比数列，且曲线的顶点是，则等于（ ）‎ A. 5 B. 6 C. 7 D. 12‎ ‎【答案】B ‎【解析】把 配方得 得到顶点坐标为 ，即 由 成等比数列，则 ， 故选B． ‎ ‎6. 已知等差数列的公差为整数，首项为13，从第五项开始为负，则等于（ ）‎ A. -4 B. -3 C. -2 D. -1‎ ‎【答案】A ‎【解析】在等差数列中，由 ，得 ，得 ， ∵公差 为整数， ． 故选A． ‎ ‎7. 已知中，角的对边分别为，已知，，，则此三角形（ ）‎ A. 有一解 B. 有两解 C. 无解 D. 不确定 ‎【答案】C - 13 - / 13‎ ‎【解析】由正弦定理有，所以，而，所以角A的值不存在，此三角形无解。选C.‎ ‎8. 中，角的对边分别为，已知，则的形状是（ ）‎ A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形或直角三角形 D. 等腰直角三角形 ‎【答案】C ‎【解析】由，可得 ， 正弦定理，可得a 即 ‎ 当 时，的形状是等腰三角形， 当 时，即 ，那么 ，的形状是直角三角形． 故选C． ‎ ‎【点睛】本题考查正弦定理和三角形内角和定理的运用．解题的关键是得到一定要注意分类讨论．‎ ‎9. 中，角的对边分别为，已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为三角形内角和为，所以,由正弦定理的推论有，选A.‎ - 13 - / 13‎ ‎10. 《九章算术》中有“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”这个问题中，甲所得为（ ）‎ A. 钱 B. 钱 C. 钱 D. 钱 ‎【答案】B ‎【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为,则,解得,又 ,则,故选B.‎ ‎11. 已知构成各项均为正数的等比数列，且公比，若去掉该数列中一项后剩余三个数仍按原顺序排列是等差数列，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意得，这4项分别为，若去掉第一项，则构成等差数列，，解得（舍去），或（舍去），；若去掉第二项，则构成等差数列，，解得（舍去），或（舍去），或；若去掉第三项，则构成等差数列，，解得，或（舍去），或（舍去）；若去掉第四项，则构成等差数列，，解得（舍去），所以满足题意的，选D.‎ - 13 - / 13‎ 点睛：本题主要考查等比数列的定义及通项公式，等差数列的定义和性质，体现了分类讨论思想，属于基础题。‎ ‎12. 已知锐角中，角的对边分别为，若，，则的面积的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵，， ‎ ‎∴由题 为锐角，可得 ‎ ‎∵由正弦定理可得 ，可得： ‎ ‎...............‎ 可得 ‎ 故选C．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知等差数列的前项和为，则__________．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】当时，，当时，，因为是等差数列，所以，。‎ ‎14. 中，角的对边分别为，若，，则__________．‎ - 13 - / 13‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由正弦定理及可得，又，所以，即,由余弦定理可得，则，应填答案。‎ ‎15. 数列满足（且），，则__________．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】由已知有，当时，，所以，所以，所以，数列是周期数列，故。‎ ‎16. 中，角的对边分别为,下列四个论断正确的是__________．‎ ‎（把你认为正确论断的序号都写上）‎ ‎①若，则；‎ ‎②若，,,则满足条件的三角形共有两个；‎ ‎③若成等差数列，成等比数列，则为正三角形；‎ ‎④若，,的面积，则.‎ ‎【答案】①③‎ ‎【解析】对于①，由正弦定理有，所以，①正确；对于②，由正弦定理有，所以,由于，所以满足条件的三角形只有一个，②错误；对于③，由已知有，所以，又，则，为正三角形，故③正确；对于④，由，所以，则，故④错误，综上情况，正确的有①③。‎ - 13 - / 13‎ 点睛：本题主要考查解三角形，涉及的知识点有正弦定理和三角形面积公式等，属于中档题。‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 在中，角的对边分别为，且满足.‎ ‎（1）求角；‎ ‎（2）若的面积，，求边.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据 ．利用二倍角和诱导公式化简可得角． （2）根据 ，即可求解边的值． ‎ 试题解析：（1）∵解得或，‎ ‎∵，‎ ‎∴，∴.‎ ‎（2）∵，即，‎ ‎∴，∴ ，解得.‎ ‎18. 已知等差数列前项和，等比数列前项和为，，，.‎ ‎（1）若，求数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求.‎ - 13 - / 13‎ ‎【答案】(1) (2) 当时，，；当时，，此时.‎ ‎【解析】试题分析：（1）设等差数列公差为，等比数列公比为，由已知条件求出，再写出通项公式；（2）由，求出的值，再求出的值，求出。‎ 试题解析：设等差数列公差为，等比数列公比为有，即.‎ ‎（1）∵，结合得，‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵，解得或3，‎ 当时，，此时；‎ 当时，，此时.‎ ‎19. 在等差数列中，，，其前项和为.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和，并证明.‎ ‎【答案】(1) (2)详见解析 试题解析：（1）设等差数列的公差为，则由及等差数列的通项公式，‎ 得，又，解得，，‎ 则；‎ ‎（2）由（1）知，‎ 即 ，‎ 则 ‎ - 13 - / 13‎ ‎ .‎ 所以.‎ ‎20. 在中，角的对边分别为，且.‎ ‎（1）判断的形状并加以证明；‎ ‎（2）当时，求周长的最大值.‎ ‎【答案】(1)详见解析(2) 时，最大且最大值为 ‎【解析】试题分析：（1）由已知条件求出，∴为直角三角形；（2）当时，‎ 周长，时，最大且最大值为。‎ 试题解析：（1）∵，即，故，‎ 又，即，‎ ‎∴为直角三角形.‎ ‎（2）∵为直角的斜边，当时，‎ ‎.‎ ‎∵，‎ ‎∴，即时，最大且最大值为.‎ 点睛：本题主要考查解三角形，有余弦定理、勾股定理等，属于中档题。解答本题的关键是灵活掌握三角函数中的公式。‎ ‎21. 轮船从某港口将一些物品送到正航行的轮船上，在轮船出发时，轮船位于港口北偏西且与相距20海里的处，并正以30海里的航速沿正东方向匀速行驶，假设轮船沿直线方向以海里/小时的航速匀速行驶，经过小时与轮船相遇.‎ - 13 - / 13‎ ‎（1）若使相遇时轮船航距最短，则轮船的航行速度大小应为多少？‎ ‎（2）假设轮船的最高航速只能达到30海里/小时，则轮船以多大速度及什么航行方向才能在最短时间与轮船相遇，并说明理由.‎ ‎【答案】(1) 轮船以海里/小时的速度航行，相遇时轮船航距最短. (2) 航向为北偏东，航速为30海里/小时，轮船能在最短时间与轮船相遇.‎ ‎【解析】试题分析：（1）设两轮船在处相遇，在 中，利用余弦定理得出关于t的函数，从而得出的最小值及其对应的，得出速度； （2）利用余弦定理计算航行时间，得出 距离，从而得出 的度数，得出航行方案． ‎ 试题解析：（1）设相遇时轮船航行的距离为海里，则 ‎ .‎ ‎∴当时，，，‎ 即轮船以海里/小时的速度航行，相遇时轮船航距最短.‎ ‎（2）设轮船与轮船在处相遇，则 ，‎ 即.‎ ‎∵，‎ ‎∴，即，解得，又时，‎ ‎∴时，最小且为，此时中，‎ ‎∴航向为北偏东，航速为30海里/小时，‎ - 13 - / 13‎ 轮船能在最短时间与轮船相遇.‎ ‎22. 已知正项等差数列的前项和为，若，且成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记的前项和，求.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由和可得，即；又，，成等比数列，得，综合起来可求得即可.（Ⅱ）由已知可求出，即数列{}是由等差数列和等比数列组合而成，前项和为可由错位相减法求得.‎ 试题解析：（Ⅰ）∵，即，∴，所以， 2分 又∵，，成等比数列，‎ ‎∴，即， 4分 解得，或（舍去），‎ ‎∴，故； 6分 ‎（Ⅱ）法1：，‎ ‎∴， ①‎ ‎①得，②‎ ‎①②得，‎ ‎∴． 12分 - 13 - / 13‎ 考点：1.等差数列和等比数列的性质；2. 求数列前n项和.‎ - 13 - / 13‎