四川省成都外国语学校2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题答案 4页

成外2018级下半期高二数学答案（文理科）‎ 一、 选择题：‎ ‎ ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 A C D A C A B D A A B B ‎ 二、填空题：‎ ‎13. 2 ; 14. (文)8; (理) 15. ‎ ‎16.理科：；‎ ‎（文科：1）‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文学说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎17．解：（Ⅰ）. ‎ 是函数的一个极小值点，.即，解得. ‎ 经检验，当时，是函数的一个极小值点.实数的值为.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，..‎ 令，得或.‎ 当在上变化时，的变化情况如下：‎ 当或时，有最小值当或时，有最大值.‎ ‎18． 解：（1）设抽查人员利用“学习强国”的平均时长为，中位数为 设抽查人员利“学习强国”的中位数为 ‎，解得y=6.7‎ 即抽查人员利用“学习强国”的平均时长为6.8，中位数为6.7．‎ ‎（2）的人数为人，设抽取的人数为 组的人数为人，设抽取的人数为 则，解得，‎ 所以在和两组中分别抽取30人和20人．‎ 在抽取5人，两组分别抽取3人和2人，将组中被抽取的工作人员标记为，，．‎ 将中的标记为，．设事件表示从小组中至少抽取1人，‎ 则抽取的情况如下：，，，，，，，，，共10种情况．其中在中至少抽取1人有7种，则．‎ ‎19．（文）（本小题满分12分）‎ ‎．‎ ‎（1）由已知得B1C1⊥平面ABB1A1，BE平面ABB1A1， ‎ 故．‎ 又，所以BE⊥平面．‎ ‎（2）由（1）知∠BEB1=90°.‎ 由题设知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，所以，‎ 故AE=AB=3，.‎ 作，垂足为F，则EF⊥平面，且．‎ 高二数学答案 第4 页，共 4 页 所以，四棱锥的体积．‎ ‎ ‎ ‎18.（本小题满分12分）理科：‎ 解析：（Ⅰ）取线段的中点F，连接、.‎ 因为E是线段的中点，所以.又，所以.‎ 因为，F是的中点，所以.‎ 因为平面，平面，，所以平面，平面，所以.…………………………5分 ‎（Ⅱ）令，则，那么，‎ ‎，所以，所以.‎ 又，，故可以点F为原点，射线、、分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.‎ 则，，，，‎ 所以，，.‎ 设平面、平面的法向量分别为，，‎ 由，得，取，则.‎ 由，得，取，则.‎ 所以.‎ 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.…………………………12分 解法二：令，由已知及（Ⅰ）可得：，‎ 所以，均为棱长为a的正三角形.‎ 取中点G，则，，故为二面角的平面角，‎ 在中，，，‎ 由余弦定理可得：，‎ 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.‎ ‎20. （1）‎ ‎（2），设 联立与圆得：‎ 联立与椭圆得：‎ 高二数学答案 第4 页，共 4 页 ‎∴，同理得，，‎ 令 所以当,，∴.‎ ‎21．（理科）‎ ‎21. （文科）解：（1）若a=1‎，fx=ex-lnx+1‎x>-1‎,‎ 所以f'x=ex-‎1‎x+1‎=‎x+1‎ex‎-1‎x+1‎x>-1‎,‎ 设gx=x+1‎ex-1‎，则g'x=ex+x+1‎ex=x+2‎ex>0‎ 所以gx在‎-1,+∞‎上为增函数，又g‎0‎=0‎，‎ 所以当x∈‎‎-1,0‎时，gx<0,f'x<0‎，fx单调递减；‎ 当x∈‎‎0,+∞‎时，gx>0,f'x>0‎，fx单调递增.‎ 所以fx的最小值为f‎0‎=1‎.‎ ‎（2）由题意知f'x=ex-ax+1‎=‎x+1‎ex‎-ax+1‎x>-1‎ 当a=0‎时，fx=ex>0‎显然成立.‎ 当‎00‎,‎ 所以存在唯一的x‎0‎‎∈‎‎-1,1‎使得hx‎0‎=0‎，即x‎0‎‎+1‎ex‎0‎‎=a,‎ 所以当x∈‎‎-1,‎x‎0‎时，hx<0,f'x<0‎，fx单调递减；‎ 当x∈‎x‎0‎‎,+∞‎时，hx>0,f'x>0‎，fx单调递增.‎ 所以fx的最小值为fx‎0‎=ex‎0‎-alnx‎0‎‎+1‎=ax‎0‎‎+1‎-alnaex‎0‎,‎ ‎=a‎1‎x‎0‎‎+1‎‎-lna+‎x‎0‎=a‎1‎x‎0‎‎+1‎‎+x‎0‎+1-1-lna≥a‎2-1-lna‎,‎ ‎=a‎1-lna≥0‎‎,当且仅当‎1‎x‎0‎‎+1‎‎=x‎0‎+1‎lna=1‎，即x‎0‎‎=0‎a=e时取等号.‎ 代入x‎0‎‎+1‎ex‎0‎‎=a得a=1‎，矛盾，‎ 所以等号不能成立.所以fx‎0‎>0‎，所以fx>0‎.‎ 高二数学答案 第4 页，共 4 页 22． 解：（1） 因为 ，，，所以 ‎ 的极坐标方程为 ，因为 的普通方程为 ，‎ 即 ，对应极坐标方程为 ．……………………5分 ‎ （2）因为射线，则 ，‎ 则，所以 ‎ ＝又 ，，‎ 所以当 ，即 时， 取得最大值 ……10分 ‎ ‎ 高二数学答案 第4 页，共 4 页