2020-2021学年北师大版数学必修4课时作业：1-9 习题课2 7页

习题课(2) 一、选择题(本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分) 1．已知π<α<2π，cos(α－7π)＝－ 3 5 ，则 sin(3π＋α)·tan α－7 2 π 的 值为( C ) A.4 5 B．－ 4 5 C.3 5 D．－ 3 5 解析：∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cosα＝－ 3 5 ，∴ cosα＝ 3 5 .∴ sin(3π＋ α)·tan α－7 2 π ＝ sin(π＋ α)· －tan 7 2 π－α ＝ sinα·tan π 2 －α ＝sinα· sin π 2 －α cos π 2 －α ＝sinα·cosα sinα ＝cosα＝3 5 . 2．函数 y＝sinx，y＝cosx和 y＝tanx具有相同单调性的一个区间 是( D ) A. 0，π 2 B. π 2 ，π C. π，3π 2 D. － π 2 ，0 解析：函数 y＝tanx只有增区间，只有选项 D满足． 3．函数 f(x)＝7sin 2 3 x＋15 2 π 是( A ) A．周期为 3π的偶函数 B．周期为 2π的偶函数 C．周期为 3π的奇函数 D．周期为 4π 3 的偶函数 解析：f(x)＝7sin 2 3 x＋15 2 π ＝7sin 2 3 x－π 2 ＋8π ＝－7sin π 2 － 2 3 x ＝－ 7cos2 3 x，故 f(x)是周期为 3π的偶函数，故选 A. 4．已知 a＝tan1，b＝tan2，c＝tan3，则( C ) A．a1，b＝tan2＝－tan(π－2)<0，c＝tan3＝－ tan(π－3)<0，再根据 π 2 >π－2>π－3>0，∴tan(π－2)>tan(π－3)>0，∴－ tan(π－2)<－tan(π－3)<0.综上可得，a>0>c>b. 5．要得到函数 y＝ 2cosx的图像，只要将函数 y＝ 2sin x＋π 4 的 图像( A ) A．向左平移 π 4 个单位长度 B．向右平移 π 4 个单位长度 C．向左平移 π 8 个单位长度 D．向右平移 π 8 个单位长度 解析：因为 y＝ 2cosx＝ 2sin x＋π 2 ，所以要得到函数 y＝ 2cosx 的图像，只要将函数 y＝ 2sin x＋π 4 的图像向左平移 π 4 个单位长度． 6．函数 f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则 f(x)的单调递 减区间为 ( D ) A. kπ－1 4 ，kπ＋3 4 ，k∈Z B. 2kπ－1 4 ，2kπ＋3 4 ，k∈Z C. k－1 4 ，k＋3 4 ，k∈Z D. 2k－1 4 ，2k＋3 4 ，k∈Z 解析：由题图知 T 2 ＝ 5 4 － 1 4 ＝1，所以 T＝2，ω＝2π T ＝π， 所以 f(x)＝cos(πx＋φ)，令π×1 4 ＋φ＝2kπ＋π 2 ，k∈Z， 解得φ＝2kπ＋π 4 ，k∈Z，所以 f(x)＝cos πx＋π 4 . 令 2kπ<πx＋π 4 <2kπ＋π，k∈Z， 解得 2k－1 4 0，ω>0，|φ|<π 2 在一个周期内 的图像如图所示．若方程 f(x)＝m在区间[0，π]上有两个不同的实数 解 x1，x2，则 x1＋x2的值为( D ) A.π 3 B.2 3 π C.4 3 π D.π 3 或 4 3 π 解析：要使方程 f(x)＝m在区间[0，π]上有两个不同的实数解， 只需 y＝f(x)与 y＝m的图像在[0，π]上有两个不同的交点．由题图知， 两交点关于直线 x＝π 6 或 x＝2 3 π对称，因此 x1＋x2＝π 3 或 4 3 π. 8．已知函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ) A>0，ω>0，|φ|<π 2 的图像在 y轴 上的截距为 1，在相邻两最值点 x0，x0＋3 2 (x0>0)处 f(x)分别取得最大 值 2 和最小值－2.若函数 g(x)＝af(x)＋b的最大值和最小值分别为 6 和 2，则|a|＋b的值为( A ) A．5 B．6 C．7 D．8 解析：由题意知，A＝2，T 2 ＝ x0＋3 2 －x0＝3 2 ，∴T＝3，即 2π ω ＝3， ∴ω＝2π 3 ，∴f(x)＝2sin 2π 3 x＋φ .∵函数 f(x)的图像过点(0,1)，∴2sinφ ＝ 1.∵ |φ|< π 2 ，∴ φ＝ π 6 .∴ f(x)＝ 2sin 2π 3 x＋π 6 ， g(x)＝ af(x)＋ b＝ 2asin 2π 3 x＋π 6 ＋b.由 2|a|＋b＝6， －2|a|＋b＝2， 解得 |a|＝1， b＝4， ∴|a|＋b＝5. 二、填空题(本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分) 9．函数 y＝ 3tanx－ 3的定义域是[kπ＋π 6 ，kπ＋π 2 )(k∈Z)． 解析：由 3tanx－ 3≥0，得 tanx≥ 3 3 ，利用正切函数的图像知， x∈[kπ＋π 6 ，kπ＋π 2 )(k∈Z)． 10．函数 y＝tanωx在 － π 2 ， π 2 内是减少的，则ω的取值范围是[－ 1,0)． 解析：由题意知ω<0且 π 2 ω，－ π 2 ω ⊆ － π 2 ， π 2 ，所以－1≤ω<0. 11．设 f(x)是定义在 R 上最小正周期为 5π 3 的函数，且在 － 2π 3 ，π 上 f(x)＝ sinx，x∈ － 2π 3 ，0 ， cosx，x∈[0，π， 则 f － 16π 3 的值为－ 3 2 . 解析：f － 16π 3 ＝f －3×5π 3 － π 3 ＝f － π 3 ＝sin － π 3 ＝－sinπ 3 ＝－ 3 2 . 三、解答题(本大题共 3小题，每小题 15分，共 45分．写出必 要的文字说明、计算过程或演算步骤) 12 ． 某 同 学 用 “ 五 点 法 ” 画 函 数 f(x) ＝ Asin(ωx ＋ φ) A>0，ω>0，|φ|<π 2 在某一个周期内的图像时，列表并填入的部分数 据如下表： x 2π 3 5π 3 ωx＋φ 0 π 2 π 3π 2 2π Asin(ωx＋φ) 0 2 0 －2 (1)请将上表数据补全，并直接写出函数 f(x)的解析式； (2)将函数 f(x)图像上各点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的 1 2 ， 得到函数 y＝g(x)的图像，求函数 y＝g(x)的单调减区间． 解：(1) x π 6 2π 3 7π 6 5π 3 13π 6 ωx＋φ 0 π 2 π 3π 2 2π Asin(ωx＋φ) 0 2 0 －2 0 函数 f(x)的解析式为 f(x)＝2sin x－π 6 . (2)函数 g(x)＝2sin 2x－π 6 . 令 2kπ＋π 2 ≤2x－π 6 ≤2kπ＋3π 2 ，k∈Z， 得 kπ＋π 3 ≤x≤kπ＋5π 6 ，k∈Z. 即函数 y＝g(x)的单调减区间为 kπ＋π 3 ，kπ＋5π 6 ，k∈Z. 13．若 x∈ － π 3 ， π 4 ，求函数 y＝tan2x＋2tanx＋2的最值及相应的 x值． 解：令 t＝tanx，∵x∈ － π 3 ， π 4 ，且 t＝tanx是 － π 2 ， π 2 上的增函 数，∴t∈[－ 3，1]，且 y＝t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1， ∴当 t＝－1，即 x＝－ π 4 时，ymin＝1； 当 t＝1，即 x＝π 4 时，ymax＝5. 14．已知函数 y＝2cos(ωx＋θ) x∈R，ω>0，0≤θ≤π 2 的图像与 y 轴相交于点M(0， 3)，且该函数的最小正周期为π. (1)求θ和ω的值； (2)已知点 A π 2 ，0 ，点 P是该函数图像上一点，点 Q(x0，y0)是 PA的中点，当 y0＝ 3 2 ，x0∈ π 2 ，π 时，求 x0的值． 解：(1)将 x＝0，y＝ 3代入函数 y＝2cos(ωx＋θ)中得 cosθ＝ 3 2 ， 因为 0≤θ≤π 2 ，所以θ＝π 6 . 由已知 T＝π，且ω>0，得ω＝2π T ＝ 2π π ＝2. (2)因为点 A π 2 ，0 ，Q(x0，y0)是 PA的中点，y0＝ 3 2 . 所以点 P的坐标为 2x0－π 2 ， 3 . 又因为点 P在 y＝2cos 2x＋π 6 的图像上，且 π 2 ≤x0≤π， 所以 cos 4x0－5π 6 ＝ 3 2 ， 7π 6 ≤4x0－5π 6 ≤ 19π 6 ， 从而得 4x0－5π 6 ＝ 11π 6 或 4x0－5π 6 ＝ 13π 6 ， 即 x0＝2π 3 或 x0＝3π 4 .