高中人教a版数学必修4：习题课（四） word版含解析 4页

习题课(四) 一、选择题 1．若α∈(0，π)，且 cosα＋sinα＝－1 3 ，则 cos2α＝( ) A. 17 9 B．－ 17 10 C．－ 17 9 D. 17 10 答案：A 解析：因为 cosα＋sinα＝－1 3 ，α∈(0，π)，所以 sin2α＝－8 9 ，cosα<0，且α∈ 3π 4 ，π ， 所以 2α∈ 3π 2 ，2π ，所以 cos2α＝ 1－sin22α＝ 17 9 .故选 A. 2．已知 sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝3 5 ，β是第三象限角，则 sin(2β＋7π)＝( ) A.24 25 B．－24 25 C．－12 25 D.12 25 答案：B 解析：∵sin(α－β)cosα－cos(β－α)sinα＝sin(α－β)cosα－cos(α－β)sinα＝sin[(α－β)－α] ＝sin(－β)＝－sinβ＝3 5 ，∴sinβ＝－3 5.又β是第三象限角，∴cosβ＝－4 5 ，∴sin(2β＋7π)＝－sin2β ＝－2sinβcosβ＝－2× －3 5 × －4 5 ＝－24 25. 3．已知角α，β均为锐角，且 cosα＝3 5 ，tan(α－β)＝－1 3 ，则 tanβ＝( ) A.1 3 B. 9 13 C.13 9 D．3 答案：D 解析：由于α，β均为锐角，cosα＝3 5 ，则 sinα＝4 5 ，tanα＝4 3.又 tan(α－β)＝－1 3 ，所以 tanβ ＝tan[α－(α－β)]＝ tanα－tanα－β 1＋tanαtanα－β ＝ 4 3 ＋1 3 1－4 3 ×1 3 ＝3.故选 D. 4．函数 f(x)＝cos2x＋sin2x＋2(x∈R)的值域是( ) A．[2,3] B. 5 2 ，3 C．[1,4] D．[2,4] 答案：A 解析：因为 f(x)＝cos2x＋sin2x＋2＝3－2sin2x＋sin2x＝3－sin2x，sinx∈[－1,1]，所以 f(x) ∈[2,3]．故选 A. 5．已知 tanα，tanβ是方程 x2＋3 3x＋4＝0 的两根，且α，β∈ －π 2 ，π 2 ，则α＋β等于 ( ) A.π 3 B．－2π 3 C.π 3 或－2π 3 D．－π 3 或2π 3 答案：B 解析：由题意，得 tanα＋tanβ＝－3 3，tanαtanβ＝4，∴tanα<0 且 tanβ<0.又∵α，β∈ －π 2 ，π 2 ，∴α，β∈(－π 2 ，0)．tan(α＋β)＝ tanα＋tanβ 1－tanαtanβ ＝－3 3 1－4 ＝ 3，又知α＋β∈(－π，0)， ∴α＋β＝－2π 3 . 6．化简 2＋cos2－sin21的结果是( ) A．－cos1 B．cos1 C. 3cos1 D．－ 3cos1 答案：C 解析：原式＝ 1＋cos21＋2cos21－1＝ 3cos21＝ 3cos1. 二、填空题 7．已知 sin x＋π 4 ＝3 5 ，则 sin2x＝________. 答案：－ 7 25 解析：∵sin x＋π 4 ＝3 5 ，∴sinx＋cosx＝3 2 5 ，两边平方，得 1＋sin2x＝18 25 ，∴sin2x＝－ 7 25. 8．已知 cos α－π 6 ＋cos π 2 －α ＝4 3 5 ，且α∈ 0，π 3 ，则 sin α＋5π 12 ＝________. 答案：7 2 10 解析：因为cos α－π 6 ＋cos π 2 －α ＝4 3 5 ，所以cos α－π 6 ＋sinα＝4 3 5 ，所以 3 2 cosα＋1 2sinα ＋sinα＝4 3 5 ，所以 3 1 2cosα＋ 3 2 sinα ＝4 3 5 ，得 sin α＋π 6 ＝4 5.因为α∈ 0，π 3 ，故α＋π 6 ∈ π 6 ，π 2 ，所以 cos α＋π 6 ＝3 5 ，所以 sin α＋5π 12 ＝sin α＋π 6 ＋π 4 ＝sin α＋π 6 cosπ 4 ＋cos α＋π 6 sinπ 4 ＝4 5 × 2 2 ＋3 5 × 2 2 ＝7 2 10 . 9．已知θ为第二象限角，tan2θ＝－2 2，则 2cos2θ 2 －sinθ－tan5π 4 2sin θ＋π 4 ＝________. 答案：3＋2 2 解析：∵tan2θ＝ 2tanθ 1－tan2θ ＝－2 2，∴tanθ＝－ 2 2 或 tanθ＝ 2.∵π 2 ＋2kπ<θ<π＋2kπ，k∈ Z，∴tanθ<0，∴tanθ＝－ 2 2 ， 2cos2θ 2 －sinθ－tan5π 4 2sin θ＋π 4 ＝ 2cos2θ 2 －sinθ－1 2sin θ＋π 4 ＝cosθ－sinθ cosθ＋sinθ ＝1－tanθ 1＋tanθ ＝ 1＋ 2 2 1－ 2 2 ＝3＋2 2. 三、解答题 10．已知函数 f(x)＝2sin 1 3x－π 6 ，x∈R. (1)求 f(0)的值； (2)设α、β∈ 0，π 2 ， f(3α＋π 2)＝10 13 ， f(3β＋2π)＝6 5 ，求 sin(α＋β)的值． 解：(1)f(0)＝2sin 1 3 ×0－π 6 ＝－2sinπ 6 ＝－1. (2)f 3α＋π 2 ＝2sin 1 3 3α＋π 2 －π 6 ＝2sinα＝10 13 ，∴sinα＝ 5 13. 又α∈ 0，π 2 ，∴cosα＝12 13. 同理 f(3β＋2π)＝2sin 1 3 3β＋2π－π 6 ＝2sin β＋π 2 ＝2cosβ＝6 5 ， ∴cosβ＝3 5 ，又β∈ 0，π 2 ，∴sinβ＝4 5. ∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ ＝ 5 13 ×3 5 ＋12 13 ×4 5 ＝63 65. 11．已知α是第一象限的角，且 cosα＝ 5 13 ， 求 sin α＋π 4 cos2α＋4π 的值． 解： sin α＋π 4 cos2α＋4π ＝ 2 2 cosα＋sinα cos2α ＝ 2 2 cosα＋sinα cos2α－sin2α ＝ 2 2 · 1 cosα－sinα . 由已知可得 sinα＝12 13 ， ∴原式＝ 2 2 × 1 5 13 －12 13 ＝－13 2 14 . 能力提升 12．向量 a＝(2cosα，2sinα)，b＝(3cosβ，3sinβ)，a 与 b 的夹角为 60°，则直线 xcosα－ ysinα＝1 2 与圆(x－cosβ)2＋(y＋sinβ)2＝1 2 的位置关系是( ) A．相切 B．相交 C．相离 D．随α、β的值而定 答案：B 解析：cos60°＝ a·b |a||b| ＝6cosαcosβ＋6sinαsinβ 2×3 ＝cos(α－β)＝1 2. 圆心(cosβ，－sinβ)到直线 xcosα－ysinα＝1 2 的距离为 |cosαcosβ＋sinαsinβ－1 2| cos2α＋－sinα2 ＝0， 所以圆心在直线上，圆与直线相交． 13．已知向量 m＝( 3sinx,1－ 3cosx)，n＝(1－sinx，cosx)，函数 f(x)＝m·n＋ 3. (1)求函数 f(x)的零点； (2)若 f(α)＝8 5 ，且α∈ π 2 ，π ，求 cosα的值． 解 ：(1)f(x)＝ m·n ＋ 3 ＝ 3 sinx － 3 sin2x ＋ cosx － 3 cos2x ＋ 3 ＝ 3 sinx ＋cosx ＝ 2sin x＋π 6 . 由 2sin x＋π 6 ＝0，得 x＋π 6 ＝kπ(k∈Z)，所以 x＝kπ－π 6(k∈Z)， 所以函数 f(x)的零点为 x＝kπ－π 6(k∈Z)． (2)由(1)，知 f(α)＝2sin α＋π 6 ＝8 5 ，所以 sin α＋π 6 ＝4 5 ， 因为α∈ π 2 ，π ，所以2π 3 <α＋π 6<7π 6 ， 则 cos α＋π 6 ＝－3 5 ， 所以 cosα＝cos α＋π 6 －π 6 ＝ cos α＋π 6 cosπ 6 ＋sin α＋π 6 sinπ 6 ＝－3 5 × 3 2 ＋4 5 ×1 2 ＝4－3 3 10 .