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- 2021-06-11 发布
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2007年广东省高考数学试卷（文科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1. 已知集合M={x|1+x>0}，N={x|11-x>0}，则M∩N=( )
A.{x|-1≤x<1} B.{x|x>1}
C.{x|-10)的单调递增区间是________．
13. 已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，则其通项an=________；若它的第k项满足5β)，f'(x)是f(x)的导数，设a1=1，an+1=an-f(an)f'(an)(n=1, 2,…)．
（1）求α，β的值；
（2）证明：对任意的正整数n，都有an>α；
（3）记bn=lnan-βan-α(n=1, 2,…)，求数列{bn}的前n项和Sn．
21. 已知a是实数，函数f(x)=2ax2+2x-3-a，如果函数y=f(x)在区间[-1, 1]上有零点，求a的取值范围．
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参考答案与试题解析
2007年广东省高考数学试卷（文科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）
1.C
2.D
3.B
4.B
5.B
6.D
7.C
8.A
9.A
10.B
二、填空题（共5小题，每小题5分，第14-15题，属选做题，任选一题作答，满分20分）
11.y2=8x
12.(1e, +∞)
13.2n-10,8
14.2
15.30∘
三、解答题（共6小题，满分80分）
16.解：（1）由A(3, 4)、B(0, 0)、C(c, 0)．
得到：AB→=(-3, -4)，AC→=(c-3, -4)，则AB→⋅AC→=-3(c-3)+16=0，解得c=253；
（2）当c=5时，C(5, 0)，则|AB|=32+42=5，|AC|=(3-5)2+42=25，|BC|=5，
根据余弦定理得：cosA=AB2+AC2-BC22ABAC=25+20-25205=55，
由A∈(0, π)，得到sinA=1-(55)2=255．
17.解：(1)由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，
其底面是长、宽分别为8和6的矩形，
正侧面及其相对侧面均为底边长为8，
高为h1的等腰三角形，
左、右侧面均为底边长为6、高为h2的等腰三角形，
如图所示．
几何体的体积为
V=13⋅S矩形⋅h=13×6×8×4=64．
(2)正侧面及相对侧面底边上的高为：
h1=42+32=5．
左、右侧面的底边上的高为：
h2=42+42=42．
故几何体的侧面面积为：
S=2×(12×8×5+12×6×42)
=40+242．
18.解：（1）根据题意，作图可得，
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（2）由系数公式可知，
x¯=4.5，
y¯=3.5，
b=66.5-4×4.5×3.586-4×4.52=66.5-635=0.7
a=3.5-0.7×92=0.35，
所以线性回归方程为y=0.7x+0.35；
（3）x=100时，y=0.7x+0.35=70.35，
所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技术改造前降低19.65吨标准煤．
19.解：(1)设圆心坐标为(m, n)(m<0, n>0)，
则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=8，
已知该圆与直线y=x相切，
那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则|m-n|2=22，
即|m-n|=4，①
又圆与直线切于原点，将点(0, 0)代入得m2+n2=8，②
联立方程①和②组成方程组，解得m=-2,n=2,
故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8.
(2)由题意得，2a=10，则a=5，a2=25，
则椭圆的方程为x225+y29=1，
c=25-9=4，右焦点为(4, 0)，那么|OF|=4．
通过联立两圆的方程(x-4)2+y2=16,(x+2)2+(y-2)2=8,
解得x=45，y=125．
即存在异于原点的点Q(45, 125)，
使得该点到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．
20.解：（1）∵ f(x)=x2+x-1，α，β是方程f(x)=0的两个根(α>β)，
∴ α=-1+52，β=-1-52；
（2）f'(x)=2x+1，an+1=an-an2+an-12an+1=an-12an(2an+1)+14(2an+1)-542an+1
=14(2an+1)+542an+1-12，
∵ a1=1，
∴ 有基本不等式可知a2≥5-12>0（当且仅当a1=5-12时取等号），
∴ a2>5-12>0，同样a3>5-12，an>5-12=α(n=1, 2)，
（3）an+1-β=an-β-(an-α)(an-β)2an+1=an-β2an+1(an+1+α)
而α+β=-1，即α+1=-β，an+1-β=(an-β)22an+1，
同理an+1-α=(an-α)22an+1，bn+1=2bn，
又b1=ln1-β1-α=ln3+53-5=2ln3+52sn=2(2n-1)ln3+52
21.解：a=0时，不符合题意，所以a≠0，
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又∴ f(x)=2ax2+2x-3-a=0在[-1, 1]上有解，⇔(2x2-1)a=3-2x在[-1, 1]上有解⇔1a=2x2-13-2x
在[-1, 1]上有解，问题转化为求函数y=2x2-13-2x[-1, 1]上的值域；
设t=3-2x，x∈[-1, 1]，则2x=3-t，t∈[1, 5]，y=12⋅(t-3)2-2t=12(t+7t-6)，
设g(t)=t+7t．g'(t)=t2-7t2，t∈[1,7)时，g'(t)<0，此函数g(t)单调递减，
t∈(7，5]时，g'(t)>0，此函数g(t)单调递增，
∴ y的取值范围是[7-3，1]，
∴ f(x)=2ax2+2x-3-a=0在[-1, 1]上有解⇔1a∈[7-3，1]⇔a≥1或a≤-3+72．
故a≥1或a≤-3+72．
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