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- 2021-06-11 发布
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§2.4 幂函数与二次函数
最新考纲 考情考向分析
1.了解幂函数的概念.
2.结合函数 y=x,y=x2,y=x3,y=1
x,y=
的图象,了解它们的变化情况.
3.理解并掌握二次函数的定义,图象及性
质.
4.能用二次函数,方程,不等式之间的关系解
决简单问题.
以幂函数的图象与性质的应用为主,常与指
数函数、对数函数交汇命题;以二次函数的
图象与性质的应用为主,常与方程、不等式
等知识交汇命题,着重考查函数与方程,转
化与化归及数形结合思想,题型一般为选择、
填空题,中档难度.
1.幂函数
(1)幂函数的定义
一般地,形如 y=xα 的函数称为幂函数,其中 x 是自变量,α 是常数.
(2)常见的 5 种幂函数的图象
(3)常见的 5 种幂函数的性质
函数
特征
性质
y=x y=x2 y=x3
y= y=x-1
定义域 R R R [0,+∞) {x|x∈R,且 x≠0}
值域 R [0,+∞) R [0,+∞) {y|y∈R,且 y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
1
2x
1
2x
2.二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式:
一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为(m,n).
零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2 为 f(x)的零点.
(2)二次函数的图象和性质
解析式 f(x)=ax2+bx+c(a>0) f(x)=ax2+bx+c(a<0)
图象
定义域 (-∞,+∞) (-∞,+∞)
值域 [4ac-b2
4a ,+∞) (-∞,4ac-b2
4a ]
单调性
在 x∈(-∞,- b
2a]上单调递
减;在 x∈[- b
2a,+∞)上单
调递增
在 x∈(-∞,- b
2a]上单调递
增;在 x∈[- b
2a,+∞)上单
调递减
对称性 函数的图象关于 x=- b
2a对称
知识拓展
1.幂函数的图象和性质
(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在第四象限,至于是否出现在第二、
三象限内,要看函数的奇偶性.
(2)幂函数的图象过定点(1,1),如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.
(3)当 α>0 时,y=xα 在[0,+∞)上为增函数;
当 α<0 时,y=xα 在(0,+∞)上为减函数.
2.若 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则当Error!时恒有 f(x)>0,当Error!时,恒有 f(x)<0.
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二次函数 y=ax2+bx+c,x∈[a,b]的最值一定是4ac-b2
4a .( × )
(2)二次函数 y=ax2+bx+c,x∈R 不可能是偶函数.( × )
(3)在 y=ax 2 +bx+c(a≠0)中,a 决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大
小.( √ )
(4)函数 y=2 是幂函数.( × )
(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点.( √ )
(6)当 n<0 时,幂函数 y=xn 是定义域上的减函数.( × )
题组二 教材改编
2.[P79T1]已知幂函数 f(x)=k·xα 的图象过点(1
2, 2
2 ),则 k+α 等于( )
A.1
2 B.1 C.3
2 D.2
答案 C
解析 由幂函数的定义,知Error!
∴k=1,α=1
2.∴k+α=3
2.
3.[P44A 组 T9]已知函数 f(x)=x2+4ax 在区间(-∞,6)内单调递减,则 a 的取值范围是( )
A.a≥3 B.a≤3
C.a<-3 D.a≤-3
答案 D
解析 函数 f(x)=x2+4ax 的图象是开口向上的抛物线,其对称轴是 x=-2a,由函数在区间
(-∞,6)内单调递减可知,区间(-∞,6)应在直线 x=-2a 的左侧,
∴-2a≥6,解得 a≤-3,故选 D.
题组三 易错自纠
4.幂函数 f(x)=x (a∈Z)为偶函数,且 f(x)在区间(0,+∞)上是减函数,则 a 等于( )
A.3 B.4 C.5 D.6
答案 C
解析 因为 a2-10a+23=(a-5)2-2,
f(x)=x (a∈Z)为偶函数,
且在区间(0,+∞)上是减函数,
所以(a-5)2-2<0,从而 a=4,5,6,
又(a-5)2-2 为偶数,所以只能是 a=5,故选 C.
1
2x
2 10 23a a- +
2( 5) 2a- -
5.已知函数 y=ax2+bx+c,如果 a>b>c 且 a+b+c=0,则它的图象可能是( )
答案 D
解析 由 a+b+c=0 和 a>b>c 知,a>0,c<0,
由 c<0,排除 A,B,又 a>0,排除 C.
6.已知函数 y=2x2-6x+3,x∈[-1,1],则 y 的最小值是______.
答案 -1
解析 函数 y=2x2-6x+3 的图象的对称轴为 x=3
2>1,∴函数 y=2x2-6x+3 在[-1,1]上单
调递减,
∴ymin=2-6+3=-1.
题型一 幂函数的图象和性质
1.已知点( 3
3 , 3)在幂函数 f(x)的图象上,则 f(x)是( )
A.奇函数 B.偶函数
C.定义域内的减函数 D.定义域内的增函数
答案 A
解析 设 f(x)=xα,由已知得 ( 3
3 )α= 3,解得 α=-1,因此 f(x)=x-1,易知该函数为奇
函数.
2.若四个幂函数 y=xa,y=xb,y=xc,y=xd 在同一坐标系中的图象如图所示,则 a,b,c,
d 的大小关系是( )
A.d>c>b>a B.a>b>c>d
C.d>c>a>b D.a>b>d>c
答案 B
解析 由幂函数的图象可知,在(0,1)上幂函数的指数越大,函数图象越接近 x 轴,由题图知 a
>b>c>d,故选 B.
3.若 a<0,则 0.5a,5a,5-a 的大小关系是( )
A.5-a<5a<0.5a B.5a<0.5a<5-a
C.0.5a<5-a<5a D.5a<5-a<0.5a
答案 B
解析 5-a=(1
5 )a,因为 a<0 时,函数 y=xa 在(0,+∞)上单调递减,且1
5<0.5<5,
所以 5a<0.5a<5-a.
思维升华 (1)幂函数的形式是 y=xα(α∈R),其中只有一个参数 α,因此只需一个条件即可确
定其解析式.
(2)在区间(0,1)上,幂函数中指数越大,函数图象越靠近 x 轴(简记为“指大图低”),在区间
(1,+∞)上,幂函数中指数越大,函数图象越远离 x 轴.
(3)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,
准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.
题型二 求二次函数的解析式
典例 (1)已知二次函数的图象过点(0,1),对称轴为 x=2,最小值为-1,则它的解析式为
__________________.
答案 f(x)=1
2x2-2x+1
解析 依题意可设 f(x)=a(x-2)2-1,
又其图象过点(0,1),∴4a-1=1,
∴a=1
2,∴f(x)=1
2(x-2)2-1=1
2x2-2x+1.
(2)已知二次函数 f(x)与 x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(-2,0)且有最小值-1,则 f(x)=
________.
答案 x2+2x
解析 设函数的解析式为 f(x)=ax(x+2),
所以 f(x)=ax2+2ax,由4a × 0-4a2
4a =-1,
得 a=1,所以 f(x)=x2+2x.
思维升华 求二次函数解析式的方法
跟踪训练 (1)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+1(a,b∈R,a≠0),x∈R,若函数 f(x)的最小值为
f(-1)=0,则 f(x)=________.
(2)若函数 f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解
析式 f(x)=________.
答案 (1)x2+2x+1 (2)-2x2+4
解析 (1)设函数 f(x)的解析式为 f(x)=a(x+1)2=ax2+2ax+a,
由已知 f(x)=ax2+bx+1,∴a=1,
故 f(x)=x2+2x+1.
(2)由 f(x)是偶函数知 f(x)图象关于 y 轴对称,
∴-a=-(-2a
b ),即 b=-2,∴f(x)=-2x2+2a2,
又 f(x)的值域为(-∞,4],∴2a2=4,故 f(x)=-2x2+4.
题型三 二次函数的图象和性质
命题点 1 二次函数的图象
典例 两个二次函数 f(x)=ax2+bx+c 与 g(x)=bx2+ax+c 的图象可能是( )
答案 D
解析 函数 f(x)图象的对称轴为 x=- b
2a,函数 g(x)图象的对称轴为 x=- a
2b,显然- b
2a与- a
2b
同号,故两个函数图象的对称轴应该在 y 轴的同侧.只有 D 满足.
命题点 2 二次函数的单调性
典例 函数 f(x)=ax2+(a-3)x+1 在区间[-1,+∞)上是递减的,则实数 a 的取值范围是( )
A.[-3,0) B.(-∞,-3]
C.[-2,0] D.[-3,0]
答案 D
解析 当 a=0 时,f(x)=-3x+1 在[-1,+∞)上递减,满足题意.
当 a≠0 时,f(x)的对称轴为 x=3-a
2a ,
由 f(x)在[-1,+∞)上递减知Error!
解得-3≤a<0.综上,a 的取值范围为[-3,0].
引申探究
若函数 f(x)=ax2+(a-3)x+1 的单调减区间是[-1,+∞),则 a=________.
答案 -3
解析 由题意知 f(x)必为二次函数且 a<0,
又3-a
2a =-1,∴a=-3.
命题点 3 二次函数的最值
典例 已知函数 f(x)=ax2+2ax+1 在区间[-1,2]上有最大值 4,求实数 a 的值.
解 f(x)=a(x+1)2+1-a.
(1)当 a=0 时,函数 f(x)在区间[-1,2]上的值为常数 1,不符合题意,舍去;
(2)当 a>0 时,函数 f(x)在区间[-1,2]上是增函数,最大值为 f(2)=8a+1=4,解得 a=3
8;
(3)当 a<0 时,函数 f(x)在区间[-1,2]上是减函数,最大值为 f(-1)=1-a=4,解得 a=-
3.
综上可知,a 的值为3
8或-3.
引申探究
将本例改为:求函数 f(x)=x2+2ax+1 在区间[-1,2]上的最大值.
解 f(x)=(x+a)2+1-a2,
∴f(x)的图象是开口向上的抛物线,对称轴为 x=-a.
(1)当-a<1
2即 a>-1
2时,f(x)max=f(2)=4a+5,
(2)当-a≥1
2即 a≤-1
2时,f(x)max=f(-1)=2-2a,
综上,f(x)max=Error!
命题点 4 二次函数中的恒成立问题
典例 (1)已知函数 f(x)=x2-x+1,在区间[-1,1]上,不等式 f(x)>2x+m 恒成立,则实数 m
的取值范围是________________.
答案 (-∞,-1)
解析 f(x)>2x+m 等价于 x2-x+1>2x+m,即 x2-3x+1-m>0,
令 g(x)=x2-3x+1-m,
要使 g(x)=x2-3x+1-m>0 在[-1,1]上恒成立,
只需使函数 g(x)=x2-3x+1-m 在[-1,1]上的最小值大于 0 即可.
∵g(x)=x2-3x+1-m 在[-1,1]上单调递减,
∴g(x)min=g(1)=-m-1.
由-m-1>0,得 m<-1.
因此满足条件的实数 m 的取值范围是(-∞,-1).
(2)已知 a 是实数,函数 f(x)=2ax2+2x-3 在 x∈[-1,1]上恒小于零,则实数 a 的取值范围为
________.
答案 (-∞,1
2)
解析 2ax2+2x-3<0 在[-1,1]上恒成立.
当 x=0 时,-3<0,成立;
当 x≠0 时,a<3
2(1
x-1
3 )2-1
6,因为1
x∈(-∞,-1]∪[1,+∞),当 x=1 时,右边取最小值1
2,
∴a<1
2.
综上,实数 a 的取值范围是 (-∞,1
2).
思维升华 解决二次函数图象与性质问题时要注意:
(1)抛物线的开口,对称轴位置,定义区间三者相互制约,要注意分类讨论;
(2)要注意数形结合思想的应用,尤其是给定区间上的二次函数最值问题,先“定性”(作草
图),再“定量”(看图求解).
(3)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键
解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.两种思路都是将问题归结为求函数的最值或值
域.
跟踪训练 (1)设 abc>0,二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图象可能是( )
答案 D
解析 由 A,C,D 知,f(0)=c<0,
从而由 abc>0,所以 ab<0,所以对称轴 x=- b
2a>0,知 A,C 错误,D 满足要求;由 B 知
f(0)=c>0,
所以 ab>0,所以 x=- b
2a<0,B 错误.
(2)已知函数 f(x)=x2-2ax+2a+4 的定义域为 R,值域为[1,+∞),则 a 的值为________.
答案 -1 或 3
解析 由于函数 f(x)的值域为[1,+∞),
所以 f(x)min=1.又 f(x)=(x-a)2-a2+2a+4,
当 x∈R 时,f(x)min=f(a)=-a2+2a+4=1,
即 a2-2a-3=0,解得 a=3 或 a=-1.
(3)设函数 f(x)=ax2-2x+2,对于满足 10,则实数 a 的取值范围为
________.
答案 (1
2,+∞)
解析 由题意得 a>2
x-2
x2对 1<x<4 恒成立,
又2
x-2
x2=-2(1
x-1
2 )2+1
2,1
4<1
x<1,
∴(2
x-2
x2 )max=1
2,∴a>1
2.
数形结合思想和分类讨论思想在二次函数中的应用
典例 (12 分)设函数 f(x)=x2-2x+2,x∈[t,t+1],t∈R,求函数 f(x)的最小值.
思想方法指导 研究二次函数的性质,可以结合图象进行;对于含参数的二次函数问题,要
明确参数对图象的影响,进行分类讨论.
规范解答
解 f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[t,t+1],t∈R,函数图象的对称轴为 x=1.[2 分]
当 t+1<1,即 t<0 时,函数图象如图(1)所示,函数 f(x)在区间[t,t+1]上为减函数,
所以最小值为 f(t+1)=t2+1;[5 分]
当 t≤1≤t+1,即 0≤t≤1 时,函数图象如图(2)所示,在对称轴 x=1 处取得最小值,最小值
为 f(1)=1;[8 分]
当 t>1 时,函数图象如图(3)所示,函数 f(x)在区间[t,t+1]上为增函数,
所以最小值为 f(t)=t2-2t+2.[11 分]
综上可知,f(x)min=Error![12 分]
1.若函数 f(x)=(m-1)x2+2mx+3 为偶函数,则 f(x)在区间(-5,-3)上( )
A.先减后增 B.先增后减
C.单调递减 D.单调递增
答案 D
2.(2017·江西九江七校联考)若幂函数 f(x)=(m2-4m+4)· 在(0,+∞)上为增函数,
则 m 的值为( )
A.1 或 3 B.1 C.3 D.2
答案 B
解析 由题意得 m2-4m+4=1,m2-6m+8>0,
解得 m=1.
3.已知函数 f(x)=ax2+x+5 的图象在 x 轴上方,则 a 的取值范围是( )
A.(0, 1
20) B.(-∞,- 1
20)
C.( 1
20,+∞) D.(- 1
20,0)
答案 C
解析 由题意知Error!即Error!得 a> 1
20.
4.已知二次函数 f(x)满足 f(2+x)=f(2-x),且 f(x)在[0,2]上是增函数,若 f(a)≥f(0),则实数
a 的取值范围是( )
A.[0,+∞) B.(-∞,0]
C.[0,4] D.(-∞,0]∪[4,+∞)
答案 C
解析 由题意可知函数 f(x)的图象开口向下,对称轴为 x=2(如图),
若 f(a)≥f(0),从图象观察可知 0≤a≤4.
5.已知二次函数 f(x)=2ax2-ax+1(a<0),若 x1f(x2)
C.f(x1)0,又 x1+x2=0,
∴当 x1,x2 在对称轴的两侧时,
1
4-x1>x2-1
4,故 f(x1)0,
故 01,即 a>2 时,f(x)在[1,a
2 )上单调递减,在(a
2,+∞)上单调递增,不合题意;
②当 0≤a
2≤1,即 0≤a≤2 时,符合题意;
③当a
2<0,即 a<0 时,不符合题意.
综上,a 的取值范围是[0,2].
16.已知函数 f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R).
(1)若函数 f(x)的最小值是 f(-1)=0,且 c=1,
F(x)=Error!求 F(2)+F(-2)的值;
(2)若 a=1,c=0,且|f(x)|≤1 在区间(0,1]上恒成立,试求 b 的取值范围.
解 (1)由已知 c=1,a-b+c=0,且- b
2a=-1,
解得 a=1,b=2,∴f(x)=(x+1)2.
∴F(x)=Error!∴F(2)+F(-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8.
(2)由题意得,f(x)=x2+bx,原命题等价于-1≤x2+bx≤1 在(0,1]上恒成立,
即 b≤1
x-x 且 b≥-1
x-x 在(0,1]上恒成立.
又当 x∈(0,1]时,1
x-x 的最小值为 0,-1
x-x 的最大值为-2.∴-2≤b≤0.
故 b 的取值范围是[-2,0].