【数学】2019届一轮复习北师大版复数的几何意义学案 9页

‎ 复数的几何意义 ‎[学习目标]　1.理解用复平面内的点或以原点为起点的向量表示复数，及它们之间的一一对应关系.2.掌握实轴、虚轴、模等概念.3.掌握用向量的模表示复数的模的方法．‎ 知识点一　复平面的概念和复数的几何意义 ‎1．复平面的概念 根据复数相等的定义，任何一个复数 ＝a＋bi，都可以由一个有序实数对(a，b)唯一确定．因为有序实数对(a，b)与平面直角坐标系中的点一一对应，所以复数与平面直角坐标系中的点之间可以建立一一对应．‎ 如图所示，点 的横坐标是a，纵坐标是b，复数 ＝a＋bi可用点 (a，b)表示．这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．‎ ‎2．复数的几何意义 按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应．因此，复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的，即复数 ＝a＋bi复平面内的点 (a，b)，这是复数的一种几何意义．‎ ‎3．复数集与复平面中的向量的一一对应关系 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的．这样，我们还可以用平面向量来表示复数．‎ 如图所示，设复平面内的点 表示复数 ＝a＋bi，连接O ，显然向量由点 唯一确定；反过来，点 (相对于原点来说)也可以由向量唯一确定．因此，复数集C与复平面内的向量所成的集合也是一一对应的(实数0与零向量对应)，即复数 ＝a＋bi平面向量，这是复数的另一种几何意义．‎ 思考　(1)虚轴上的点都对应着唯一的纯虚数吗？‎ ‎(2)象限内的点与复数有何对应关系？‎ 答案　(1)不是．‎ ‎(2)第一象限的复数特点：实部为正，且虚部为正；‎ 第二象限的复数特点：实部为负，且虚部为正；‎ 第三象限的复数特点：实部为负，且虚部为负；‎ 第四象限的复数特点：实部为正，且虚部为负．‎ 知识点二　复数的模 ‎1．如图所示，向量的模r叫做复数 ＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作| |或|a＋bi|.如果b＝0，‎ 那么 ＝a＋bi是一个实数a，它的模等于|a|(就是a的绝对值)．由模的定义可知：| |＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)．‎ ‎2．复数的模的性质，设 1， 2是任意两个复数，则 ‎(1)| 1· 2|＝| 1|·| 2|，＝(| 2|≠0)(复数的乘、除法将在下节学习到)．‎ ‎(2)| |＝| 1|n(n∈N*)．‎ ‎(3)≤| 1＋ 2|≤| 1|＋| 2|，等号成立的条件是：①当| 1＋ 2|＝| 1|＋| 2|时，即 1， 2所对应的向量同向共线；②当|| 1|－| 2||＝| 1＋ 2|时，即 1， 2所对应的向量反向共线．‎ ‎(4)|| 1|－| 2||≤| 1－ 2|≤| 1|＋| 2|，等号成立的条件是：①当| 1－ 2|＝| 1|＋| 2|时，即 1， 2所对应的向量反向共线；②当|| 1|－| 2||＝| 1－ 2|时，即 1， 2所对应的向量同向共钱．‎ 思考　复数的模的几何意义是什么？‎ 答案　复数 在复平面内对应的点为 ，复数 0在复平面内对应的点为 0，r表示一个大于0的常数，则：‎ ‎①满足条件| |＝r的点 的轨迹为以原点为圆心，r为半径的圆，| |＜r表示圆的内部，| |＞r表示圆的外部；‎ ‎②满足条件| － 0|＝r的点 的轨迹为以 0为圆心，r为半径的圆，| － 0|＜r表示圆的内部，| － 0|＞r表示圆的外部．‎ 题型一　复数与复平面内的点 例1　在复平面内，若复数 ＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在第二、四象限；(4)在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围．‎ 解　复数 ＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i的实部为m2－2m－8，虚部为m2＋3m－10.‎ ‎(1)由题意得m2－2m－8＝0.‎ 解得m＝－2或m＝4.‎ ‎(2)由题意，∴20，得m<－3或m>5，所以当m<－3或m>5时，复数 对应的点在x轴上方．‎ ‎(2)由(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋4＝0，‎ 得m＝1或m＝－，所以当m＝1或m＝－时，‎ 复数 对应的点在直线x＋y＋4＝0上．‎ 题型二　复数的模的几何意义 例2　设 ∈C，在复平面内对应点 ，试说明满足下列条件的点 的集合是什么图形．‎ ‎(1)| |＝2；‎ ‎(2)1≤| |≤2.‎ 解　(1)方法一　| |＝2说明复数 在复平面内对应的点 到原点的距离为2，这样的点 的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆．‎ 方法二　设 ＝a＋bi，由| |＝2，得a2＋b2＝4.故点 对应的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆．‎ ‎(2)不等式1≤| |≤2可以转化为不等式组 不等式| |≤2的解集是圆| |＝2及该圆内部所有点的集合．‎ 不等式| |≥1的解集是圆| |＝1及该圆外部所有点的集合．‎ 这两个集合的交集，就是满足条件1≤| |≤2的点的集合．如图中的阴影部分，所求点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆所夹的圆环，并且包括圆环的边界．‎ 反思与感悟　解决复数的模的几何意义的问题，应把握两个关键点：一是| |表示点 到原点的距离，可依据| |满足的条件判断点 的集合表示的图形；二是利用复数的模的概念，把模的问题转化为几何问题来解决．[ :学_ _ _X_X_ ][ : xx ]‎ 跟踪训练2　若复数 满足| －i|≤(i为虚数单位)，则 在复平面所对应的图形的面积为________．‎ 答案　2π 解析　设 ＝x＋yi(x，y∈R)，则 －i＝x＋yi－i＝x＋(y－1)i，∴| －i|＝，由| －i|≤知≤，x2＋(y－1)2≤2.∴复数 对应的点(x，y)构成以(0,1)为圆心，为半径的圆面(含边界)，‎ ‎∴所求图形的面积为S＝2π.故填2π.‎ 题型三　复数的模及其应用 例3　已知复数 ＝3＋ai，且| |<4，求实数a的取值范围．‎ 解　方法一　∵＝3＋ai(a∈R)，‎ ‎∴| |＝，‎ 由已知得32＋a2<42，‎ ‎∴a2<7，∴a∈(－，)．‎ 方法二　利用复数的几何意义，由| |<4知， 在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，‎ 由 ＝3＋ai知 对应的点在直线x＝3上，‎ 所以线段AB(除去端点)为动点 的集合．‎ 由图可知：－0.∴选B.‎ ‎6．设A、B为锐角三角形的两个内角，则复数 ＝(cos B－tan A)＋tan Bi对应的点位于复平面的(　　)‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案　B 解析　因A、B为锐角三角形的两个内角，所以A＋B＞，即A＞－B，sin A＞cos B．cos B－tan A＝cos B－＜cos B－sin A＜0，又tan B＞0，所以点(cos B－tan A，tan B)在第二象限，故选B.‎ 二、填空题 ‎7．设 ＝log2(m2－3m－3)＋i·log2(m－3)(m∈R)，若 对应的点在直线x－2y＋1＝0上，则m的值是__________．‎ 答案　 解析　由题意知，复数 ＝x＋yi(x，y∈R)的实部x和虚部y满足方程x－2y＋1＝0，‎ 故log2(m2－3m－3)－2log2(m－3)＋1＝0，‎ 则log2＝－1，‎ ‎∴＝，∴m＝±.‎ ‎∵ ‎∴m＞，‎ ‎∴m＝.‎ ‎8．若复数 ＝5cos α－4i(i为虚数单位，－π＜α＜0)在复平面上的对应点在直线y＝x－1上，则sin α＝________.‎ 答案　－ 解析　∵复数 ＝5cos α－4i在复平面上的对应点在直线y＝x－1上，∴－4＝5cos α－1, 即cos α＝－.‎ 又∵－π＜α＜0，∴sin α＝－＝－＝－.‎ ‎9．已知0＜a＜2，复数 的实部为a，虚部为1，则| |的取值范围是________．‎ 答案　(1，)‎ 解析　由题意可知 ＝a＋i.根据复数的模的定义，得| |＝，而0＜a＜2，故1＜| |＜.‎ ‎10．复数 ＝log3＋ilog3 对应的点位于复平面内的第________象限．‎ 答案　三 解析　log3<0，log3 <0，‎ ‎∴ ＝log3＋ilog3 对应的点位于复平面内的第三象限．‎ 三、解答题 ‎11．设复数 ＝lg(m2＋2m－14)＋(m2－m－6)i，求当实数m为何值时：‎ ‎(1) 为实数；‎ ‎(2) 对应的点位于复平面的第二象限．‎ 解　(1)由题意得 解得m＝3(m＝－2舍去)．‎ 故当m＝3时， 是实数．‎ ‎(2)由题意得 即 即 得 解得－5＜m＜－1－.‎ 故当－5＜m＜－1－时， 对应的点位于复平面内的第二象限．‎ ‎12．已知 1＝－3＋4i，| |＝1，求| － 1|的最大值和最小值．‎ 解　如图，| |＝1表示复数 对应的点在以(0,0)为圆心，1为半径的圆上，而 1在坐标系中的对应点的坐标为(－3,4)，∴| － 1|可看作是点(－3,4)到圆上的点的距离．‎ 由图可知，点(－3,4)到圆心(即原点)的距离为＝5，故| － 1|max＝5＋1＝6，| － 1|min＝5－1＝4.‎ ‎13．设全集U＝C，A＝{ ||| |－1|＝1－| |， ∈C}，B＝{ || |＜1， ∈C}，若 ∈A∩(∁UB)，求复数 在复平面内对应的点的轨迹．‎ 解　∵ ∈C，| |∈R，∴1－| |∈R.‎ ‎∵|| |－1|＝1－| |，∴1－| |≥0，即| |≤1，[ : xx ]‎ ‎∴A＝{ || |≤1， ∈C}．‎ 又∵B＝{ || |＜1， ∈C}，∴∁UB＝{ || |≥1， ∈C}．‎ ‎∵ ∈A∩(∁UB)，∴ ∈A且 ∈∁UB，‎ ‎∴∴| |＝1.‎ 由复数的模的几何意义知，复数 在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆．‎