【数学】2019届一轮复习北师大版线性规划与基本不等式学案 11页

‎ 线性规划与基本不等式 知识精讲·‎ ‎·‎ 一．简单的线性规划问题 ‎1．二元一次不等式表示平面区域 步骤：直线定界，虚实分明；特殊点定域，优选原点；阴影表示．‎ ‎2．线性规划 二．基本不等式的应用 ‎ 1．基本不等式：，则（当且仅当时取等号）‎ ‎ 基本变形：．‎ ‎ 特例：．‎ ‎2．重要不等式 ‎（1）设，（当且仅当时取等号）．‎ ‎（2）设则其中，为调和平均数；为平方平均数；为几何平均数；为算术平均数．‎ ‎ 3．均值定理 ‎ 已知 ‎（1）如果，则（当且仅当时等号成立），即和为定值，积有最大值．‎ ‎（2）如果，则（当且仅当时等号成立），即积为定值，和有最小值．‎ ‎·三点剖析·‎ ‎·‎ 考试内容 要求层次 简单的线性规划 用二元一次不等式组表示平面区域 理解 简单的线性规划问题 理解 基本不等式 基本不等式的证明过程 了解 用基本不等式解决简单的最值问题 掌握 证明不等式 理解 ‎·题模精选·‎ ‎·‎ 题模一：二元一次不等式（组）表示平面区域问题 例1.1.1 在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（　　）‎ A． 1‎ B． ‎ C． 2‎ D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 由约束条件作出可行域如图，‎ 联立，解得B（2，3），‎ ‎∴平面区域的面积S=．‎ 例1.1.2 由直线x-y+1=0，x+y-5=0和x-1=0所围成的三角形区域（包括边界）用不等式组可表示为（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 作出对应的平面区域，则三角形区域在直线x=1的右侧，∴x≥1，‎ 在x-y+1=0的上方，则x-y+1≤0，‎ 在x+y-5=0的下方，则x+y-5≤0，‎ 则用不等式组表示为，‎ 故选：A．‎ 例1.1.3 若为不等式组表示的平面区域，则从-2连续变化到1时，动直线 扫过中的那部分区域的面积为（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 如图，不等式组表示的平面区域是，动直线（即）在轴上的截距从-2变化到1．知是斜边为3的等腰直角三角形，是直角边为1的等腰直角三角形，所以区域的面积，故选D．‎ 题模二：求目标函数的取值范围或最值 例1.2.1 若x，y满足约束条件，则z =-2x+y的最大值为（ ）‎ A． 1‎ B． ‎ C． 2‎ D． 3‎ ‎【答案】C ‎【解析】 画出满足条件的平面区域，如图示 由，解得A（-1，0），‎ 由z =-2x+y得：y=2x+z ，‎ 显然直线过A（-1，0）时， 最大，‎ ‎ 的最大值是2．‎ 例1.2.2 若满足，则的最大值为（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． 1‎ D． 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】 由约束条件作出可行域如图，‎ 当x≥0时，可行域为四边形OACD及其内部区域，A点是目标函数取得最大值的点；‎ 当x≤0时，可行域为三角形OAB及其内部区域，A点是目标函数取得最大值的点．‎ ‎∴ =y-2|x|的最大值为2．‎ 题模三：求目标函数中参数的取值范围 例1.3.1 不等式组表示面积为1的直角三角形区域，则 z的值为（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． 0‎ D． 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】 依题意，注意到直线恒过原点，在坐标平面内画出题中的不等式组表示结合题意得直线与直线垂直，于是有，解得．故选D．‎ 例1.3.2 若满足且的最大值为，则 的值为（ ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 先作出不等式组对应的平面区域，‎ 直线 x-y+3=0过定点（0，3），‎ ‎∵ =2x+y的最大值为4，∴作出直线2x+y=4，‎ 由图像知直线2x+y=4与y=0相交于B（2，0），‎ 同时B也在直线 x-y+3=0上，‎ 代入直线得2x +3=0，即 z=．‎ 题模四：基本不等式的灵活使用（配凑法、“1”的变换等）‎ 例1.4.1 ，则的最小值为．‎ ‎【答案】 5+2‎ ‎【解析】 ∵a＞0，b＞0，a+b=1，‎ ‎∴+=（a+b）（+）=2+3++≥5+2=5+2，当且仅当a=，b=时取等号，‎ ‎∴则+的最小值为5+2．‎ 例1.4.2 已知，那么y的最小值是．‎ ‎【答案】 3‎ ‎【解析】 ∵x＞1，则y=x-1++1≥2+1=3，当且仅当x=2时取等号．‎ ‎·随堂练习·‎ ‎·‎ 随练1.1 若的满足，则的最小值为．‎ ‎【答案】 -2‎ ‎【解析】 －由约束条件作出可行域如图，‎ 联立，解得A（1，4），‎ 化目标函数z =2x-y为y=2x-z ．‎ 由图可知，当直线y=2x- z过A时，直线在y轴上的截距最大， z有最小值为-2．‎ 随练1.2 若满足且的最大值为，则 z的值为（ ）‎ A． ‎ B． 1‎ C． ‎ D． 7‎ ‎【答案】B ‎【解析】 画出满足条件的平面区域，如图示：‎ 由，解得：A（k ， x+3），‎ 由z =2x+y得：y=-2x+z ，‎ 显然直线y=-2x+z 过A（k ， +3）时， 最大，‎ 故2 + +3=6，解得：z =1．‎ 随练1.3 若正实数满足，则的最小值为 ； ‎ ‎【答案】 5.‎ ‎【解析】 由可得，所以 故答案为5.‎ ‎·自我总结·‎ ‎·‎ ‎ ‎ ‎·课后作业·‎ ‎·‎ 作业1 在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是（　　）‎ A． ‎ B． ‎ C． 2‎ D． 2‎ ‎【答案】B ‎【解析】 由约束条件作出可行域如图，‎ 不等式组表示的平面区域是一个三角形内部（包括边界）．‎ 其中三个顶点的坐标分别为A（-2，0），B（1，），O（0，0），‎ ‎∴‎ 作业2 若满足约束条件，则的最大值为．‎ ‎【答案】 0‎ ‎【解析】 画出满足条件的平面区域，如图示：‎ 由，解得A（1，2），‎ 由 =-2x+y得：y=2x+ ，‎ 显然直线过A（1，2）时， 最大，‎ ‎ 的最大值是0．‎ 作业3 已知实数满足，若的最大值为，则实数．‎ ‎【答案】 8‎ ‎【解析】 由约束条件作出可行域如图，‎ 图形可知，要使直线x-y=6经过该平面区域内的点时，其在x轴上的截距达到最大，‎ 直线x+y-m=0必经过直线x-y=6与直线y=1的交点A（7，1），于是有7+1-m=0，即m=8．‎ 作业4 设a，b为正数，且a+b=2，则+的最小值是____．‎ ‎【答案】 2‎ ‎【解析】 ‎ ‎∵a＞0，b＞0，a+b=2‎ ‎∴+=（+）（a+b）=1+（+）≥2‎ 当且仅当=即a=b=1时取等号 ‎∴+的最小值为2‎ 故答案为：2‎