【数学】2019届一轮复习北师大版　不等关系与不等式学案 12页

知识点 考纲下载 不等关系与不等式 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式(组)的实际背景.‎ 一元二次不等式的解法 ‎ 会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.‎ ‎ 通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.‎ ‎ 会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.‎ 二元一次不等式(组)与 简单的线性规划问题 ‎ 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组.‎ ‎ 了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组.‎ ‎ 会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.‎ 基本不等式 ≥(a≥0，b≥0)‎ ‎ 了解基本不等式的证明过程.‎ ‎ 会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.‎ 第1讲　不等关系与不等式 ‎1．实数大小顺序与运算性质之间的关系 a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔ab，ab>0⇒<.‎ ‎②a<0b>0，0.‎ ‎④0b>0，m>0，则 ‎①<；>(b－m>0)．‎ ‎②>；<(b－m>0)．‎ ‎ 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a1，则a>b.(　　)‎ ‎(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变．(　　)‎ ‎(4)一个非零实数越大，则其倒数就越小．(　　)‎ ‎(5)同向不等式具有可加性和可乘性．(　　)‎ ‎(6)两个数的比值大于1，则分子不一定大于分母．(　　)‎ 答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√‎ ‎ (教材习题改编)设A＝(x－3)2，B＝(x－2)(x－4)，则A与B的大小关系为(　　)‎ A．A≥B B．A＞B C．A≤B D．A＜B 解析：选B.A－B＝(x2－6x＋9)－(x2－6x＋8)＝1＞0，所以A＞B.故选B.‎ ‎ 已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.⇒又当ab>0时，a与b同号，由a＋b>0知a>0，且b>0.‎ ‎ ________＋1(填“>”或“<”)．‎ 解析：＝＋1<＋1.‎ 答案：<‎ ‎ 下列不等式中恒成立的是__________．‎ ‎①m－3＞m－5；②5－m＞3－m；③5m＞3m；④5＋m＞5－m.‎ 解析：m－3－m＋5＝2＞0，故①恒成立；‎ ‎5－m－3＋m＝2＞0，故②恒成立；‎ ‎5m－3m＝2m，无法判断其符号，故③不恒成立；‎ ‎5＋m－5＋m＝2m，无法判断其符号，故④不恒成立．‎ 答案：①②‎ ‎　　　　　　比较两个数(式)的大小 ‎ [典例引领]‎ ‎ (1)已知a>b>0，m>0，则(　　)‎ A.＝ B.> C.< D.与的大小关系不确定 ‎(2)若a＝，b＝，比较a与b的大小．‎ ‎【解】　(1)选C.－＝＝.‎ 因为a>b>0，m>0.‎ 所以b－a<0，a＋m>0，所以<0.‎ 即－<0.所以<.‎ ‎(2)因为a＝＞0，b＝＞0，‎ 所以＝· ‎＝＝＝log8 9＞1，‎ 所以a＞b.‎ 若本例(1)的条件不变，试比较与的大小．‎ 解：－＝＝.‎ 因为a>b>0，m>0.‎ 所以a－b>0，m(a－b)>0.‎ ‎(1)当a>m时，a(a－m)>0，‎ 所以>0，‎ 即－>0，‎ 故>.‎ ‎(2)当an B．m0，b>0)两个代数式的大小．‎ 解：因为＋－(a＋b)＝ ‎＝＝ ‎＝.‎ 又因为a>0，b>0，所以≥0，‎ 故＋≥a＋b.‎ ‎　　　　　　不等式的性质及应用(高频考点) ‎ 不等式的性质是高考的常考内容，题型多为选择题，难度为中档题．‎ 高考对不等式性质的考查主要有以下两个命题角度：‎ ‎(1)应用性质判断命题真假；‎ ‎(2)应用性质求代数式的范围．‎ ‎[典例引领]‎ 角度一　应用性质判断命题真假 ‎ (1)(特值法)设a，b∈R，则“a>b”是“a|a|>b|b|”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ‎(2)若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论：①ad＞bc；②＋＜0；③a－c＞b－d；④a(d－c)＞b(d－c)中成立的个数是(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎【解析】　(1)当b<0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；‎ 当b＝0时，显然有a>b⇔a|a|>b|b|；‎ 当b>0时，由a>b有|a|>|b|，所以a>b⇔a|a|>b|b|.‎ 综上可知a>b⇔a|a|>b|b|，故选C.‎ ‎(2)因为a＞0＞b，c＜d＜0，‎ 所以ad＜0，bc＞0，‎ 所以ad＜bc，故①错误．‎ 因为0＞b＞－a，所以a＞－b＞0，‎ 因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，‎ 所以a(－c)＞(－b)(－d)，‎ 所以ac＋bd＜0，所以＋＝＜0，故②正确．‎ 因为c＜d，所以－c＞－d，‎ 因为a＞b，所以a＋(－c)＞b＋(－d)，‎ 即a－c＞b－d，故③正确．‎ 因为a＞b，d－c＞0，所以a(d－c)＞b(d－c)，‎ 故④正确，故选C.‎ ‎【答案】　(1)C　(2)C 角度二　应用性质求代数式的范围 ‎ (整体思想)已知二次函数y＝f(x)的图象过原点，且1≤f(－1)≤2，3≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．‎ ‎【解】　因为f(x)过原点，所以设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)．‎ 由 得 所以f(－2)＝4a－2b＝3f(－1)＋f(1)．‎ 又 所以6≤3f(－1)＋f(1)≤10，‎ 即f(－2)的取值范围是[6，10]．‎ ‎(1)判断不等式命题真假的方法 ‎①判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或用特值法．常用的推理判断需要利用不等式性质．‎ ‎②在判断一个关于不等式的命题真假时，先把判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假．‎ ‎(2)求代数式的取值范围 利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决此类问题，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围，是避免错误的有效途径．　 ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1．(2018·河南百校联盟模拟)设a，b∈R，则“(a－b)a2≥0”是“a≥b”的(　　)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选C.当(a－b)a2≥0时，由a2≥0得a－b≥0，即a≥b，反之也成立，故“(a－b)a2≥0”是“a≥b”的充要条件．‎ ‎2．若－1b⇒ac2>bc2；若无c≠0这个条件，a>b⇒ac2>bc2就是错误结论(当c＝0时，取“＝”)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ‎ ‎1．已知a>b，则下列结论正确的是(　　)‎ A．a2>b2　 B．ac2>bc2‎ C.> D．a－1>b－2‎ 解析：选D.因为a>b时，a与b的符号不确定，所以A、C不正确；‎ 当c＝0时，B不正确；对于D，a>b⇒a－1>b－1，‎ 又b－1>b－2，所以a－1>b－2正确．‎ ‎2．若<<0，则下列结论不正确的是(　　)‎ A．a2|a＋b|‎ 解析：选D.由题可知by>z，且x＋y＋z＝0，下列不等式中成立的是(　　)‎ A．xy>yz B．xz>yz C．xy>xz D．x|y|>z|y|‎ 解析：选C.因为x>y>z，‎ 所以3x>x＋y＋z＝0，3z0，z<0，‎ 由得xy>xz.故选C.‎ ‎5．对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题：‎ ‎①若ac2>bc2，则a>b；‎ ‎②若a>b，c>d，则a＋c>b＋d；‎ ‎③若a>b，c>d，则ac>bd；‎ ‎④若a>b，则>.‎ 其中正确的有(　　)‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：选B.由ac2>bc2知c≠0，c2>0，所以a>b，故①正确；由不等式的同向可加性易知②‎ 正确；对于③，当a＝－1，b＝－4，c＝－2，d＝－3时，acb，但>不成立，故④不正确．‎ ‎6．(2018·扬州模拟)若a10，‎ 即a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.‎ 答案：a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1‎ ‎7．已知a，b∈R，则a＜b和＜同时成立的条件是________．‎ 解析：若ab＜0，由a＜b两边同除以ab得，＞，‎ 即＜；若ab＞0，则＞.‎ 所以a＜b和＜同时成立的条件是a＜0＜b.‎ 答案：a＜0＜b ‎8．若α，β满足则α＋3β的取值范围是________．‎ 解析：设α＋3β＝x(α＋β)＋y(α＋2β)‎ ‎＝(x＋y)α＋(x＋2y)β.‎ 则解得 因为－1≤－(α＋β)≤1，2≤2(α＋2β)≤6，‎ 两式相加，得1≤α＋3β≤7.‎ 所以α＋3β的取值范围为[1，7]．‎ 答案：[1，7]‎ ‎9．设实数a，b，c满足 ‎①b＋c＝6－4a＋3a2，‎ ‎②c－b＝4－4a＋a2.‎ 试确立a，b，c的大小关系．‎ 解：因为c－b＝(a－2)2≥0，所以c≥b，‎ 又2b＝2＋2a2，所以b＝1＋a2，‎ 所以b－a＝a2－a＋1＝＋>0，‎ 所以b>a，从而c≥b>a.‎ ‎10．若a>b>0，c.‎ 证明：因为c－d>0.‎ 又因为a>b>0，所以a－c>b－d>0.‎ 所以0<<.‎ 又因为e<0，所以>.‎ ‎1．已知x，y∈R，且x＞y＞0，则(　　)‎ A. －＞0‎ B．sin x－sin y＞0‎ C. －＜0‎ D．ln x＋ln y＞0‎ 解析：选C.法一：(通性通法)因为x＞y＞0，选项A，取x＝1，y＝，则－＝1－2＝－1＜0，排除A；选项B，取x＝π，y＝，则sin x－sin y＝sin π－sin ＝－1＜0，排除B；选项D，取x＝2，y＝，则ln x＋ln y＝ln(xy)＝ln 1＝0，排除D.故选C.‎ 法二：(光速解法)因为函数y＝在R上单调递减，且x＞y＞0，所以＜，即－‎ ＜0，故选C.‎ ‎2．(2017·高考山东卷)若a>b>0，且ab＝1，则下列不等式成立的是(　　)‎ A．a＋<b＋c>c＋a.由a＋b>b＋c可得a>c；由b＋c>c＋a可得b>a，于是有c5时，y1y2.‎ 因此当去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．‎ ‎6．已知12