高考数学专题复习练习：单元质检四A 6页

单元质检四　三角函数、解三角形(A)‎ ‎(时间:45分钟　满分:100分)‎ ‎　单元质检卷第9页　 ‎ 一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)‎ ‎1.(2016山西朔州模拟)若点sin‎5π‎6‎,cos‎5π‎6‎在角α的终边上,则sin α的值为(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.-‎3‎‎2‎ B.-‎1‎‎2‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎‎3‎‎2‎ 答案A 解析因为角α的终边上一点的坐标为sin‎5π‎6‎,cos‎5π‎6‎,即‎1‎‎2‎‎,-‎‎3‎‎2‎,所以由任意角的三角函数的定义,可得sin α=‎-‎‎3‎‎2‎‎1‎‎2‎‎2‎‎+‎‎-‎‎3‎‎2‎‎2‎=-‎3‎‎2‎,故选A.‎ ‎2.(2016辽宁沈阳三模)已知θ∈‎-π‎2‎,‎π‎2‎,且sin θ+cos θ=a,其中a∈(0,1),则tan θ的可能取值是(　　)‎ A.-3 B.3或‎1‎‎3‎ C.-‎1‎‎3‎ D.-3或-‎‎1‎‎3‎ 答案C 解析由sin θ+cos θ=a,两边平方可得2sin θcos θ=a2-1.‎ 由a∈(0,1)及θ∈‎-π‎2‎,‎π‎2‎,‎ 有sin θcos θ<0,且|sin θ|<|cos θ|.‎ 故θ∈‎-π‎4‎,0‎,从而tan θ∈(-1,0),故选C.‎ ‎3.函数y=sin2x+2sin xcos x+3cos2x的最小正周期和最小值为(　　)‎ A.π,0 B.2π,0‎ C.π,2-‎2‎ D.2π,2-‎‎2‎ 答案C 解析因为f(x)=sin2x+2sin xcos x+3cos2x ‎=1+sin 2x+(1+cos 2x)=2+‎2‎sin‎2x+‎π‎4‎,‎ 所以最小正周期为π,‎ 当sin‎2x+‎π‎4‎=-1时,取得最小值为2-‎2‎.‎ ‎4.(2016山西太原一模)已知函数f(x)=2sin(2x+φ)‎|φ|<‎π‎2‎的图象过点(0,‎3‎),则函数f(x)图象的一个对称中心是(　　)‎ A.‎-π‎3‎,0‎ B.‎‎-π‎6‎,0‎ C.π‎6‎‎,0‎ D.π‎12‎‎,0‎〚导学号74920666〛‎ 答案B 解析由题意,得‎3‎=2sin(2×0+φ),即sin φ=‎3‎‎2‎.‎ 又|φ|<π‎2‎,所以φ=π‎3‎.‎ 由2sin‎2x+‎π‎3‎=0,得2x+π‎3‎=kπ,k∈Z,当k=0时,x=-π‎6‎,故选B.‎ ‎5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示△ABC的面积,若acos B+bcos A=csin C,S=‎1‎‎4‎(b2+c2-a2),则B=(　　)‎ A.90° B.60° C.45° D.30°〚导学号74920667〛‎ 答案C 解析由正弦定理得:2R(sin Acos B+sin Bcos A)=2Rsin Csin C,于是sin(A+B)=sin2C,所以sin C=1,即C=π‎2‎,从而S=‎1‎‎2‎ab=‎1‎‎4‎(b2+c2-a2)=‎1‎‎4‎(b2+b2),解得a=b,‎ 所以B=45°.故选C.‎ ‎6.‎ ‎(2016山西太原高三一模)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<‎π‎2‎的部分图象如图所示,若x1,x2∈‎-π‎6‎,‎π‎3‎,且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)等于(　　)‎ A.1 B.‎1‎‎2‎ C.‎2‎‎2‎ D.‎3‎‎2‎〚导学号74920668〛‎ 答案D 解析由题中图象可得A=1,T‎2‎‎=‎2π‎2ω=π‎3‎-‎‎-‎π‎6‎,解得ω=2.‎ 故f(x)=sin(2x+φ).‎ 由题图可知π‎12‎‎,1‎在函数f(x)的图象上,‎ 故sin‎2×π‎12‎+φ=1,即π‎6‎+φ=π‎2‎+2kπ,k∈Z.‎ 又|φ|<π‎2‎,故φ=π‎3‎,即f(x)=sin‎2x+‎π‎3‎.‎ ‎∵x1,x2∈‎-π‎6‎,‎π‎3‎,且f(x1)=f(x2),‎ ‎∴x1+x2=π‎12‎×2=π‎6‎.‎ ‎∴f(x1+x2)=sin‎2×π‎6‎+‎π‎3‎‎=‎‎3‎‎2‎,故选D.‎ 二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)‎ ‎7.已知sinπ‎4‎‎-x‎=‎‎3‎‎4‎,且x∈‎-π‎2‎,-‎π‎4‎,则cos 2x的值为　　　　　. ‎ 答案-‎‎3‎‎7‎‎8‎ 解析sin 2x=cosπ‎2‎‎-2x=1-2sin2π‎4‎‎-x=1-2×‎3‎‎4‎‎2‎=-‎1‎‎8‎,∵x∈‎-π‎2‎,-‎π‎4‎,∴2x∈‎-π,-‎π‎2‎.‎ ‎∴cos 2x=-‎1-sin‎2‎2x=-‎3‎‎7‎‎8‎.‎ ‎8.(2016河南开封四模)在△ABC中,角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,设AD为BC边上的高,且AD=a,则bc‎+‎cb的最大值是　　　　　.〚导学号74920669〛 ‎ 答案‎5‎ 解析∵AD为BC边上的高,且AD=a,‎ ‎∴△ABC的面积S=‎1‎‎2‎a·a=‎1‎‎2‎bcsin A.‎ ‎∴sin A=a‎2‎bc.‎ 由余弦定理,得cos A=b‎2‎‎+c‎2‎-‎a‎2‎‎2bc‎=‎1‎‎2‎bc‎+‎cb-‎a‎2‎‎2bc,‎ 故bc‎+‎cb=2a‎2‎‎2bc‎+cosA=sin A+2cos A=‎5‎sin(A+α),‎ 其中sin α=‎2‎‎5‎‎5‎,cos α=‎5‎‎5‎.‎ 当sin(A+α)=1时,bc‎+‎cb取到最大值是‎5‎.‎ 三、解答题(本大题共3小题,共44分)‎ ‎9.(14分)已知函数f(x)=sin2ωx+‎3‎sin ωxsinωx+‎π‎2‎(ω>0)的最小正周期为π‎2‎.‎ ‎(1)求出函数f(x)的单调递增区间;‎ ‎(2)求函数f(x)在区间‎0,‎π‎3‎上的取值范围.‎ 解(1)f(x)=‎1-cos2ωx‎2‎‎+‎‎3‎‎2‎sin 2ωx ‎=‎3‎‎2‎sin 2ωx-‎1‎‎2‎cos 2ωx+‎1‎‎2‎=sin‎2ωx-‎π‎6‎‎+‎‎1‎‎2‎.‎ 因为T=π‎2‎,所以‎2π‎2ω‎=‎π‎2‎(ω>0),‎ 所以ω=2,即f(x)=sin‎4x-‎π‎6‎‎+‎‎1‎‎2‎.‎ 于是由2kπ-π‎2‎≤4x-π‎6‎≤2kπ+π‎2‎(k∈Z),‎ 解得kπ‎2‎‎-‎π‎12‎≤x≤kπ‎2‎‎+‎π‎6‎(k∈Z).‎ 所以f(x)的单调递增区间为kπ‎2‎‎-π‎12‎,kπ‎2‎+‎π‎6‎(k∈Z).‎ ‎(2)因为x∈‎0,‎π‎3‎,所以4x-π‎6‎‎∈‎‎-π‎6‎,‎‎7π‎6‎,‎ 所以sin‎4x-‎π‎6‎‎∈‎‎-‎1‎‎2‎,1‎,所以f(x)∈‎0,‎‎3‎‎2‎.‎ 故f(x)在区间‎0,‎π‎3‎上的取值范围是‎0,‎‎3‎‎2‎.‎ ‎10.(15分)(2016江苏,15)在△ABC中,AC=6,cos B=‎4‎‎5‎,C=π‎4‎.‎ ‎(1)求AB的长;‎ ‎(2)求cosA-‎π‎6‎的值.‎ 解(1)因为cos B=‎4‎‎5‎,0