【数学】2019届一轮复习北师大版 直线与圆锥曲线的位置关系 学案 18页

第 30 练　直线与圆锥曲线的位置关系 [明考情] 直线与圆锥曲线的位置关系是高考必考题，难度为中高档，常作为压轴题出现，大致在第 20 题的位置. [知考向] 1.曲线与方程. 2.直线与椭圆. 3.直线与抛物线. 考点一　曲线与方程 要点重组　常用的轨迹方程的求法 (1)直接法：解题步骤为：建系设点——几何点集——翻译列式——化简方程——查漏除余. (2)待定系数法(定义法)：由几何知识和圆锥曲线的定义确定曲线类型，设出相应的方程，再 由待定系数法求之. (3)相关点法(转代法)：若动点 P(x，y)随着点 Q(x0，y0)而动，Q 在曲线 f(x，y)＝0 上.可用 x， y 表示 x0，y0，再将 x0，y0 代入曲线方程 f(x，y)＝0，即可得到所求的曲线方程. 1.(2016·全国Ⅲ)已知抛物线 C：y 2＝2x 的焦点为 F，平行于 x 轴的两条直线 l1，l2 分别交 C 于 A，B 两点，交 C 的准线于 P，Q 两点. (1)若 F 在线段 AB 上，R 是 PQ 的中点，证明：AR∥FQ； (2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求 AB 中点的轨迹方程. (1)证明　由题意知，F(1 2，0 )，设 l1：y＝a，l2：y＝b，则 ab≠0， 且 A(a2 2 ，a)，B(b2 2 ，b)，P(－1 2，a)，Q(－1 2，b)，R(－1 2，a＋b 2 ). 记过 A，B 两点的直线为 l，则 l 的方程为 2x－(a＋b)y＋ab＝0. 由于 F 在线段 AB 上，故 1＋ab＝0. 记 AR 的斜率为 k1，FQ 的斜率为 k2，则 k1＝ a－b 1＋a2＝ a－b a2－ab＝1 a＝－ab a ＝－b＝ b－0 －1 2－1 2 ＝k2. 所以 AR∥FQ. (2)解　设过 A，B 两点的直线为 l，l 与 x 轴的交点为 D(x1，0)， 则 S△ABF＝1 2|b－a||FD|＝1 2|b－a||x1－1 2|， S△PQF＝|a－b| 2 . 由题意可得|b－a||x1－1 2|＝|a－b| 2 ， 所以 x1＝1，x1＝0(舍去). 设满足条件的 AB 的中点为 E(x，y). 当 AB 与 x 轴不垂直时，由 kAB＝kDE 可得 2 a＋b＝ y x－1(x≠1)，而 a＋b 2 ＝y，所以 y 2＝x－ 1(x≠1). 当 AB 与 x 轴垂直时，E 与 D 重合，此时 E 点坐标为(1，0)，满足方程 y2＝x－1. 所以所求轨迹方程为 y2＝x－1. 2.已知椭圆 C 的中心为平面直角坐标系 xOy 的原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点到两个焦 点的距离分别是 7 和 1. (1)求椭圆 C 的方程； (2)若 P 为椭圆 C 上的动点，M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的一点，|OP| |OM|＝λ，求点 M 的 轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线. 解　(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为 a，c，由已知得Error!解得Error!又因为 b2＝a2－c2， 所以 b＝ 7， 所以椭圆 C 的方程为x2 16＋y2 7＝1. (2)设 M(x，y)，其中 x∈[－4，4]， 由已知|OP|2 |OM|2＝λ2 及点 P 在椭圆 C 上， 可得 9x2＋112 16(x2＋y2)＝λ2， 整理得(16λ2－9)x2＋16λ2y2＝112，其中 x∈[－4，4]. ①当 λ＝3 4时，化简得 9y2＝112， 所以点 M 的轨迹方程为 y＝±4 7 3 (－4≤x≤4). 轨迹是两条平行于 x 轴的线段. ②当 λ≠3 4时，方程变形为 x2 112 16λ2－9 ＋ y2 112 16λ2 ＝1， 其中 x∈[－4，4]. 当 0<λ<3 4时，点 M 的轨迹为中心在原点，实轴在 y 轴上的双曲线满足－4≤x≤4 的部分； 当3 4<λ<1 时，点 M 的轨迹为中心在原点，长轴在 x 轴上的椭圆满足－4≤x≤4 的部分； 当 λ≥1 时，点 M 的轨迹为中心在原点，长轴在 x 轴上的椭圆. 3.已知椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的一个焦点为( 5，0)，离心率为 5 3 . (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若动点 P(x0，y0)为椭圆 C 外一点，且过点 P 的椭圆 C 的两条切线相互垂直，求点 P 的轨 迹方程. 解　(1)由题意知 c＝ 5，c a＝ 5 3 ， 所以 a＝3，b2＝a2－c2＝4， 故椭圆 C 的标准方程为x2 9＋y2 4＝1. (2)设两切线为 l1，l2， ①当 l1⊥x 轴或 l1∥x 轴时，对应 l2∥x 轴或 l2⊥x 轴， 可知 P(±3，±2). ②当 l1 与 x 轴不垂直且不平行时，x0≠±3. 设 l1 的斜率为 k，则 k≠0，l2 的斜率为－1 k， 故 l1 的方程为 y－y0＝k(x－x0)，联立x2 9＋y2 4＝1， 得(9k2＋4)x2＋18(y0－kx0)kx＋9(y0－kx0)2－36＝0. 因为直线 l1 与椭圆 C 相切， 所以 Δ＝0， 得 9(y0－kx0)2k2－(9k2＋4)[(y0－kx0)2－4]＝0， 所以－36k2＋4[(y0－kx0)2－4]＝0， 所以(x20－9)k2－2x0y0k＋y20－4＝0， 所以 k 是方程(x20－9)x2－2x0y0x＋y 20－4＝0(x 0≠±3)的一个根，同理－1 k是方程(x20－9)x2－ 2x0y0x＋y20－4＝0(x0≠±3)的另一个根， 所以 k·(－1 k )＝y20－4 x20－9 ，得 x20＋y20＝13，其中 x0≠±3， 所以此时点 P 的轨迹方程为 x20＋y20＝13(x0≠±3). 因为 P(±3，±2)满足 x20＋y20＝13， 所以综上可知，点 P 的轨迹方程为 x2＋y2＝13. 4.已知平面上的动点 P(x，y)及两个定点 A(－2，0)，B(2，0)，直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2 且 k1k2＝－1 4. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程； (2)设直线 l：y＝kx＋m 与曲线 C 交于不同两点 M，N，当 OM⊥ON 时，求 O 点到直线 l 的 距离(O 为坐标原点). 解　(1)由已知，得 y x＋2· y x－2＝－1 4. 整理得 x2＋4y2＝4，即x2 4＋y2＝1(x≠±2). 所以动点 P 的轨迹 C 的方程为x2 4＋y2＝1(x≠±2). (2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立方程Error! 消去 y，得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. 由 Δ＝(8km)2－4(4k2＋1)(4m2－4)＞0， 得 4k2＋1－m2＞0. x1＋x2＝－ 8km 4k2＋1，x1x2＝4m2－4 4k2＋1. ∵OM⊥ON，∴x1x2＋y1y2＝0. 即 x1x2＋(kx1＋m)(kx2＋m)＝(1＋k2)·x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0. ∴(1＋k2)·4m2－4 4k2＋1＋km·(－ 8km 4k2＋1)＋m2＝0. ∴m2＝4 5(k2＋1)，满足 4k2＋1－m2＞0. ∴O 点到 l 的距离为 d＝ |m| 1＋k2， 即 d2＝ m2 1＋k2＝4 5. ∴d＝2 5 5 ，即点 O 到直线 l 的距离为2 5 5 . 考点二　直线与椭圆 方法技巧　对于直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般要把圆锥曲线的方程与直线方程联立 来处理. (1)设直线方程，在直线的斜率不确定的情况下要分斜率存在和不存在两种情况进行讨论， 或者将直线方程设成 x＝my＋b 的形式. (2)联立直线方程与曲线方程并将其转化成一元二次方程，利用方程根的判别式或根与系数 的关系得到交点的横坐标或纵坐标的关系. (3)一般涉及弦的问题，要用到弦长公式|AB|＝ 1＋k2|x1－x2|或|AB|＝ 1＋1 k2·|y1－y2|. 5.(2017·天津)设椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左焦点为 F，右顶点为 A，离心率为1 2.已知 A 是抛物 线 y2＝2px(p>0)的焦点，F 到抛物线的准线 l 的距离为1 2. (1)求椭圆的方程和抛物线的方程； (2)设 l 上两点 P，Q 关于 x 轴对称，直线 AP 与椭圆相交于点 B(点 B 异于点 A)，直线 BQ 与 x 轴相交于点 D.若△APD 的面积为 6 2 ，求直线 AP 的方程. 解　(1)设点 F 的坐标为(－c，0)，依题意，得c a＝1 2， p 2＝a，a－c＝1 2，解得 a＝1，c＝1 2，p＝2， 于是 b2＝a2－c2＝3 4. 所以椭圆的方程为 x2＋4y2 3 ＝1，抛物线的方程为 y2＝4x. (2)设直线 AP 的方程为 x＝my＋1(m≠0)，与直线 l 的方程 x＝－1 联立，可得点 P(－1，－2 m)， 故点 Q(－1，2 m). 将 x＝my＋1 与 x2＋4y2 3 ＝1 联立，消去 x， 整理得(3m2＋4)y2＋6my＝0，解得 y＝0 或 y＝ －6m 3m2＋4. 由点 B 异于点 A，可得点 B(－3m2＋4 3m2＋4 ， －6m 3m2＋4). 由 Q(－1，2 m)，可得直线 BQ 的方程为( －6m 3m2＋4－2 m)(x＋1)－(－3m2＋4 3m2＋4 ＋1)(y－2 m )＝0， 令 y＝0，解得 x＝2－3m2 3m2＋2， 故点 D(2－3m2 3m2＋2，0). 所以|AD|＝1－2－3m2 3m2＋2＝ 6m2 3m2＋2. 又因为△APD 的面积为 6 2 ， 故1 2× 6m2 3m2＋2× 2 |m|＝ 6 2 ， 整理得 3m2－2 6|m|＋2＝0， 解得|m|＝ 6 3 ，所以 m＝± 6 3 . 所以直线 AP 的方程为 3x＋ 6y－3＝0 或 3x－ 6y－3＝0. 6.(2016·全国Ⅱ)已知椭圆 E：x2 t ＋y2 3＝1 的焦点在 x 轴上，A 是 E 的左顶点，斜率为 k(k>0)的 直线交 E 于 A，M 两点，点 N 在 E 上，MA⊥NA. (1)当 t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN 的面积； (2)当 2|AM|＝|AN|时，求 k 的取值范围. 解　(1)设 M(x1，y1)，则由题意知 y1>0. 当 t＝4 时，椭圆 E 的方程为x2 4＋y2 3＝1，A(－2，0). 由|AM|＝|AN|及椭圆的对称性知，直线 AM 的倾斜角为π 4. 因此直线 AM 的方程为 y＝x＋2. 将 x＝y－2 代入x2 4＋y2 3＝1，得 7y2－12y＝0， 解得 y＝0 或 y＝12 7 ，所以 y1＝12 7 . 因此△AMN 的面积 S△AMN＝2×1 2×12 7 ×12 7 ＝144 49 . (2)由题意 t>3，k>0，A(－ t，0)， 将直线 AM 的方程 y＝k(x＋ t)代入x2 t ＋y2 3＝1， 得(3＋tk2)x2＋2 t·tk2x＋t2k2－3t＝0. 由 x1·(－ t)＝t2k2－3t 3＋tk2 ， 得 x1＝ t(3－tk2) 3＋tk2 ， 故|AM|＝|x1＋ t| 1＋k2＝6 t(1＋k2) 3＋tk2 . 由题设，直线 AN 的方程为 y＝－1 k(x＋ t)， 故同理可得|AN|＝6k t(1＋k2) 3k2＋t . 由 2|AM|＝|AN|，得 2 3＋tk2＝ k 3k2＋t， 即(k3－2)t＝3k(2k－1)， 当 k＝3 2时上式不成立，因此 t＝3k(2k－1) k3－2 . t>3 等价于k3－2k2＋k－2 k3－2 ＝ (k－2)(k2＋1) k3－2 <0，即 k－2 k3－2<0. 由此得Error!或Error!解得3 20)过点 A(1，－2). (1)求抛物线 C 的方程，并求其准线方程； (2)是否存在平行于 OA(O 为坐标原点)的直线 l，使得直线 l 与抛物线 C 有公共点，且直线 OA 与 l 的距离等于 5 5 ？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由. 解　(1)将(1，－2)代入 y2＝2px， 得(－2)2＝2p·1， 所以 p＝2. 故所求的抛物线 C 的方程为 y2＝4x，其准线方程为 x＝－1. (2)假设存在符合题意的直线 l，其方程为 y＝－2x＋t. 由Error!得 y2＋2y－2t＝0. 因为直线 l 与抛物线 C 有公共点， 所以 Δ＝4＋8t≥0，解得 t≥－1 2. 又由直线 OA 与 l 的距离 d＝ 5 5 ， 可得|－t| 5 ＝ 1 5 ，解得 t＝±1. 因为－1∉[－1 2，＋∞)，1∈[－1 2，＋∞)， 所以符合题意的直线 l 存在，其方程为 2x＋y－1＝0. 例　(12 分)在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)的离心率为 3 2 ，且 点( 3，1 2)在椭圆 C 上. (1)求椭圆 C 的方程； (2)设椭圆 E： x2 4a2＋ y2 4b2＝1，P 为椭圆 C 上任意一点，过点 P 的直线 y＝kx＋m 交椭圆 E 于 A，B 两点，射线 PO 交椭圆 E 于点 Q. ①求|OQ| |OP|的值； ②求△ABQ 面积的最大值. 审题路线图 (1)椭圆C上的点满足条件―→列出a，b的关系式 ― ― ― ― ― ― ― ― →已知离心率e＝ 3 2 ， a2＝b2＋c2 基本量法求得椭圆C的方程 (2)①P在C上，Q在E上 ― ― →P，Q 共线 设坐标代入方程―→求出|OQ| |OP| ②直线y＝kx＋m和椭圆E的方程联立 ― ― →通法 研究判别式Δ并判断根与系数的关系→ 用m，k表示S △ OAB→求S △ OAB最值 ― ― ― ― ― ― ― ― →利用①得 S △ ABQ和S △ OAB的关系 得S △ ABQ的最大值 规范解答·评分标准 解　(1)由题意知 3 a2＋ 1 4b2＝1.又 a2－b2 a ＝ 3 2 ， 解得 a2＝4，b2＝1.所以椭圆 C 的方程为x2 4＋y2＝1. ……………………………………………………………………………………………2 分 (2)由(1)知椭圆 E 的方程为x2 16＋y2 4＝1. ①设 P(x0，y0)，|OQ| |OP|＝λ(λ＞0)，由题意知 Q(－λx0，－λy0). 因为x20 4＋y20＝1，又 (－λx0)2 16 ＋ (－λy0)2 4 ＝1， 即λ2 4(x20 4＋y20)＝1， 所以 λ＝2，即|OQ| |OP|＝2.…………………………………………………………………5 分 ②设 A(x1，y1)，B(x2，y2). 将 y＝kx＋m 代入椭圆 E 的方程， 可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－16＝0， 由 Δ＞0，可得 m2＜4＋16k2， (*) 则有 x1＋x2＝－ 8km 1＋4k2，x1x2＝4m2－16 1＋4k2 . 所以|x1－x2|＝4 16k2＋4－m2 1＋4k2 .…………………………………………………………8 分 因为直线 y＝kx＋m 与 y 轴交点的坐标为(0，m)， 所以△OAB 的面积 S＝1 2|m||x1－x2|＝2 16k2＋4－m2|m| 1＋4k2 ＝2 (16k2＋4－m2)m2 1＋4k2 ＝2 (4－ m2 1＋4k2) m2 1＋4k2.……………………………………………………………9 分 设 m2 1＋4k2＝t，将 y＝kx＋m 代入椭圆 C 的方程， 可得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0， 由 Δ≥0，可得 m2≤1＋4k2. (**) 由(*)和(**)可知 0＜t≤1，因此 S＝2 (4－t)t＝2 －t2＋4t，……………………10 分 故 0＜S≤2 3，当且仅当 t＝1，即 m2＝1＋4k2 时取得最大值 2 3.……………11 分 由①知，△ABQ 的面积为 3S，所以△ABQ 面积的最大值为 6 3.………………12 分 构建答题模板 [第一步]　求曲线方程：根据基本量法确定圆锥曲线的方程. [第二步]　联立消元：将直线方程和圆锥曲线方程联立，得到方程 Ax2＋Bx＋C＝0，然后研 究判别式，利用根与系数的关系. [第三步]　找关系：从题设中寻求变量的等量或不等关系. [第四步]　建函数：对范围最值类问题，要建立关于目标变量的函数关系. [第五步]　得范围：通过求解函数值域或解不等式得目标变量的范围或最值，要注意变量条 件的制约，检查最值取得的条件. 1.设 F1，F2 分别是椭圆 E：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过 F1 且斜率为 1 的直线 l 与 E 相交于 A，B 两点，且|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列. (1)求椭圆 E 的离心率； (2)设点 P(0，－1)满足|PA|＝|PB|，求椭圆 E 的方程. 解　(1)由椭圆定义知|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a， 又 2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝4 3a， l 的方程为 y＝x＋c，其中 c＝ a2－b2. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 两点的坐标满足方程组Error!消去 y，化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx ＋a2(c2－b2)＝0，则 x1＋x2＝ －2a2c a2＋b2，x1x2＝a2(c2－b2) a2＋b2 . 因为直线 AB 的斜率为 1，所以|AB|＝ 2|x2－x1|＝ 2[(x1＋x2)2－4x1x2]，即 4 3a＝ 4ab2 a2＋b2，故 a2 ＝2b2， 所以 E 的离心率 e＝c a＝ a2－b2 a ＝ 2 2 . (2)设 AB 的中点为 N(x0，y0)，由(1)知， x0＝x1＋x2 2 ＝ －a2c a2＋b2＝－2c 3 ，y0＝x0＋c＝c 3. 由|PA|＝|PB|，得 kPN＝－1，即y0＋1 x0 ＝－1， 得 c＝3，从而 a＝3 2，b＝3. 故椭圆 E 的方程为x2 18＋y2 9＝1. 2.已知椭圆 E：x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)的半焦距为 c，原点 O 到经过两点(c，0)，(0，b)的直线 的距离为 1 2c. (1)求椭圆 E 的离心率； (2)如图，AB 是圆 M：(x＋2)2＋(y－1)2＝5 2的一条直径，若椭圆 E 经过 A，B 两点，求椭圆 E 的方程. 解　(1)过点(c，0)，(0，b)的直线方程为 bx＋cy－bc＝0， 则原点 O 到该直线的距离 d＝ bc b2＋c2＝bc a ， 由 d＝1 2c，得 a＝2b＝2 a2－c2，解得离心率c a＝ 3 2 . (2)方法一　由(1)知，椭圆 E 的方程为 x2＋4y2＝4b2. ① 依题意，圆心 M(－2，1)是线段 AB 的中点，且|AB|＝ 10. 易知，AB 与 x 轴不垂直，设其方程为 y＝k(x＋2)＋1， 代入①得(1＋4k2)x2＋8k(2k＋1)x＋4(2k＋1)2－4b2＝0， 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝－8k(2k＋1) 1＋4k2 ，x1x2＝4(2k＋1)2－4b2 1＋4k2 . 由 x1＋x2＝－4，得－8k(2k＋1) 1＋4k2 ＝－4，解得 k＝1 2， 从而 x1x2＝8－2b2. 于是|AB|＝ 1＋(1 2 )2|x1－x2|＝ 5 2 (x1＋x2)2－4x1x2＝ 10(b2－2). 由|AB|＝ 10，得 10(b2－2)＝ 10，解得 b2＝3， 故椭圆 E 的方程为x2 12＋y2 3＝1. 方法二　由(1)知，椭圆 E 的方程为 x2＋4y2＝4b2， ① 依题意，点 A，B 关于圆心 M(－2，1)对称，且|AB|＝ 10，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x21＋4y21＝4b2，x22＋4y22＝4b2， 两式相减并结合 x1＋x2＝－4，y1＋y2＝2， 得－4(x1－x2)＋8(y1－y2)＝0， 易知 AB 与 x 轴不垂直，则 x1≠x2， 所以 AB 的斜率 kAB＝y1－y2 x1－x2＝1 2， 因此直线 AB 的方程为 y＝1 2(x＋2)＋1， 代入①得 x2＋4x＋8－2b2＝0， 所以 x1＋x2＝－4，x1x2＝8－2b2， 于是|AB|＝ 1＋(1 2 )2|x1－x2|＝ 5 2 (x1＋x2)2－4x1x2＝ 10(b2－2). 由|AB|＝ 10，得 10(b2－2)＝ 10，解得 b2＝3， 故椭圆 E 的方程为x2 12＋y2 3＝1. 3.设椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的左焦点为 F，离心率为 3 3 ，过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆 截得的线段长为4 3 3 . (1)求椭圆的方程； (2)设 A，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于 C，D 两点.若 AC → ·DB → ＋AD → ·CB → ＝8，O 为坐标原点，求△OCD 的面积. 解　(1)因为过焦点且垂直于 x 轴的直线被椭圆截得的线段长为4 3 3 ，所以2b2 a ＝4 3 3 . 因为椭圆的离心率为 3 3 ，所以c a＝ 3 3 ， 又 a2＝b2＋c2，可解得 b＝ 2，c＝1，a＝ 3. 所以椭圆的方程为x2 3＋y2 2＝1. (2)由(1)可知 F(－1，0)，则直线 CD 的方程为 y＝k(x＋1). 联立Error! 消去 y 得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0. 设 C(x1，y1)，D(x2，y2)， 所以 x1＋x2＝－ 6k2 2＋3k2，x1x2＝3k2－6 2＋3k2. 又 A(－ 3，0)，B( 3，0)， 所以AC → ·DB → ＋AD → ·CB → ＝(x1＋ 3，y1)·( 3－x2，－y2)＋(x2＋ 3，y2)·( 3－x1，－y1) ＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2 ＝6＋2k2＋12 2＋3k2 ＝8， 解得 k＝± 2. 从而 x1＋x2＝－ 6 × 2 2＋3 × 2＝－3 2， x1x2＝3 × 2－6 2＋3 × 2＝0. 所以|x1－x2|＝ (x1＋x2)2－4x1x2＝ (－3 2 )2－4 × 0＝3 2， |CD|＝ 1＋k2|x1－x2|＝ 1＋2×3 2＝3 3 2 . 而原点 O 到直线 CD 的距离 d＝ |k| 1＋k2＝ 2 1＋2 ＝ 6 3 ， 所以△OCD 的面积 S＝1 2|CD|×d＝1 2×3 3 2 × 6 3 ＝3 2 4 . 4.(2017·北京)已知抛物线 C：y2＝2px 过点 P(1，1)，过点(0，1 2 )作直线 l 与抛物线 C 交于不 同的两点 M，N，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP，ON 交于点 A，B，其中 O 为原点. (1)求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段 BM 的中点. (1)解　由抛物线 C：y2＝2px 过点 P(1，1)，得 p＝1 2， 所以抛物线 C 的方程为 y2＝x， 抛物线 C 的焦点坐标为(1 4，0 )，准线方程为 x＝－1 4. (2)证明　由题意，设直线 l 的方程为 y＝kx＋1 2(k≠0)，l 与抛物线 C 的交点为 M(x1，y1)，N(x2，y2). 由Error!得 4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0， 则 x1＋x2＝1－k k2 ，x1x2＝ 1 4k2. 因为点 P 的坐标为(1，1)，所以直线 OP 的方程为 y＝x，点 A 的坐标为(x1，x1). 直线 ON 的方程为 y＝y2 x2x，点 B 的坐标为(x1，y2x1 x2 ). 因为 y1＋y2x1 x2 －2x1＝y1x2＋y2x1－2x1x2 x2 ＝ (kx1＋1 2)x2＋(kx2＋1 2)x1－2x1x2 x2 ＝ (2k－2)x1x2＋1 2 (x2＋x1) x2 ＝ (2k－2) × 1 4k2＋1－k 2k2 x2 ＝0， 所以 y1＋y2x1 x2 ＝2x1， 故 A 为线段 BM 的中点. 5.已知椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a＞b＞0)经过点(1， 3 2 )，离心率为 3 2 . (1)求椭圆 C 的方程； (2)不垂直于坐标轴的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，以 AB 为直径的圆过原点，且线段 AB 的垂直平分线交 y 轴于点 P(0，－3 2)，求直线 l 的方程. 解　(1)由题意得Error!解得 a＝2，b＝1，c＝ 3， 所以椭圆 C 的方程是x2 4＋y2＝1. (2)设直线 l 的方程为 y＝kx＋t(k≠0)， A(x1，y1)，B(x2，y2). 联立Error! 消去 y 得(1＋4k2)x2＋8ktx＋4t2－4＝0， 所以 x1＋x2＝ －8kt 1＋4k2，x1x2＝4t2－4 1＋4k2. 所以 y1y2＝(kx1＋t)(kx2＋t)＝t2－4k2 1＋4k2， y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2t＝ 2t 1＋4k2. 因为以 AB 为直径的圆过坐标原点，所以OA → ·OB → ＝0， 即 x1x2＋y1y2＝4t2－4 1＋4k2＋t2－4k2 1＋4k2＝0⇒5t2＝4＋4k2. 由 Δ＝(8kt)2－4(1＋4k2)(4t2－4)＝16(4k2＋1－t2)＞0， 可得 4k2＋1＞t2⇒t＜－ 3 2 或 t＞ 3 2 . 设 A，B 的中点为 D(m，n)，则 m＝x1＋x2 2 ＝ －4kt 1＋4k2，n＝y1＋y2 2 ＝ t 1＋4k2. 因为直线 PD 与直线 l 垂直， 所以 kPD＝－1 k＝ －3 2－n －m ＝ －3 2－ t 1＋4k2 － －4kt 1＋4k2 ＝－12k2＋2t＋3 8kt ， 整理得 t 1＋4k2＝1 2. 由Error!　解得 t＝1 或－3 5. 当 t＝－3 5时，Δ＞0 不成立. 当 t＝1 时，k＝±1 2， 所以直线 l 的方程为 y＝1 2x＋1 或 y＝－1 2x＋1.