【数学】2019届一轮复习北师大版导　数学案 14页

第 8 练　导　数 [明考情] 导数的考查频率较高，以“一大一小”的格局呈现，小题难度多为中低档. [知考向] 1.导数的几何意义. 2.导数与函数的单调性. 3.导数与函数的极值、最值. 4.定积分. 考点一　导数的几何意义 要点重组　(1)f′(x0)表示函数 f(x)在 x＝x0 处的瞬时变化率. (2)f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处切线的斜率. 1.设点 P 是曲线 y＝x3－ 3x＋2 3上的任意一点，在点 P 处的切线的倾斜角为 α，则角 α 的取 值范围是(　　) A.[2π 3 ，π]B.(π 2，2π 3 ]C.[0，π 2 )∪[2π 3 ，π)D.[0，π 2 )∪[5π 6 ，π) 答案　C 解析　∵y′＝3x2－ 3， ∴tanα≥－ 3， ∴0≤α＜π 2或2π 3 ≤α＜π. 2.函数 f(x)＝excosx 的图象在点(0，f(0))处的切线方程是(　　) A.x＋y＋1＝0B.x＋y－1＝0C.x－y＋1＝0D.x－y－1＝0 答案　C 解析　f(0)＝e0cos0＝1，因为 f′(x)＝excosx－exsinx. 所以 f′(0)＝1，所以切线方程为 y－1＝x－0， 即 x－y＋1＝0，故选 C. 3.(2017·广州一模)设函数 f(x)＝x3＋ax2，若曲线 y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线方程为 x＋y ＝0，则点 P 的坐标为(　　) A.(0，0) B.(1，－1)C.(－1，1) D.(1，－1)或(－1，1) 答案　D 解析　由题可知 f′(x)＝3x2＋2ax， 则有 f′(x0)＝3x20＋2ax0＝－1， 又切点为(x0，－x0)，可得 x30＋ax20＝－x0， 两式联立解得Error!或Error! 则点 P 的坐标可为(－1，1)或(1，－1). 故选 D. 4.曲线 y＝e－2x＋1 在点(0，2)处的切线与直线 y＝0 和 y＝x 围成的三角形的面积为______. 答案　1 3 解析　由题意，得 y′＝(e－2x＋1)′＝e－2x(－2x)′＝－2e－2x，则在点(0，2)处的切线斜率为 k＝－2e0＝－2， ∴切线方程为 y＝－2x＋2. 联立Error! 得 C(2 3，2 3 ). ∴切线与 y＝0 和 y＝x 围成三角形的面积为 S△OBC＝1 2|OB|×2 3＝1 2×1×2 3＝1 3. 5.(2016·全国Ⅱ)若直线 y＝kx＋b 是曲线 y＝lnx＋2 的切线，也是曲线 y＝ln(x＋1)的切线， 则 b＝________. 答案　1－ln2 解析　y＝lnx＋2 的切线为 y＝1 x1·x＋lnx1＋1(设切点横坐标为 x1). y＝ln(x＋1)的切线为 y＝ 1 x2＋1x＋ln(x2＋1)－ x2 x2＋1，(设切点横坐标为 x2) ∴Error! 解得 x1＝1 2，x2＝－1 2，∴b＝lnx1＋1＝1－ln2. 考点二　导数与函数的单调性 要点重组　对于在(a，b)内可导的函数 f(x)，若 f′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于 0， 则 (1)f′(x)≥0(x∈(a，b))⇔f(x)在(a，b)上为增函数. (2)f′(x)≤0(x∈(a，b))⇔f(x)在(a，b)上为减函数. 6.(2017·唐山一模)已知函数 f(x)＝lnx－x＋1 x，若 a＝－f(1 3 )，b＝f(π)，c＝f(5)，则(　　) A.cf(π)>f(5)， ∴a>b>c.故选 A. 7.若函数 f(x)＝2x3－3mx2＋6x 在区间(2，＋∞)上为增函数，则实数 m 的取值范围为(　　) A.(－∞，2) B.(－∞，2] C.(－∞，5 2) D.(－∞，5 2] 答案　D 解析　∵f′(x)＝6x2－6mx＋6， 当 x∈(2，＋∞)时，f′(x)≥0 恒成立， 即 x2－mx＋1≥0 恒成立，∴m≤x＋1 x恒成立. 令 g(x)＝x＋1 x，g′(x)＝1－1 x2， ∴当 x>2 时，g′(x)>0，即 g(x)在(2，＋∞)上单调递增， ∴m≤2＋1 2＝5 2，故选 D. 8.若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(0)＝－1，其导函数 f′(x)满足 f′(x)＞k＞1，则下列结论中 一定错误的是(　　) A.f(1 k )＜1 k B.f(1 k )＞ 1 k－1 C.f( 1 k－1 )＜ 1 k－1 D.f( 1 k－1 )＞ k k－1 答案　C 解析　∵导函数 f′(x)满足 f′(x)＞k＞1，∴f′(x)－k＞0，k－1＞0，1 k－1＞0，可构造函数 g(x) ＝f(x)－kx， 可得 g′(x)＞0，故 g(x)在 R 上为增函数，∵f(0)＝－1， ∴g(0)＝－1，∴g( 1 k－1 )＞g(0)， ∴f( 1 k－1 )－ k k－1＞－1，∴f( 1 k－1 )＞ 1 k－1，∴选项 C 错误，故选 C. 9.(2017·原创押题预测)已知 f′(x)是定义在 R 上的可导函数 f(x)的导数，对任意 x∈R，x≠3 且 x≠－1，都有(x2－2x－3)f′(x)－ex＝0，f(－1)<0，f(－2)0，则下列结论错误 的是(　　) A.f(x)的增区间为(－∞，－1)，(3，＋∞) B.f(x)在 x＝3 处取极小值，在 x＝－1 处取极大值 C.f(x)有 3 个零点 D.f(x)无最大值也无最小值 答案　C 解析　由 x≠3 且 x≠－1，(x2－2x－3)f′(x)－ex＝0 知，f′(x)＝ ex x2－2x－3，当 x<－1 或 x>3 时，x2－2x－3>0，∴f′(x)>0，当－10 时，xf′(x)－f(x)＜0，则使 得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是(　　) A.(－∞，－1)∪(0，1) B.(－1，0)∪(1，＋∞) C.(－∞，－1)∪(－1，0) D.(0，1)∪(1，＋∞) 答案　A 解析　因为 f(x)(x∈R)为奇函数，f(－1)＝0，所以 f(1)＝－f(－1)＝0.当 x≠0 时，令 g(x)＝ f(x) x ，则 g(x)为偶函数，且 g(1)＝g(－1)＝0.则当 x＞0 时，g′(x)＝[f(x) x ]′＝xf′(x)－f(x) x2 ＜ 0，故 g(x)在(0，＋∞)上为减函数，在(－∞，0)上为增函数.所以在(0，＋∞)上，当 0＜x＜1 时，g(x)＞g(1)＝0⇔f(x) x ＞0⇔f(x)＞0；在(－∞，0)上，当 x＜－1 时，g(x)＜g(－1)＝0⇔f(x) x ＜ 0⇔f(x)＞0.综上，使得 f(x)＞0 成立的 x 的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)，故选 A. 考点三　导数与函数的极值、最值 方法技巧　(1)函数零点问题，常利用数形结合与函数极值求解. (2)含参恒成立问题，可转化为函数最值问题；若能分离参数，可先分离. 特别提醒　(1)f′(x0)＝0 是函数 y＝f(x)在 x＝x0 处取得极值的必要不充分条件. (2)函数 f(x)在[a，b]上有唯一一个极值点，这个极值点就是最值点. 11.(2017·全国Ⅱ)若 x＝－2 是函数 f(x)＝(x2＋ax－1)·ex－1 的极值点，则 f(x)的极小值为(　　) A.－1B.－2e－3C.5e－3D.1 答案　A 解析　函数 f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1， 则 f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)·ex－1＝ex－1·[x2＋(a＋2)x＋a－1]. 由 x＝－2 是函数 f(x)的极值点，得 f′(－2)＝e－3·(4－2a－4＋a－1)＝(－a－1)e－3＝0， 所以 a＝－1. 所以 f(x)＝(x2－x－1)ex－1， f′(x)＝ex－1·(x2＋x－2). 由 ex－1＞0 恒成立，得当 x＝－2 或 x＝1 时，f′(x)＝0，且当 x＜－2 时，f′(x)＞0；当－2＜ x＜1 时，f′(x)＜0； 当 x＞1 时，f′(x)＞0. 所以 x＝1 是函数 f(x)的极小值点. 所以函数 f(x)的极小值为 f(1)＝－1. 故选 A. 12.若函数 f(x)＝ax2 2 －(1＋2a)x＋2lnx(a＞0)在区间 (1 2，1 )内有极大值，则 a 的取值范围是 (　　) A.(1 e，＋∞) B.(1，＋∞) C.(1，2) D.(2，＋∞) 答案　C 解析　f′(x)＝ax－(1＋2a)＋2 x＝ax2－(2a＋1)x＋2 x (a＞0，x＞0). 若 f(x)在(1 2，1 )内有极大值， 则 f′(x)在(1 2，1 )内先大于 0，再小于 0， 即Error!解得 1＜a＜2. 13.(2017·全国Ⅲ)已知函数 f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x+1)有唯一零点，则 a 等于(　　) A.－1 2B.1 3C.1 2D.1 答案　C 解析　方法一　f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x+1)＝(x－1)2＋a[ex－1＋e－(x－1)]－1， 令 t＝x－1，则 g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1. ∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)， ∴函数 g(t)为偶函数. ∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点. 又 g(t)为偶函数，由偶函数的性质知 g(0)＝0， ∴2a－1＝0，解得 a＝1 2.故选 C. 方法二　f(x)＝0⇔a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x. ex－1＋e－x+1≥2 ex－1·e－x + 1＝2， 当且仅当 x＝1 时取“＝”. －x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当 x＝1 时取“＝”. 若 a＞0，则 a(ex－1＋e－x+1)≥2a， 要使 f(x)有唯一零点，则必有 2a＝1，即 a＝1 2. 若 a≤0，则 f(x)的零点不唯一. 故选 C. 14.设函数 f(x)＝x3－2ex2＋mx－lnx，记 g(x)＝f(x) x ，若函数 g(x)至少存在一个零点，则实数 m 的取值范围是________. 答案　(－∞，1 e＋e2] 解析　由题意知 m＝ －x3＋2ex2＋lnx x 有解， 令 h(x)＝－x2＋2ex＋lnx x (x＞0)， 则 h′(x)＝－2(x－e)＋1－lnx x2 ， ∴当 0＜x＜e 时，h′(x)＞0， 当 x＞e 时，h′(x)＜0， ∴h(x)max＝h(e)＝1 e＋e2， ∴m≤1 e＋e2. 15.已知 f(x)＝x3－3x＋3－x ex，g(x)＝－(x＋1)2＋a，∃x1∈[0，2]，∀x2∈[0，2]，使得 f(x1)≤g(x2) 成立，则实数 a 的取值范围是______________. 答案　[10－1 e，＋∞) 解析　∃x1∈[0，2]，∀x2∈[0，2]，使得 f(x1)≤g(x2)成立，等价于 f(x)min≤g(x)min，f′(x)＝3x2 －3＋x－1 ex ＝(x－1)(3x＋3＋1 ex)，故当 x∈(0，1)时，f′(x)<0； 当 x∈(1，2)时，f′(x)>0，故 f(x)min＝f(1)＝1－1 e； 当 x＝2 时，g(x)取得最小值 g(2)＝a－9， 所以 1－1 e≤a－9，即实数 a 的取值范围是 a≥10－1 e. 考点四　定积分 要点重组　微积分基本定理： 一般地，如果 f(x)是区间[a，b]上的连续函数，且 F′(x)＝f(x)，那么 ʃbaf(x)dx＝F(b)－F(a). 16.(2017·凉山州模拟)ʃ e1(x＋1 x )dx 等于(　　) A.e2B.e2＋1 2 C.e2－1 2 D.e2＋3 2 答案　B 解析　ʃe1(x＋1 x )dx＝(1 2x2＋lnx)|e1＝(1 2e2＋1)－(1 2＋0 )＝e2＋1 2 . 17.设 f(x)＝Error!则 ʃ 2－1f(x)dx 的值为(　　) A.π 2＋4 3B.π 2＋3C.π 4＋4 3D.π 4＋3 答案　A 解析　根据定积分性质， 可得 ʃ 2－1f(x)dx＝ʃ 1－1( 1－x2)dx＋ʃ21(x2－1)dx， 根据定积分的几何意义，ʃ 1－1( 1－x2)dx 是以原点为圆心，以 1 为半径的圆的面积的1 2， ∴ʃ 1－1( 1－x2)dx＝π 2， ∴ʃ 2－1f(x)dx＝π 2＋(1 3x3－x)|21＝π 2＋4 3. 18.若 f(x)＝x2＋2ʃ10f(x)dx，则 ʃ10f(x)dx 等于(　　) A.－1B.－1 3C.1 3D.1 答案　B 解析　ʃ10f(x)dx＝ʃ10x2dx＋ʃ10[2ʃ10f(x)dx]dx＝1 3x3|10＋[2ʃ10f(x)dx]x|10＝1 3＋2ʃ10f(x)dx， ∴ʃ10f(x)dx＝－1 3.故选 B. 19.曲线 y＝cosx (0 ≤ x ≤ 3π 2 )与 x 轴所围图形的面积为(　　) A.4B.2C.5 2D.3 答案　D 解析　曲线 y＝cosx (0 ≤ x ≤ 3π 2 )与 x 轴所围图形的面积为 20.由曲线 y＝ x，直线 y＝x－2 及 y 轴所围成的图形的面积为(　　) A.10 3 B.4C.16 3 D.6 答案　C 解析　如图，作出 y＝ x和 y＝x－2 的图象易得 A(0，－2). 由Error!得其交点坐标为 B(4，2). 因此 y＝ x与 y＝x－2 及 y 轴所围成的图形的面积为 ʃ40[ x－(x－2)]dx＝ʃ40( x－x＋2)dx ＝(2 3－1 2x2＋2x)|40＝2 3×8－1 2×16＋2×4＝16 3 . 1.已知 f(x)＝lnx，g(x)＝1 2x2＋mx＋7 2(m<0)，直线 l 与函数 f(x)，g(x)的图象都相切，且与 f(x) 图象的切点为(1，f(1))，则 m 等于(　　) A.－1B.－3C.－4D.－2 答案　D π 3π π 3π 2 2 2 2 π 0 π0 2 2 cos d cos d sin | sin | 3.S x x x x x x= − = − =∫ ∫ 解析　∵f′(x)＝1 x， ∴直线 l 的斜率为 k＝f′(1)＝1. 又 f(1)＝0，∴切线 l 的方程为 y＝x－1. g′(x)＝x＋m，设直线 l 与 g(x)的图象的切点为(x0，y0)， 则有 x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝1 2x20＋mx0＋7 2(m<0)， 于是解得 m＝－2.故选 D. 2.(2016·全国Ⅰ)若函数 f(x)＝x－1 3sin2x＋asinx 在(－∞，＋∞)上单调递增，则 a 的取值范围 是(　　) A.[－1，1]B.[－1，1 3]C.[－1 3，1 3]D.[－1，－1 3] 答案　C 解析　方法一　(特殊值法)：不妨取 a＝－1， 则 f(x)＝x－1 3sin 2x－sin x， f′(x)＝1－2 3cos 2x－cos x，但 f′(0)＝1－2 3－1＝－2 3<0，不具备在(－∞，＋∞)上单调递增， 排除 A，B，D.故选 C. 方法二　(综合法)：∵函数 f(x)＝x－1 3sin 2x＋asin x 在(－∞，＋∞)上单调递增， ∴f′(x)＝1－2 3cos 2x＋acos x＝1－2 3(2cos2x－1)＋acos x ＝－4 3cos2x＋acos x＋5 3≥0，即 acos x≥4 3cos2x－5 3在(－∞，＋∞)上恒成立. 当 cos x＝0 时，恒有 0≥－5 3，得 a∈R； 当 00，f(x)为增函数；当－11 时，f′(x)>0，f(x)为 增函数.故选项 B 的图象符合. 2.函数 f(x)＝(x－3)ex 的单调递增区间是(　　) A.(－∞，2) B.(0，3) C.(1，4) D.(2，＋∞) 答案　D 解析　函数 f(x)＝(x－3)ex 的导函数为 f′(x)＝[(x－3)·ex]′＝ex＋(x－3)ex＝(x－2)ex. 由函数导数与函数单调性的关系，得当 f′(x)>0 时，函数 f(x)单调递增， 此时由不等式 f′(x)＝(x－2)ex>0，解得 x>2. 3.(2017·绵阳模拟)已知函数 f(x)＝1 3x3－1 2mx2＋4x－3 在区间[1，2]上是增函数，则实数 m 的 取值范围为(　　) A.4≤m≤5 B.2≤m≤4 C.m≤2 D.m≤4 答案　D 解析　函数 f(x)＝1 3x3－1 2mx2＋4x－3， 可得 f′(x)＝x2－mx＋4，函数 f(x)＝1 3x3－1 2mx2＋4x－3 在区间[1，2]上是增函数，可得 x2－mx ＋4≥0 在区间[1，2]上恒成立， 可得 m≤x＋4 x，x＋4 x≥2 x·4 x＝4，当且仅当 x＝2 时取等号，可得 m≤4. 4.若函数 f(x)＝(x＋1)·ex，则下列命题正确的是(　　) A.对任意 m<－1 e2，都存在 x∈R，使得 f(x)－1 e2，都存在 x∈R，使得 f(x)－1 e2，方程 f(x)＝m 总有两个实根 答案　B 解析　∵f′(x)＝(x＋2)·ex， ∴当 x>－2 时，f′(x)>0，f(x)为增函数； 当 x<－2 时，f′(x)<0，f(x)为减函数.∴f(－2)＝－ 1 e2为 f(x)的最小值，即 f(x)≥－ 1 e2(x∈R)， 故 B 正确. 5.(2017·鹰潭一模)函数 f(x)是定义在区间(0，＋∞)上的可导函数，其导函数为 f′(x)，且满 足 xf′(x)＋2f(x)＞0，则不等式 (x＋2018)f(x＋2018) 5 ＜ 5f(5) x＋2018的解集为(　　) A.{x|x＞－2013} B.{x|x＜－2013} C.{x|－2013＜x＜0} D.{x|－2018＜x＜－2013} 答案　D 解析　构造函数 g(x)＝x2f(x)， 则 g′(x)＝x[2f(x)＋xf′(x)]. 当 x＞0 时，∵2f(x)＋xf′(x)＞0， ∴g′(x)＞0， ∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增. ∵不等式 (x＋2018)f(x＋2018) 5 ＜ 5f(5) x＋2018， ∴当 x＋2018＞0，即 x＞－2018 时， ∴(x＋2018)2f(x＋2018)＜52f(5)， ∴g(x＋2018)＜g(5)， ∴x＋2018＜5， ∴－2018＜x＜－2013. 6.设 a∈R，若函数 y＝ex＋ax，x∈R 有大于零的极值点，则(　　) A.a<－1 B.a>－1 C.a>－1 e D.a<－1 e 答案　A 解析　∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a. ∵函数 y＝ex＋ax 有大于零的极值点， 则方程 y′＝ex＋a＝0 有大于零的解. ∵当 x>0 时，－ex<－1，∴a＝－ex<－1. 7.(2017·贵阳一模)函数曲线 y＝ 与 y＝x2 所围成的封闭区域的面积为(　　) A.1 3B. 5 12C.4 5D.5 2 答案　A 解析　函数曲线 y＝ 与 y＝x2 所围成的封闭区域的面积为 ʃ10( x－x2)dx＝(2 3－1 3x3)|10＝1 3. 8.(2017·原创押题预测)若对∀x>0，不等式 ln(1＋x)－x＋x2＋2x＋a x＋2 >1(a∈R)恒成立，则 a 的 取值范围是(　　) A.[1，＋∞) B.(1，＋∞)C.[2，＋∞) D.(2，＋∞) 答案　C 解析　若对∀x>0，不等式 ln(1＋x)－x＋x2＋2x＋a x＋2 >1 (a∈R)恒成立，则 ln(1＋x)＋ a x＋2>1 恒 成立，即 a>(x＋2)[1－ln(1＋x)]恒成立，令 h(x)＝(x＋2)[1－ln(1＋x)]，则 h′(x)＝1－ln(1＋x) －x＋2 x＋1＝－ln(1＋x)－ 1 x＋1.当 x>0 时，显然 h′(x)＝－ln(1＋x)－ 1 x＋1<0， 所以 h(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以当 x>0 时，h(x)0，若曲线 y＝ x与直线 x＝a，y＝0 所围成封闭图形的面积为 a，则 a＝______. 答案　9 4 解析　S＝ʃa0 xdx＝2 3 |a0＝2 3 ＝a，∴a＝9 4. 11.若在区间[0，1]上存在实数 x 使 2x(3x＋a)<1 成立，则 a 的取值范围是________. 答案　(－∞，1) 解析　2x(3x＋a)<1 可化为 a<2－x－3x， 则在区间[0，1]上存在实数 x 使 2x(3x＋a)<1 成立等价于 a<(2－x－3x)max，而 2－x－3x 在[0，1] 上单调递减， ∴2－x－3x 的最大值为 20－0＝1，∴a<1， 故 a 的取值范围是(－∞，1). 12.(2017·原创押题预测)已知函数 f(x)＝(kx＋1 3)ex－x，若 f(x)<0 的解集中只有一个正整数， 则实数 k 的取值范围为______________. 答案　[1 e2－1 6，1 e－1 3) 解析　由 f(x)<0，即 (kx＋1 3)ex－x<0，即 kx＋1 30，当 x>1 时，g′(x)<0，所以 g(x)在(－∞，1)上单调递增，在 (1，＋∞)上单调递减，所以 g(x)max＝g(1)＝1 e， 由图可知，kx＋1 3