2020高中数学 第一章 三角函数 1 8页

1 1.1.1 任意角 学习目标：1.理解任意角的概念.2.掌握终边相同角的含义及其表示．(重点、难点)3. 掌握轴线角、象限角及区间角的表示方法．(难点、易错点) [自 主 预 习·探 新 知] 1．角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形 成的图形． 2．角的表示：如图 111， 图 111 (1)始边：射线的起始位置 OA， (2)终边：射线的终止位置 OB， (3)顶点：射线的端点 O. 这时，图中的角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”． 3．任意角的分类 (1)按旋转方向分 (2)按角的终边位置分 ①前提：角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合 ②分类： [基础自测] 1．思考辨析 (1)第二象限角大于第一象限角．( ) 2 (2)第二象限角是钝角．( ) (3)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．( ) (4)终边相同的角有无数个，它们相差 360°的整数倍．( ) [解析] (1)错误．如第二象限角 100°小于第一象限角 361°. (2)错误．如第二象限角－181°不是钝角． (3)(4)都正确． [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ 2．50°角的始边与 x 轴的非负半轴重合，把终边按顺时针方向旋转 2 周，所得角是 ________． －670° [由题意知，所得角是 50°－2×360°＝－670°.] 3．已知 0°≤α＜360°，且α与 600°角终边相同，则α＝________，它是第________ 象限角． 240° 三 [因为 600°＝360°＋240°，所以 240°角与 600°角终边相同，且 0°≤ 240°＜360°，故α＝240°，它是第三象限角．] [合 作 探 究·攻 重 难] 任意角和象限角的概念 (1)给出下列说法： ①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于 180°的角是钝角、直角 或锐角；④始边和终边重合的角是零角． 其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)． (2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指 出它们是第几象限角． ①420°.②855°.③－510°. 【导学号：84352000】 (1)① [(1)①锐角是大于 0°且小于 90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角， 所以①正确； ②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误； ③0°角是小于 180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误； ④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．] (2)作出各角的终边，如图所示： 由图可知： 3 ①420°是第一象限角． ②855°是第二象限角． ③－510°是第三象限角． [规律方法] 1.判断角的概念问题的关键与技巧： (1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念． (2)技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可． 2．象限角的判定方法： (1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限． (2)第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式； 第二步，判断β的终边所在的象限； 第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限． 提醒：理解任意角这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度” 决定角的“绝对值大小”． [跟踪训练] 1．已知集合 A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于 90°的角}，则下面关系正确的 是( ) A．A＝B＝C B．A⊆C C．A∩C＝B D．B∪C⊆C D [由已知得 B C，所以 B∪C＝C，故 D 正确．] 2．给出下列四个命题：①－75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第 二象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( ) 【导学号：84352001】 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 D [－90°＜－75°＜0°，180°＜225°＜270°， 360°＋90°＜475°＜360°＋180°，－360°＜－315°＜－270°.所以这四个命题都 是正确的．] 终边相同的角的表示及应用 (1)将－885°化为 k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________． (2)写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜ 360°的元素β写出来． [思路探究] (1)根据－885°与 k·360°，k∈Z 的关系确定 k. (2)先写出与α终边相同的角 k·360°＋α，k∈Z，再由已知不等式确定 k 的可能取值． (1)( － 3)×360° ＋ 195° [(1) － 885° ＝ － 1 080° ＋ 195° ＝ ( － 3)×360° ＋ 4 195°.] (2)与α＝－1 910°终边相同的角的集合为 {β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}． ∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)， ∴311 36 ≤k＜611 36 (k∈Z)，故取 k＝4,5,6. k＝4 时，β＝4×360°－1 910°＝－470°； k＝5 时，β＝5×360°－1 910°＝－110°； k＝6 时，β＝6×360°－1 910°＝250°. [规律方法] 1.在 0°到 360°范围内找与给定角终边相同的角的方法 (1)一般地，可以将所给的角α化成 k·360°＋β的形式(其中 0°≤β＜360°，k∈Z)， 其中的β就是所求的角． (2)如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采 用连续加 360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减 360°的方式，直到所得结果达到 要求为止． 2．运用终边相同的角的注意点 所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子 k·360°＋α，k∈Z 表示，在运 用时需注意以下四点： (1)k 是整数，这个条件不能漏掉． (2)α是任意角． (3)k·360°与α之间用“＋”连接，如 k·360°－30°应看成 k·360°＋(－30°)， k∈Z. (4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它 们相差周角的整数倍． 提醒：表示终边相同的角，k∈Z 这一条件不能少． [跟踪训练] 3．下面与－850°12′终边相同的角是( ) A．230°12′ B．229°48′ C．129°48′ D．130°12′ B [与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)，当 k＝ 3 时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.] 4．在－360°～360°之间找出所有与下列各角终边相同的角，并判断各角所在的象限． ①790°；②－20°. 【导学号：84352002】 [解] ①∵790°＝2×360°＋70°＝3×360°－290°， 5 ∴在－360°～360°之间与它终边相同的角是 70°和－290°，它们都是第一象限的 角． ②∵－20°＝－360°＋340°， ∴在－360°～360°之间与它终边相同的角是－20°和 340°，它们都是第四象限的 角． 任意角终边位置的确定和表示 [探究问题] 1．若射线 OA 的位置是 k·360°＋10°，k∈Z，射线 OA 绕点 O 逆时针旋转 90°经过的 区域为 D，则终边落在区域 D(包括边界)的角的集合应如何表示？ 提 示 ： 终 边 落 在 区 域 D 包 括 边 界 的 角 的 集 合 可 表 示 为 {α|k·360° ＋ 10°≤α≤k·360°＋100°，k∈Z}． 2．若角α与β的终边关于 x 轴、y 轴、原点、直线 y＝x 对称，则角α与β分别具有怎 样的关系？ [提示] (1)关于 x 轴对称：若角α与β的终边关于 x 轴对称，则角α与β的关系是β ＝－α＋k·360°，k∈Z. (2)关于 y 轴对称：若角α与β的终边关于 y 轴对称，则角α与β的关系是β＝180°－ α＋k·360°，k∈Z. (3)关于原点对称：若角α与β的终边关于原点对称，则角α与β的关系是β＝180°＋ α＋k·360°，k∈Z. (4)关于直线 y＝x 对称：若角α与β的终边关于直线 y＝x 对称，则角α与β的关系是 β＝－α＋90°＋k·360°，k∈Z. (1)若α是第一象限角，则－α 2 是( ) A．第一象限角 B．第一、四象限角 C．第二象限角 D．第二、四象限角 (2)已知，如图 112 所示． 图 112 ①分别写出终边落在 OA，OB 位置上的角的集合． ②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合. 6 [思路探究] (1) 由α的范围写出α 2 的范围 → 确定α 2 是第几象限角 → 根据角终边的对称性确定－α 2 是第几象限角 (2)① 观察图形 → 确定终边落在 OA，OB 位置上的角 ② 由小到大分别标出起始和终止边界对应的角 → 加上 360°的整数倍，得所求集合 (1)D [(1)因为α是第一象限角，所以 k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z， 所以 k·180°＜α 2 ＜k·180°＋90°，k∈Z， 所以α 2 是第一、三象限角， 又因为－α 2 与α 2 的终边关于 x 轴对称， 所以－α 2 是第二、四象限角．] (2)①终边落在 OA 位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝ {α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}； 终边落在 OB 位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}． ②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间 的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋ k·360°，k∈Z}． 母题探究：1.若将本例(2)改为如图 113 所示的图形，那么终边落在阴影部分(包括边 界)的角的集合如何表示？ 图 113 [解] 在 0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为 60°≤β＜105°与 240°≤β＜285°，所以所有满足题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β＜k·360°＋ 105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β＜k·360°＋285°，k∈Z} 7 ＝{β|2k·180°＋60°≤β＜2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋ 60°≤β＜(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z} ＝{β|n·180°＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}． 故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}． 2．若将本例(2)改为如图 114 所示的图形，那么阴影部分(包括边界)表示的终边相同 的角的集合如何表示？ 图 114 [ 解 ] 在 0° ～ 360° 范 围 内 ， 阴 影 部 分 ( 包 括 边 界 ) 表 示 的 范 围 可 表 示 为 ： 150°≤β≤225°，则所有满足条件的角β为{β|k·360°＋150°≤β≤k·360°＋ 225°，k∈Z}． [规律方法] 1.表示区间角的三个步骤： 第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界； 第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和 β，写出最简区间{x|α