2020高中数学 第2章 函数概念与基本初等函数I 2 3页

二次函数的图象及性质 ‎（答题时间：30分钟）‎ ‎1. 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图所示，根据图象可知：当k____时，方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根。‎ ‎2. 如果函数f（x）＝x2＋bx＋c对任意实数t都有f（2＋t）＝f（2－t），那么比较f（1），f（2）与f（4）的大小。‎ ‎3. 如果函数f（x）＝x2＋2（a－1）x＋2在区间（－∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是________。‎ ‎4. 二次函数y＝f（x）满足f（3＋x）＝f（3－x），且f（x）＝0有两个实根x1、x2，则x1＋x2＝_______。‎ ‎5. 关于x的一元一次方程ax＋x＋4＝0的根在[－2，1]内，则a的取值范围是_________。‎ ‎6. 当m∈ ________时，函数f（x）＝（m－2）x2－2mx－3＋‎2m的图象总在x轴下方。‎ ‎7. 已知f（x）＝ax2＋bx＋c，g（x）＝ax＋b（a、b、c∈R），当x∈[－1，1]时，|f（x）|≤1‎ ‎（1）证明：|c|≤1。‎ ‎（2）x∈[－1，1]时，证明|g（x）|≤2。‎ ‎（3）设a＞0，当－1≤x≤1时，＝2，求f（x）。‎ 3‎ ‎1. k<2 解析：分析得方程ax2＋bx＋c＝k的图象是方程ax2＋bx＋c＝0的图象在y轴方向上移动k个单位得到的。‎ 方程ax2＋bx＋c＝0的图象向下移动两个单位时图象与x轴有一个交点，当向下移动的距离大于2时图象与x轴没有交点，所以k＜2；‎ 当图象向上移动时，不管移动多少个单位图象始终与x轴有两个交点，此时k＜0；‎ 综上所述要使方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，k的取值范围为：k＜2。‎ ‎2. 解：‎ ‎∵对任意实数t都有f（2＋t）＝f（2－t）‎ ‎∴f（x）的对称轴为x＝2，而f（x）是开口向上的二次函数，故画图观察 可得f（2）＜f（1）＜f（4），‎ ‎3. a≤－3 解析：∵f（x）＝x2＋2（a－1）x＋2的对称轴为x＝1－a，‎ ‎∵f（x）在区间（－∞，4]上是减函数，‎ 则只须1－a≥4，‎ 即a≤－3。‎ ‎4. 6 解析：∵二次函数y＝f（x）满足f（3＋x）＝f（3－x），‎ ‎∴函数的图象关于x＝3对称，‎ ‎∵f（x）＝0有两个实根x1、x2，‎ 且这两个实根关于对称轴对称，‎ ‎∴x1＋x2＝2×3＝6‎ ‎5. （－∞，－5）∪（1，＋∞） 解析：∵一元一次方程ax＋x＋4＝0的根在[－2，1]内，‎ 令f（x）＝ax＋x＋4，‎ ‎∴f（－2）f（1）＜0‎ ‎∴（－‎2a＋2）（a＋5）＜0‎ ‎∴（a－1）（a＋5）＞0‎ ‎∴a＞1或a＜－5，‎ ‎6. （） 解析：函数f（x）＝（m－2）x2－2mx－3＋‎2m的图象总在x轴下方，即f（x）＜0恒成立，‎ 当m－2＝0，即m＝2时，f（x）＝－4x＋1，不满足要求；‎ 当m≠2时，只要 3‎ 解得：m<1。‎ ‎7. 证明：（1）由条件知当＝1≤x≤1时，|f（x）|≤1，‎ 取x＝0得|c|＝|f（0）|≤1，即|c|≤1   ‎ ‎（2）（利用函数的单调性）‎ 由（1）得|c|≤1‎ ‎①当a＞0时，g（x）＝ax＋b在[－1，1]上是增函数，‎ 于是g（－1）≤g（x）≤g（1），（－1≤x≤1）   ‎ ‎∵|f（x）|≤1，（－1≤x≤1），|c|≤1，‎ ‎∴g（1）＝a＋b＝f（1）－c≤|f（1）|＋|c|＝2，‎ g（－1）＝－a＋b＝－f（－1）＋c≥－（|f（－2）|＋|c|）≥－2，‎ 因此得|g（x）|≤2（－1≤x≤1）；‎ ‎②当a＜0时，g（x）＝ax＋b在[－1，1]上是减函数，‎ 于是g（－1）≥g（x）≥g（1），（－1≤x≤1），‎ ‎∵|f（x）|≤1（－1≤x≤1），|c|≤1‎ ‎∴|g（x）|＝|f（1）－c|≤|f（1）|＋|c|≤2   ‎ 综合以上结果，当－1≤x≤1时，都有|g（x）|≤2   ‎ ‎（3）解：∵a＞0，g（x）在[－1，1]上是增函数，‎ 当x＝1时取得最大值2，即g（1）＝a＋b＝f（1）－f（0）＝2…①‎ ‎∵－1≤f（0）＝f（1）－2≤1－2＝－1，‎ ‎∴c＝f（0）＝－1   ‎ 因为当－1≤x≤1时，f（x）≥－1，即f（x）≥f（0），‎ 根据二次函数的性质，直线x＝0为f（x）的图象的对称轴，‎ 由此得－＜0，即b＝0   ‎ 由①得a＝2，‎ ‎∴f（x）＝2x2－1‎ 3‎