高中数学第二章平面解析几何2-3-3直线与圆的位置关系课件新人教B版选择性必修第一册 32页

2 . 3 . 3 　 直线与圆的位置关系 核心 素养 1 . 能熟练地解二元方程组 , 并能运用解方程或方程组来解决直线与圆的位置关系问题 . ( 数学抽象 ) 2 . 能根据给定的直线的方程、圆的方程用代数法和几何法两种方法来判断直线与圆的位置关系 . ( 逻辑推理 ) 3 . 掌握求圆的切线方程的方法 , 并会求与圆有关的最值问题 . ( 数学运算 , 直观想象 ) 思维脉络 激趣诱思 知识点拨 如图是一个休闲娱乐广场 , 广场的中心是一块圆形区域的场地 , 旁边被绿化植物包围 , 小路贯穿其中 , 旁边的马路也与广场相望 . 把圆形区域看成圆面 , 道路看成直线 , 人看成点 . 1 . 如果一个小孩在广场里玩 , 他也恰好处在一条小路上 , 该小路穿越中心圆形区域 , 你觉得这个小孩在圆形区域内吗 ? 2 . 如果一个小孩在圆形区域里玩 , 他也恰好处在一条小路上 , 该小路穿过圆形区域吗 ? 3 . 如果一个人在圆形区域里玩 ( 不在圆心 ), 假设此人的坐标为 ( a , b ), 圆形区域的方程为 x 2 +y 2 ≤ r 2 , 另有一条小路对应的直线方程为 ax+by=r 2 , 该小路与圆形区域有何位置关系 ? 激趣诱思 知识点拨 直线与圆的位置关系 直线 l : Ax+By+C= 0( A 2 +B 2 ≠0), 圆 C :( x-a ) 2 + ( y-b ) 2 =r 2 ( r> 0), 设圆心 ( a , b ) 到直线的距离是 d , 位置 关系 几何特征 代数特征 ( 方程联立 ) 公共点 个数 相离 d>r 无实数解 (Δ<0) 0 相切 d=r 一组实数解 (Δ=0) 1 相交 d0) 2 激趣诱思 知识点拨 微练习 直线 y=x+ 1 与圆 x 2 +y 2 = 1 的位置关系是 ( 　　 ) A. 相切 　　　　　　　　　　 B. 相交但直线不过圆心 C. 直线过圆心 D . 相离 ∴ 直线与圆 x 2 +y 2 = 1 相交 , 又 (0,0) 不在 y=x+ 1 上 , ∴ 直线不过圆心 . 答案 : B 激趣诱思 知识点拨 微思考 (1) 过圆上一点有几条切线 ? 过圆外一点有几条切线 ? 若点 ( x 0 , y 0 ) 是圆 x 2 +y 2 =r 2 上的点 , 你能得出过点 ( x 0 , y 0 ) 的圆的切线方程吗 ? 提示 : 过圆上一点一定有 1 条切线 , 过圆外一点一定有 2 条切线 . 过圆上一点 ( x 0 , y 0 ) 的切线方程为 x 0 x+y 0 y=r 2 . (2) 过圆 C 内一点 P ( 不同于圆心 ) 的所有弦中 , 何时弦最长 ? 何时弦最短 ? 提示 : 过圆内一点 P 的所有弦中 , 当弦经过圆心 C 时弦最长 , 等于直径的长 ; 当弦与过点 P 的直径垂直时弦最短 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 直线与圆的位置关系的判断 例 1 求实数 m 的取值范围 , 使直线 x-my+ 3 = 0 与圆 x 2 +y 2 - 6 x+ 5 = 0 分别满足 : ① 相交 ; ② 相切 ; ③ 相离 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 直线与圆的位置关系的判断方法 (1) 几何法 : 由圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系判断 . (2) 代数法 : 根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断 . (3) 直线系法 : 若直线恒过定点 , 可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系 . 但有一定的局限性 , 必须是过定点的直线系 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 1 (1)( 多选 ) 已知 ab ≠0, O 为坐标原点 , 点 P ( a , b ) 是圆 x 2 +y 2 =r 2 外一点 , 过点 P 作直线 l ⊥ OP , 直线 m 的方程是 ax+by=r 2 , 则下列结论正确的是 ( 　　 ) A. m ∥ l B. m ⊥ l C. m 与圆相离 D. m 与圆相交 答案 : AD 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (2) 已知直线 l : x- 2 y+ 5 = 0 与圆 C :( x- 7) 2 + ( y- 1) 2 = 36, 判断直线 l 与圆 C 的位置关系 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 求切线方程 例 2 (1) 由直线 y=x+ 1 上任一点向圆 ( x- 3) 2 +y 2 = 1 引切线 , 则该切线长的最小值为 ( 　　 ) 答案 : C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (2) 过点 M (2,4) 向圆 ( x- 1) 2 + ( y+ 3) 2 = 1 引切线 , 求切线的方程 . 分析 先明确点 M (2,4) 与圆的关系 , 再利用 d=r 列式来刻画相切这一条件 . 本题若使用点斜式设切线方程 , 一定要检验斜率不存在的情况 . 解 : 由于 (2 - 1) 2 + (4 + 3) 2 = 50 > 1, 故点 M 在圆外 . 当切线斜率存在时 , 设切线方程是 y- 4 =k ( x- 2), 即 kx-y+ 4 - 2 k= 0, 所以 切线方程为 24 x- 7 y- 20 = 0 . 又当切线斜率不存在时 , 直线 x= 2 与圆相切 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 求圆的切线方程的三种方法 (1) 几何法 : 设出切线方程 , 利用圆心到直线的距离等于半径 , 求出未知量 , 此种方法需要注意斜率不存在的情况 , 要单独验证 , 若符合题意 , 则直接写出切线方程 . (2) 代数法 : 设出切线方程后与圆的方程联立消元 , 利用判别式等于零 , 求出未知量 , 若消元后的方程为一元一次方程 , 则说明要求的切线中 , 有一条切线的斜率不存在 , 可直接写出切线方程 . (3) 设切点坐标 : 先利用切线的性质解出切点坐标 , 再利用直线的两点式写出切线方程 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 (1) 本例 (2) 中 , 若所给点 M 的坐标是 (1, - 4), 圆的方程不变 , 求切线方程 . (2) 本例 (2) 条件不变 , 试求切线长 . 解 : (1) 由于 (1 - 1) 2 + ( - 4 + 3) 2 = 1, 故点 (1, - 4) 在圆上 , 又圆心为 (1, - 3), 所以切线斜率为 0, 所以切线方程为 y=- 4, 即 y+ 4 = 0 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2 (1)( 多选 ) 在平面直角坐标系 xOy 中 , 圆 C 的方程为 x 2 +y 2 - 4 x= 0 . 若直线 y=k ( x+ 1) 上存在一点 P , 使过 P 所作的圆的两条切线相互垂直 , 则实数 k 的取值可以是 ( 　　 ) A.1 B.2 C.3 D.4 (2) 过点 P (2,3) 且与圆 ( x- 1) 2 + ( y- 2) 2 = 1 相切的直线的方程 为 　　　 .   探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (2) P (2,3) 在圆 ( x- 1) 2 + ( y- 2) 2 = 1 外 , ∴ 过点 P (2,3) 与圆 ( x- 1) 2 + ( y- 2) 2 = 1 相切的直线有两条 . 当斜率存在时 , 设切线的斜率为 k , 则切线方程为 y- 3 =k ( x- 2), 即 kx-y+ 3 - 2 k= 0, 当 斜率不存在时 , 切线方程为 x= 2 . 答案 : (1)AB 　 (2) x= 2 或 y= 3 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 与圆有关的最值 问题 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 与圆有关的最值问题 , 可借助几何特征及几何法先确定达到最值的位置 , 再进行计算 . 有些与圆有关的最值问题涉及是否过圆心 , 有时注意考虑表达式中字母的几何意义 , 如两点间距离公式、斜率公式、在 y 轴上的截距等 . 2 . 对于本题而言 , 解决的关键是理解 m 和 b 的几何意义 , 同时要借助分界线探求参数的取值范围 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 3 直线 y=x- 1 上的点与圆 x 2 +y 2 + 4 x- 2 y+ 4 = 0 上的点的距离的最小值为 ( 　　 ) 答案 : C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 思想方法 —— 用代数法和几何法研究弦长问题 案例 1 过点 (3,1) 作圆 ( x- 2) 2 + ( y- 2) 2 = 4 的弦 , 其中最短弦长为 　　　　　 .   解析 : 设点 A (3,1), 易知圆心 C (2,2), 半径 r= 2 . 当弦过点 A (3,1) 且与 CA 垂直时为最短弦 , 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (1) 求圆 C 的方程 ; (2) 若直线 3 x-y+ 1 = 0 与圆 C 相交于 A , B 两点 , 求线段 AB 的长 ; (3) 设过点 ( - 1,0) 的直线 l 与圆 C 相交于 M , N 两点 , 试问 : 是否存在直线 l , 使得以 MN 为直径的圆经过原点 O ? 若存在 , 求出直线 l 的方程 ; 若不存在 , 请说明理由 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (3) 存在直线 l 满足题意 . 理由如下 , 设 M ( x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ), 由题意 , 知 OM ⊥ ON , 且 OM , ON 的斜率均存在 , ② 当直线 l 的斜率存在时 , 可设直线 l 的方程为 y=k ( x+ 1), 代入 ( x- 1) 2 + ( y+ 2) 2 = 9, 得 (1 +k 2 ) x 2 + (2 k 2 + 4 k- 2) x+k 2 + 4 k- 4 = 0, 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2 . 若涉及直线和圆相交的问题 , 除了借助平面几何知识进行分析 , 还经常利用联立方程 , 用解方程组的思路来讨论有关弦长和垂直等问题 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1 . 直线 3 x+ 4 y- 25 = 0 与圆 x 2 +y 2 = 9 的位置关系为 ( 　　 ) A. 相切 B. 相交 C. 相离 D. 相离或相切 答案 : C 2 . 对任意的实数 k , 直线 y=kx+ 1 与圆 x 2 +y 2 = 2 的位置关系一定是 ( 　　 ) A. 相离 B. 相切 C. 相交但直线不过圆心 D. 相交且直线过圆心 解析 : 直线 y=kx+ 1 恒过定点 (0,1), 由定点 (0,1) 在圆 x 2 +y 2 = 2 内 , 知直线 y=kx+ 1 与圆 x 2 +y 2 = 2 一定相交 . 又直线 y=kx+ 1 不过圆心 (0,0), 则位置关系是相交但直线不过圆心 , 故选 C . 答案 : C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3 . 若直线 x-y+ 1 = 0 与圆 ( x-a ) 2 +y 2 = 2 有公共点 , 则实数 a 的取值范围是 ( 　　 ) A.[ - 3, - 1] B .[ - 1,3] C.[ - 3,1] D .( -∞ , - 3] ∪ [1, +∞ ) 答案 : C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4 . 已知直线 l : mx+y- 3 = 0 与圆 ( x- 1) 2 + ( y- 2) 2 = 4 交于 A , B 两点 , 过 A , B 分别做 l 的垂线与 x 轴交于 C , D 两点 , 若 |AB|= 4, 则 |CD|= 　　　　　 .   解析 : 圆 ( x- 1) 2 + ( y- 2) 2 = 4, 圆心 (1,2), 半径 r= 2, ∵ |AB|= 4, ∴ 直线 l : mx+y- 3 = 0 过圆心 (1,2), ∴ m+ 2 - 3 = 0, ∴ m= 1, ∴ 直线 l : x+y- 3 = 0, 倾斜角为 135 ° , ∵ 过 A , B 分别做 l 的垂线与 x 轴交于 C , D 两点 , 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5 . 记 x 2 +y 2 ≤ 1 表示的平面区域为 W , 点 O 为原点 , 点 P 为直线 y= 2 x- 2 上的一个动点 , 若区域 W 上存在点 Q , 使得 |OQ|=|PQ| , 试求 |OP| 的最大值 . 解 : 画出直线 y= 2 x- 2 与平面区域 W , 如图所示 , 易知 |OQ| ≤ 1, 在 △ OQP 中 , |OQ|+|QP|>|OP| , 当且仅当 O , Q , P 三点共线时 , 有 |OQ|+|QP|=|OP|. 所以当 |OQ|= 1 时 , |OP| 取最大值 2 .