2019年高考数学总复习检测第37讲　等比数列的概念及基本运算 3页

第37讲　等比数列的概念及基本运算 ‎　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．(2016·湖北省八校第二次联考)在等比数列{an}中，a2a3a4＝8，a7＝8，则a1＝(A)‎ A．1 B．±1 ‎ C．2 D．±2‎ ‎ 因为a2a3a4＝a＝8，所以a3＝2，即a1q2＝2，‎ 所以a1>0，又a2a3a4＝a1q·a1q2·a1q3＝a·a1q6＝a·a7＝8a＝8，所以a1＝1或a1＝－1(舍去)，故选A.‎ ‎2．(2015·新课标卷Ⅱ)已知等比数列{an}满足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，则a2＝(C)‎ A．2 B．1‎ C. D. ‎ 由题意可得a3a5＝a＝4(a4－1)，‎ 所以a4＝2，所以q3＝＝8，所以q＝2.‎ 所以a2＝a1q＝.‎ ‎3．(2017·湖南五市十校联考)已知数列{an}的前n项和Sn＝Aqn＋B(q≠0)，则“A＝－B”是“数列{an}是等比数列”的(B)‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎ 若A＝B＝0，则Sn＝0，故数列{an}不是等比数列；‎ 若数列{an}是等比数列，当q＝1时，Sn＝A＋B，所以an＝0(n≥2)与数列{an}是等比数列矛盾，所以q≠1，Sn＝，‎ 所以A＝－，B＝，所以A＝－B，‎ 因此“A＝－B”是“数列{an}是等比数列”的必要不充分条件．‎ ‎4．(2018·华大新高考联盟教学质量测评)在等比数列{an}中，a2＝，a3＝，则＝(D)‎ A. B. C. D. ‎ 依题意知等比数列{an}的公比q＝＝，‎ 故＝＝＝.‎ ‎5．已知{an}为等差数列，公差为1，且a5是a3与a11的等比中项，则a1＝　－1　.‎ ‎ 因为a5是a3与a11的等比中项，所以a＝a3·a11.‎ 即(a1＋4d)2＝(a1＋2d)(a1＋10d)，解得a1＝－1.‎ ‎6．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝6，S4＝30，则S6＝　126　.‎ ‎ 因为{an}是等比数列，‎ 所以S2，S4－S2，S6－S4成等比数列．‎ 所以＝，故S6＝126.‎ ‎7．已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn＝(an－1)(n∈N*)．‎ ‎(1)求a1，a2；‎ ‎(2)求证：数列{an}是等比数列；‎ ‎(3)求数列{an}的通项公式．‎ ‎ (1)由S1＝(a1－1)，得 a1＝(a1－1)，所以a1＝－.‎ 又S2＝(a2－1)，即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝.‎ ‎(2)证明：当n≥2时，‎ an＝Sn－Sn－1＝(an－1)－(an－1－1)，‎ 得＝－，所以数列{an}是等比数列．‎ ‎(3)由(1)、(2)可知{an}是a1＝－，公比为－的等比数列，‎ 所以an＝a1·qn－1＝－×(－)n－1＝(－)n.‎ ‎8．(2017·湖南三湘名校联盟三模)一个等比数列{an}的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有(B)‎ A．13项 B．12项 C．11项 D．10项 ‎ 设首项为a1，公比为q，共有n项．‎ 前三项的积为aq3＝2，‎ 最后三项的积为aq3n－6＝4，‎ 两式相乘得aq3(n－1)＝8，即aqn－1＝2，‎ 又a1·a1q·a1q2·…·a1qn－1＝64，‎ 所以aq＝64.则(aqn－1)n＝642，‎ 所以2n＝642，所以n＝12.‎ ‎9．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝　50　.‎ ‎ 因为a1a20＝a10a11＝a9a12＝e5，‎ 所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln(a1·a2·…·a20)‎ ‎＝ln[(a1·a20)·(a2·a19)·…·(a10·a11)]‎ ‎＝ln(e5·e5·…·e5)＝ln e50＝50.‎ ‎10．(2017·新课标卷Ⅱ)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.‎ ‎(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；‎ ‎(2)若T3＝21，求S3.‎ ‎ 设{an}的公差为d，{bn}的公比为q(q≠0)．‎ ‎(1)由a2＋b2＝2得d＋q＝3，①‎ 由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6.②‎ 联立①和②解得(舍去)， 因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1.‎ ‎(2)由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0.‎ 解得q＝－5或q＝4.‎ 当q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21.‎ 当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6.‎