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  • 2021-06-11 发布

【数学】2019届高考一轮复习北师大版理5-3平面向量的数量积及应用举例学案

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第3讲 平面向量的数量积及应用举例 ‎1.平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a,b的夹角为θ,则数量|a||b|·cos__θ叫做a与b的数量积,记作a·b 投影 ‎|a|cos__θ叫做向量a在b方向上的投影,‎ ‎|b|cos__θ叫做向量b在a方向上的投影 几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos__θ的乘积 ‎2.向量的夹角 定义 图示 范围 共线与垂直 已知两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB就是a与b的夹角 设θ是a与b的夹角,则θ的取值范围是 0°≤θ≤180°‎ 若θ=0°,则a与b同向;若θ=180°,则a与b反向;若θ=90°,则a与b垂直 ‎3.向量数量积的运算律 ‎(1)a·b=b·a;‎ ‎(2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb);‎ ‎(3)(a+b)·c=a·c+b·c.‎ ‎4.平面向量数量积的坐标运算及有关结论 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,a·b=x1x2+y1y2.‎ 结论 几何表示 坐标表示 模 ‎|a|= ‎|a|= 夹角 cos θ= cos θ= a⊥b的充要条件 a·b=0‎ x1x2+y1y2=0‎ ‎ 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量,而不是向量.(  )‎ ‎(2)两个向量的数量积是一个实数,向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.(  )‎ ‎(3)由a·b=0可得a=0或b=0.(  )‎ ‎(4)(a·b)c=a(b·c).(  )‎ ‎(5)两个向量的夹角的范围是.(  )‎ ‎(6)若a·b>0,则a和b的夹角为锐角;若a·b<0,则a和b的夹角为钝角.(  )‎ 答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)×‎ ‎ (2016·高考全国卷Ⅲ)已知向量=,=,则∠ABC=(  )‎ A.30° B.45°‎ C.60° D.120°‎ 解析:选A.由两向量的夹角公式,可得cos ∠ABC===,则∠ABC=30°.‎ ‎ 已知a,b是平面向量.如果|a|=3,|b|=4,|a+b|=2,那么|a-b|=(  )‎ A. B.7‎ C.5 D. 解析:选A.由|a+b|2=a2+2a·b+b2=9+2a·b+16=4,得2a·b=-21,所以|a-b|2=a2-2a·b+b2=9+21+16=46,所以|a-b|=.‎ ‎ (2017·高考全国卷Ⅰ)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m=________.‎ 解析:因为a+b=(m-1,3),a+b与a垂直,所以(m-1)×(-1)+3×2=0,解得m=7.‎ 答案:7‎ ‎ 已知两个单位向量e1,e2的夹角为,若向量b1=e1-2e2,b2=3e1+4e2,则b1·b2=________.‎ 解析:b1·b2=(e1-2e2)·(3e1+4e2)‎ ‎=3e-2e1·e2-8e ‎=3-2×1×1×cos -8=-6.‎ 答案:-6‎ ‎      平面向量数量积的运算 ‎ [典例引领]‎ ‎ (1)(2018·豫南九校联考)已知向量a=(m,2),b=(2,-1),且a⊥b,则等于(  )‎ A.- B.1‎ C.2 D. ‎(2)(2017·高考全国卷Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值是(  )‎ A.-2 B.- C.- D.-1‎ ‎【解析】 (1)因为a⊥b,所以2m-2=0,所以m=1,则2a-b=(0,5),a+b=(3,1),所以a·(a+b)=1×3+2×1=5,|2a-b|=5,所以==1.‎ ‎(2)如图,以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴,以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,‎ 则A(0,),B(-1,0),C(1,0),设P(x,y),则=(-x,-y),=(-1-x,-y),=(1-x,-y),所以·(+)=(-x,-y)·(-2x,-2y)=2x2+2(y-)2-,当x=0,y=时,·(+)取得最小值,为-,选择B.‎ ‎【答案】 (1)B (2)B 在本例(2)的条件下,若D,E是边BC的两个三等分点(D靠近点B),则·等于________.‎ 解析:法一:(通性通法)‎ 因为D,E是边BC的两个三等分点,所以BD=DE=CE=,在△ABD中,AD2=BD2+AB2‎ ‎-2BD·AB·cos 60°=+22-2××2×=,即AD=,同理可得AE=,在△ADE中,由余弦定理得cos∠DAE===,所以·=||·||cos∠DAE=××=.‎ 法二:(光速解法)‎ 如图,建立平面直角坐标系,由正三角形的性质易得 A,D,E,‎ 所以=,=,‎ 所以·=·=.‎ 答案: ‎(1)向量数量积的两种运算方法 ‎①当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a·b=|a||b|cos〈a,b〉.‎ ‎②当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.‎ ‎(2)数量积在平面几何中的应用 解决涉及几何图形的向量的数量积运算问题时,常利用解析法,巧妙构造坐标系,利用坐标求解.  ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1.设向量a=(-1,2),b=(m,1),如果向量a+2b与2a-b平行,那么a与b的数量积等于(  )‎ A.-         B.- C. D. 解析:选D.a+2b=(-1+2m,4),2a-b=(-2-m,3),由题意得3(-1+2m)-4(-2-m)=0,则m=-,所以a·b=-1×+2×1=.‎ ‎2.(2018·云南省第一次统一检测)在▱ABCD中,||=8,||=6,N为DC的中点,=2,则·=(  )‎ A.48 B.36‎ C.24 D.12‎ 解析:选C.法一:·=(+)·(+)=·=2-2=×82-×62=24.‎ 法二:(特例图形),若▱ABCD为矩形,建立如图所示坐标系,‎ 则N(4,6),M(8,4).‎ 所以=(8,4),=(4,-2)‎ 所以·=(8,4)·(4,-2)=32-8=24.‎ ‎3.(2017·高考北京卷)已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(-2,0),O为原点,则·的最大值为________.‎ 解析:法一:由题意知,=(2,0),令P(cos α,sin α),则=(cos α+2,sin α),·=(2,0)·(cos α+2,sin α)=2cos α+4≤6,故·的最大值为6.‎ 法二:由题意知,=(2,0),令P(x,y),-1≤x≤1,则·=(2,0)·(x+2,y)=2x+4≤6,故·的最大值为6.‎ 答案:6‎ ‎      平面向量的夹角与模(高频考点) ‎ 平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容,题型多为选择题、填空题,‎ 属中档题.高考对平面向量的夹角与模的考查主要有以下三个命题角度:‎ ‎(1)求两向量的夹角;‎ ‎(2)求向量的模;‎ ‎(3)两向量垂直问题.‎ ‎[典例引领]‎ 角度一 求两向量的夹角 ‎ (2018·成都市第二次诊断性检测)已知平面向量a,b的夹角为,且|a|=1,|b|=,则a+2b与b的夹角是(  )‎ A. B. C. D. ‎【解析】 因为|a+2b|2=|a|2+4|b|2+4a·b=1+1+4×1××cos =3,所以|a+2b|=,又(a+2b)·b=a·b+2|b|2=1××cos +2×=+=,所以cos〈a+2b,b〉===,所以a+2b与b的夹角为.‎ ‎【答案】 A 角度二 求向量的模 ‎ 在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点.若·=1,则AB的长为________.‎ ‎【解析】 设AB的长为a(a>0),又因为=+,=+=-,于是·=(+)·=·-2+2=-a2+a+1,由已知可得-a2+a+1=1.又a>0,‎ 所以a=,即AB的长为.‎ ‎【答案】  角度三 两向量垂直问题 ‎ 已知向量与的夹角为120°,且||=3,||=2.若=λ+,且⊥,则实数λ的值为________.‎ ‎【解析】 因为⊥,所以·=0.‎ 又=λ+,=-,‎ 所以(λ+)·(-)=0,‎ 即(λ-1)·-λ2+2=0,‎ 所以(λ-1)||||cos 120°-9λ+4=0.‎ 所以(λ-1)×3×2×(-)-9λ+4=0.解得λ=.‎ ‎【答案】  ‎(1)求平面向量的夹角的方法 ‎①定义法:利用向量数量积的定义知,cos θ=,其中两个向量的夹角θ的范围为[0,π],求解时应求出三个量:a·b,|a|,|b|或者找出这三个量之间的关系;‎ ‎②坐标法:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则cos θ=;‎ ‎(2)求向量的模的方法 ‎①公式法:利用|a|=及(a±b)2=|a|2±2a·b+|b|2,把向量模的运算转化为数量积运算.‎ ‎②几何法:利用向量的几何意义,即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解.  ‎ ‎[通关练习]‎ ‎1.(2018·河南百校联盟联考)已知非零向量a,b满足:2a·(2a-b)=b·(b-2a),|a-b|=3|a|,则a与b的夹角为________.‎ 解析:由2a·(2a-b)=b·(b-2a)得4a2=b2,由|a-b|=3|a|得a2-2a·b+2b2=9a2,则a·b=0,即a⊥b,所以a与b的夹角为90°.‎ 答案:90°‎ ‎2.(2017·高考山东卷)已知e1,e2是互相垂直的单位向量.若e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,则实数λ的值是________‎ 解析:因为=,‎ 故=,解得λ=.‎ 答案: ‎3.(2018·东北四市高考模拟)已知向量=(3,1),=(-1,3),=m-n(m>0,n>0),若m+n=1,则||的最小值为________.‎ 解析:由=(3,1),=(-1,3)得=m-n=(3m+n,m-3n),因为m+n=1(m>0,n>0),所以n=1-m且00,反之不成立;两个向量夹角为钝角,则有a·b<0,反之也不成立.‎ ‎ 易错防范 ‎(1)a·b=0不能推出a=0或b=0,因为a·b=0时,有可能a⊥b.‎ ‎(2)a·b=a·c(a≠0)不能推出b=c,即消去律不成立.                                         ‎ ‎1.(2018·洛阳市第一次统一考试)已知平面向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a与b的夹角为,且(a+λb)⊥(2a-b),则实数λ的值为(  )‎ A.-7         B.-3‎ C.2 D.3‎ 解析:选D.依题意得a·b=2×1×cos =-1,(a+λb)·(2a-b)=0,即2a2-λb2+(2λ-1)a·b=0,-3λ+9=0,λ=3.‎ ‎2.(2018·山西四校联考)向量a,b满足|a+b|=2|a|,且(a-b)·a=0,则a,b的夹角的余弦值为(  )‎ A.0 B. C. D. 解析:选B.(a-b)·a=0⇒a2=b·a,|a+b|=2|a|⇒a2+b2+2a·b=12a2⇒b2=9a2,所以cos〈a,b〉===.故选B.‎ ‎3.(2018·洛阳市第一次统一考试)已知向量a=(1,0),|b|=,a与b的夹角为45°,若c=a+b,d=a-b,则c在d方向上的投影为(  )‎ A. B.- C.1 D.-1‎ 解析:选D.依题意得|a|=1,a·b=1××cos 45°=1,|d|===1,c ‎·d=a2-b2=-1,因此c在d方向上的投影等于=-1,选D.‎ ‎4.在△ABC中,(+)·=||2,则△ABC的形状一定是(  )‎ A.等边三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 解析:选C.由(+)·=||2,得·(+-)=0,即·(++)=0,‎ 所以2·=0,所以⊥.‎ 所以∠A=90°,又因为根据条件不能得到||=||.故选C.‎ ‎5.(2018·福建漳州八校联考)在△ABC中,|+|=|-|,||=||=3,则·的值为(  )‎ A.3 B.-3‎ C.- D. 解析:选D.由|+|=|-|两边平方可得,2+2+2·=3(2+2-2·),即2+2=4·,又||=||=3,所以·=,又因为=-,所以·=(-)·(-)=2-·=9-=,故选D.‎ ‎6.(2017·高考全国卷Ⅰ)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2 b|= ________ .‎ 解析:易知|a+2b|= ‎==2.‎ 答案:2 ‎7.(2018·江西七校联考)已知向量a=(1,),b=(3,m),且b在a上的投影为-3,则向量a与b的夹角为________.‎ 解析:因为b在a上的投影为-3,‎ 所以|b|cos〈a,b〉=-3,又|a|==2,所以a·b=|a||b|cos〈a,b〉=-6,又a·b=1×3+m,所以3+m=-6,解得m=-3,则b=(3,-3),所以|b|==6,所以cos〈a,b〉===-,因为0≤〈a,b〉≤π,所以a与b的夹角为π.‎ 答案:π ‎8.(2017·高考天津卷)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若=2,=λ-(λ∈R),且·=-4,则λ的值为________.‎ 解析:=+=+=+(-)=+.又·=3×2×=3,所以·=·(-+λ)‎ ‎=-2+·+λ2‎ ‎=-3+3+λ×4=λ-5=-4,则λ=.‎ 答案: ‎9.已知向量a=(2,-1),b=(1,x).‎ ‎(1)若a⊥(a+b),求|b|的值;‎ ‎(2)若a+2b=(4,-7),求向量a与b夹角的大小.‎ 解:(1)由题意得a+b=(3,-1+x).‎ 由a⊥(a+b),可得6+1-x=0,‎ 解得x=7,即b=(1,7),‎ 所以|b|==5.‎ ‎(2)a+2b=(4,2x-1)=(4,-7),‎ 故x=-3,‎ 所以b=(1,-3),‎ 所以cos〈a,b〉===,‎ 因为〈a,b〉∈[0,π],‎ 所以a与b夹角是.‎ ‎10.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61.‎ ‎(1)求a与b的夹角θ;‎ ‎(2)求|a+b|;‎ ‎(3)若=a,=b,求△ABC的面积.‎ 解:(1)因为(2a-3b)·(2a+b)=61,‎ 所以4|a|2-4a·b-3|b|2=61.‎ 又|a|=4,|b|=3,所以64-4a·b-27=61,‎ 所以a·b=-6.所以cos θ===-.‎ 又因为0≤θ≤π,所以θ=.‎ ‎(2)|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2‎ ‎=42+2×(-6)+32=13,所以|a+b|=.‎ ‎(3)因为与的夹角θ=,‎ 所以∠ABC=π-=.‎ 又||=|a|=4,||=|b|=3,‎ 所以S△ABC=||||sin ∠ABC=×4×3×=3.‎ ‎1.已知点G为△ABC的重心,∠A=120°,·=-2,则||的最小值是(  )‎ A. B. C. D. 解析:选C.设BC的中点为M,则=.‎ 又M为BC中点,‎ 所以=(+),‎ 所以==(+),‎ 所以||= .‎ 又因为·=-2,∠A=120°,‎ 所以||||=4.‎ 所以||= ‎≥ =,‎ 当且仅当||=||时取“=”,‎ 所以||的最小值为,故选C.‎ ‎2.(2018·广东七校联考)在等腰直角△ABC中,∠ABC=90°,AB=BC=2,M,N为AC边上的两个动点(M,N不与A,C重合),且满足||=,则·的取值范围为(  )‎ A. B. C. D. 解析:选C.不妨设点M靠近点A,点N靠近点C,以等腰直角三角形ABC的直角边所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系,如图所示,‎ 则B(0,0),A(0,2),C(2,0),线段AC的方程为x+y-2=0(0≤x≤2).设M(a,2-a),N(a+1,1-a)(由题意可知0