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- 2021-06-11 发布
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专题一 集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数
第三讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用
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对基本初等函数的考查形式主要是选择题、填空题，也有可能以解答题中某一小问的形式出现，考查其图象与性质．
2．函数零点主要考查零点所在区间、零点个数的判断以及由函数零点的个数求解参数的取值范围．
3．函数的实际应用常以实际生活为背景，与最值、不等式、导数、解析几何等知识交汇命题.
(对应学生用书P022)
1．(2016·全国卷Ⅲ)已知a＝2，b＝4，c＝25，则( )
A．bb.
∵a＝2＝(22)＝4，c＝(25)＝(52)＝5，∴a0，g(1)＝－2<0，g(2)＝ln2＋1>0，所以a，b存在且唯一，且a∈(0,1)，b∈(1,2)，从而f(1)0，g(a)<0，即g(a)<00.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．
[解析] f(x)＝当x>m时，f(x)＝x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，其顶点为(m,4m－m2)；当x≤m时，函数f(x)的图象与直线x＝m的交点为Q(m，m)．①当即03时，函数f(x)的图象如图2所示，则存在实数b满足4m－m20，b>0.
(4)loga(MN)＝logaM＋logaN，
(5)loga＝logaM－logaN，
(6)logaMn＝nlogaM，
(7)alogaN＝N，
(8)logaN＝.其中，a>0且a≠1，b>0且b≠1，M>0，N>0.
2．指数函数对数函数的图象和性质
指数函数y＝ax(a>0，a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，a≠1)的图象和性质，分01两种情况：当a>1时，两函数在定义域内都为增函数，当00，且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图象可能是图中的( )
[解析] 解法一：因为y＝ax与y＝logax互为反函数，而y＝logax与y＝loga(－x)的图象关于y轴对称，根据图象特征可知选B.
解法二：首先，曲线y＝ax只可能在x轴上方，曲线y＝loga(－x)只可能在y轴左边，从而排除A，C；其次，y＝ax与y＝loga(－x)的增减性正好相反，排除D，选B.
[答案] B
2．(2017·江西九江七校联考)幂函数f(x)＝(m2－4m＋4)xm2－6m＋8在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为( )
A．1或3 B．1 C．3 D．2
[解析] 由题意得m2－4m＋4＝1，m2－6m＋8>0，解得m＝1，选B.
[答案] B
3．(2017·全国卷Ⅰ)设x，y， 为正数，且2x＝3y＝5 ，则( )
A．2x<3y<5 B．5 <2x<3y
C．3y<5 <2x D．3y<2x<5
[解析] 设2x＝3y＝5 ＝k>1，所以x＝log2k，y＝log3k， ＝log5k.因为2x－3y＝2log2k－3log3k＝－＝＝＝>0，所以2x>3y；因为3y－5 ＝3log3k－5log5k＝－＝＝＝<0，所以3y<5 ；因为2x－5 ＝2log2k－5log5k＝－＝＝＝<0，所以5 >2x.所以5 >2x
>3y.
[答案] D
4．(2017·江西九江七校联考)若函数f(x)＝log2(x2－ax－3a)在区间(－∞，－2]上是减函数，则实数a的取值范围是________．
[解析] 由题意得x2－ax－3a>0在区间(－∞，－2]上恒成立且函数y＝x2－ax－3a在(－∞，－2]上递减，则≥－2且(－2)2－(－2)a－3a>0，解得实数a的取值范围是[－4,4)．
[答案] [－4,4)
指数、对数函数图象与性质的应用技巧
(1)利用指数函数与对数函数的性质比较大小注意两点：
①底数相同、指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较；底数相同、真数不同的对数值用对数函数的单调性进行比较．
②底数不同、指数也不同，或底数不同、真数也不同的两个数，可以引入中间量或结合图象进行比较．
(2)对于含参数的指数、对数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论，解决对数问题时，首先要考虑定义域，其次再利用性质求解．
考点二 函数的零点
1．函数的零点与方程根的关系
函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．
2．确定函数零点的常用方法
(1)解方程法；
(2)利用零点存在性定理；
(3)数形结合，利用两个函数图象的交点求解．角度1：确定函数的零点个数或其存在范围
[解析] 当x≤0时，
由f(x)＝0，即x2＋2017x－2018＝0，
得(x－1)(x＋2018)＝0，
解得x＝1(舍去)或x＝－2018；
当x>0时，设g(x)＝x－2，h(x)＝lnx，如图，分别作出两个函数的图象，由图可知，两函数图象有两个交点，所以函数f(x)在x>0时有两个零点．
综上，函数f(x)有3个零点，故选C.
[答案] C角度2：应用零点求参数的值(范围)
[解析] 在平面直角坐标系中作出函数y＝f(x)的图象，如图，而函数y＝mx－恒过定点，设过点与函数y＝lnx的图象相切的直线为l1，切点坐标为(x0，lnx0)．因为y＝lnx的导函数y′＝，所以图中y＝lnx的切线l1的斜率为k＝，则＝，解得x0＝，所以k＝.又图中l2的斜率为，故当方程f(x)＝mx－恰有四个不相等的实数根时，实数m的取值范围是.
[答案]
[探究追问] 将例1－2中“方程f(x)＝mx－恰有四个不相等的实数根”改为“方程f(x)＝m恰有三个不相等的实数根”，结果如何？
[解析] 在平面直角坐标系中作出函数y＝f(x)的图象，如图．函数y＝m恒过定点，设过点与函数y＝1－x2的图象相切的直线为l1，设切点坐标为(x0,1－x)，因为y＝1－x2(x≤1)的导函数y′＝－2x0，所以切线l1斜率k＝－2x0，则－2x0＝，解得x0＝或x0＝2(舍)．所以直线l1的斜率为－1，结合图可知，当方程f(x)＝m恰有三个不相等的实根时，实数m的取值范围是(－1,0)．
[答案] (－1,0)
利用函数零点求参数值(范围)的3种方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于系数的方程或不等式，再通过解方程或不等式确定参数的值或取值范围．
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数最值问题加以解决．
(3)数形结合法：在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．
[对点训练]
1．[角度1]函数f(x)＝＋ln的零点所在的大致区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(0,1)，(2,3)
[解析] 解法一：求函数f(x)＝＋ln的零点所在的大致区间，等价于求＋ln＝0的解所在的大致区间，等价于求＝－ln的解所在的大致区间，等价于求＝lnx的解所在的大致区间，等价于求y＝与y＝lnx的图象在(0，＋∞)上的交点的横坐标所在的大致区间(如图所示)，由图可得，选D.
解法二：由f(x)＝＋ln可得其定义域为(0,1)∪(1，＋∞)，且f(x)的单调递减区间为(0,1)，(1，＋∞)，因为f＝＋ln＝＋3＝>0, f＝＋ln＝＋1＝<0，所以函数f(x)＝＋ln在区间(0,1)内有零点．因为f(2)＝＋ln＝2－ln2>0，f(3)＝＋ln＝1－ln3<0，所以函数f(x)＝＋ln在区间(2,3)内有零点．综上所述，函数f(x)＝＋ln的零点所在的大致区间为(0,1)，(2,3)．故选D.
[答案] D
2．[角度2](2017·洛阳统考)已知函数f(x)＝|x－2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是( )
A. B.
C．(1,2) D．(2，＋∞)
[解析] f(x)＝如图，作出y＝f(x)的图象，其中A(2,1)，则kOA＝.
要使方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则函数f(x)与g(x)的图象有两个不同的交点，由图可知，4，代入B选项，得y＝x2－1≈3，代入D选项，得y＝x3>8；取x＝3，代入A选项，得y＝2x＋1－1＝15，代入B选项，得y＝x2－1＝8，代入D选项，得y＝x3＝27，故选B.
[答案] B
3．(2017·开封质检)用长度为24米的材料围成一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )
A．3米 B．4米
C．6米 D．12米
[解析] 设隔墙的长为x(0.故选B.
[答案] B
2．(2017·陕西省宝鸡市高三一检)设函数f(x)＝若函数y＝f(x)－k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是________．
[解析] ∵当x<1时，2－x>；当x≥1时，log2x≥0，依题意函数y＝f(x)的图象和直线y＝k的交点有两个，∴k>.
[答案]
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