高中数学第四章数列4-3等比数列4-3-1第2课时等比数列的性质及应用课件新人教A版选择性必修第二册 25页

第 2 课时　等比数列的性质及应用 激趣诱思 知识点拨 就任一等差数列 { a n }, 计算 a 7 +a 10 和 a 8 +a 9 , a 10 +a 40 和 a 20 +a 30 时你发现了什么规律 ? 能把你发现的规律作一般化推广吗 ? 在等比数列中有类似的结论吗 ? 激趣诱思 知识点拨 等比数列 { a n } 的常用性质 1 . 若 m+n=p+q ( m , n , p , q ∈ N * ), 则 a m · a n =a p · a q . 特例 : 若 m+n= 2 p ( m , n , p ∈ N * ), 则 a m · a n = . 2 .a n =a m · q n-m ( m , n ∈ N * ) . 3 . 在等比数列 { a n } 中 , 每隔 k 项取出一项 , 取出的项按原来顺序组成新数列 , 该数列仍然是等比数列 , 公比为 q k+ 1 . 5 .a 1 a n =a 2 a n- 1 = … =a m a n-m+ 1 . 激趣诱思 知识点拨 名师点析 等比数列 { a n } 的增减性 (1) 当 q> 1, a 1 > 0 或 0 1, a 1 < 0 或 0 0 时 ,{ a n } 是递减数列 . (3) 当 q= 1 时 ,{ a n } 是常数列 ; 当 q< 0 时 ,{ a n } 是摆动数列 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 (1) 在等比数列 { a n } 中 , a 2 a 6 a 10 = 1, 则 a 3 a 9 = 　　　　　 .   (2) 在等比数列 { a n } 中 , a 4 = 7, a 6 = 21, 则 a 12 = 　　　　　 . 故 a 12 =a 4 · q 8 = 7 × 3 4 = 567 . 答案 : (1)1 　 ( 2)567 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 等比数列性质的 应用 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 应用等比数列性质的解题策略 1 . 等比数列的性质是等比数列的定义、通项公式等基础知识的推广与变形 , 熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等比数列问题 . 2 . 应用等比数列的性质解题的关键是发现问题中涉及的数列各项的下标之间的关系 , 充分利用 ① 若 m+n=p+q ( m , n , p , q ∈ N * ), 则 a m a n =a p a q ; ② 若 m+n= 2 t ( m , n , t ∈ N * ), 则 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 1 (1) 在等比数列 { a n } 中 , a 1 , a 99 是方程 x 2 - 10 x+ 16 = 0 的两个根 , 则 a 50 的值为 ( 　　 ) A.10 B.16 C . ± 4 D.4 (2) 在等比数列 { a n } 中 , a 1 a 2 = 1, a 5 a 6 = 9, 则 a 3 a 4 = ( 　　 ) (2) 在等比数列 { a n } 中 , a 1 a 2 = 1, a 5 a 6 = 9, 所以 a 1 a 2 a 5 a 6 = 9 . 又 a 3 a 4 =a 1 a 6 =a 2 a 5 , 所以 ( a 3 a 4 ) 2 = 9 . 又 a 3 a 4 与 a 1 a 2 的符号相同 , 故 a 3 a 4 = 3 . 答案 : (1)C 　 ( 2)A 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 等比数列的综合问题 例 2 有四个数 , 其中前三个数成等差数列 , 后三个数成等比数列 , 并且第一个数和第四个数的和是 16, 中间两个数的和是 12 . 求这四个数 . 分析 : 根据条件 , 用两个未知数表示这四个数 . 所以 , 当 a= 4, d= 4 时 , 所求四个数为 0,4,8,16; 当 a= 9, d=- 6 时 , 所求四个数为 15,9,3,1 . 故所求四个数为 0,4,8,16 或 15,9,3,1 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 等比数列的项的巧妙 设法 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 将本例中的条件改为 “ 有四个实数 , 前三个数依次成等比数列 , 它们的积是 - 8, 后三个数依次成等差数列 , 它们的积为 - 80”, 再求这四个数 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 等比数列的实际应用 例 3 为了治理 “ 沙尘暴 ”, 西部某地区政府经过多年努力 , 到 2016 年底 , 将当地沙漠绿化了 40% . 从 2017 年开始 , 每年将出现这种现象 : 原有沙漠面积的 12% 被绿化 , 即改造为绿洲 ( 被绿化的部分叫绿洲 ), 同时原有绿洲面积的 8% 又被侵蚀为沙漠 . 问至少经过几年的绿化 , 才能使该地区的绿洲面积超过 50%?( 可参考数据 lg 2≈0 . 3, 最后结果精确到整数 ) 分析 : 依题意 , 每年的沙漠面积与绿洲面积之和是确定的 , 另外需根据题意建立前后两年绿洲面积之间的关系 , 由此构造等比数列解决问题 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : 设该地区总面积为 1,2016 年底绿洲面积为 a 1 = 40 % = , 经过 n 年后绿洲面积为 a n+ 1 , 设 2016 年底沙漠面积为 b 1 , 经过 n 年后沙漠面积为 b n+ 1 , 则 a 1 +b 1 = 1, a n +b n = 1 . 依题意 , a n+ 1 由两部分组成 : 一部分是原有绿洲面积 a n 减去被侵蚀的部分 8%· a n 的剩余面积 92%· a n , 另一部分是新绿化的 12%· b n , 所以 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 等比数列实际应用的求解策略 1 . 一般地 , 产值增长率问题、银行利息问题、细胞繁殖等实际问题 , 往往与等比数列有关 , 可建立等比数列模型进行求解 . 2 . 建立等比数列模型进行运算时 , 往往涉及指数、对数方程或不等式的问题 , 要注意运算的正确性 , 还要善于进行估算 , 对于近似计算问题 , 答案要符合实际问题的需要 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2 一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存 2 KB, 然后每 3 分钟自身复制一次 , 复制后所占内存是原来的 2 倍 , 那么开机后 　　　　 分钟 , 该病毒占据内存 64 MB(1 MB = 2 10 KB) .   解析 : 由题意 , 得每 3 分钟病毒占的内存容量构成一个等比数列 , 设病毒占据 64 MB 时自身复制了 n 次 , 即 2 × 2 n = 64 × 2 10 = 2 16 , 解得 n= 15, 从而复制的时间为 15 × 3 = 45( 分钟 ) . 答案 : 45 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 等比数列性质的活用 典例 在等比数列 { a n } 中 , a 2 = 2, a 6 = 162 . 试求 a 10 . 分析 : 利用等比数列的通项公式或项的性质求解 . 解法一 : 设等比数列 { a n } 的公比为 q. 由 a n =a m · q n-m , ∴ a 6 =a 2 · q 4 , 即 162 = 2· q 4 , 得 q 4 = 81, ∴ a 10 =a 6 · q 4 = 162 × 81 = 13 122 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 方法点睛 本题三种解法均使用了等比数列的性质 , 其中解法一使用了公式 a n =a m ·q n-m 求出 q ; 解法二使用了等比数列中 a 2 , a 6 , a 10 成等比数列 , 即 = a 2 ·a 10 ; 解法二与解法三使用的性质相同 , 但解法不同 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1 . 对任意等比数列 { a n }, 下列说法一定正确的是 ( 　　 ) A. a 1 , a 3 , a 9 成等比数列 B. a 2 , a 3 , a 6 成等比数列 C. a 2 , a 4 , a 8 成等比数列 D. a 3 , a 6 , a 9 成等比数列 解析 : 根据等比数列的性质 , 若 m+n= 2 k ( m , n , k ∈ N * ), 则 a m , a k , a n 成等比数列 . 即 a 3 , a 6 , a 9 成等比数列 . 故选 D . 答案 : D 2 . 在等比数列 { a n } 中 , 若 a 2 = 8, a 5 = 64, 则公比 q 为 ( 　　 ) A.2 B.3 C.4 D.8 解析 : 由 a 5 =a 2 q 3 , 得 q 3 = 8, 所以 q= 2 . 答案 : A 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3 . 一张报纸的厚度为 a , 面积为 b , 现将此报纸对折 ( 沿对边中点连线折叠 )7 次 , 这时报纸的厚度和面积分别为 ( 　　 ) 答案 : C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4 . 在等比数列 { a n } 中 , a 1 +a 2 = 30, a 3 +a 4 = 120, 则 a 5 +a 6 = 　　　　　 .   解析 : 根据等比数列的性质可知 a 1 +a 2 , a 3 +a 4 , a 5 +a 6 也成等比数列 , 即 ( a 3 +a 4 ) 2 = ( a 1 +a 2 )( a 5 +a 6 ), 答案 : 480 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5 . 已知数列 { a n } 为等比数列 . (1) 若 a 1 +a 2 +a 3 = 21, a 1 a 2 a 3 = 216, 求 a n ; (2) 若 a 3 a 5 = 18, a 4 a 8 = 72, 求公比 q. 又 a 1 +a 3 = 21 -a 2 = 15, ∴ a 1 , a 3 是方程 x 2 - 15 x+ 36 = 0 的两根 3 和 12 .