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- 2021-06-11 发布
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第1讲 随机事件的概率
一、知识梳理
1.事件的分类
确定事件
必然事件
在条件S下,一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件
不可能事件
在条件S下,一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件
随机事件
在条件S下,可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件
2.概率与频率
(1)在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例LLLn(A)=为事件A出现的频率.
(2)对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).
3.事件的关系与运算
定义
符号表示
包含关系
如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)
B⊇A(或A⊆B)
相等关系
若B⊇A且A⊇B,那么称事件A与事件B相等
A=B
并事件
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,
A∪B(或A+B)
(和事件)
则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)
交事件
(积事件)
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)
A∩B(或AB)
互斥事件
若A∩B为不可能事件,那么称事件A与事件B互斥
A∩B=∅
对立事件
若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件
A∩B=∅
且A∪B=Ω
常用结论
概率的几个基本性质
(1)概率的取值范围:0≤P(A)≤1.
(2)必然事件的概率:P(A)=1.
(3)不可能事件的概率:P(A)=0.
(4)概率的加法公式
如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B).
(5)对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件,则A∪B为必然事件.P(A∪B)=1,P(A)=1-P(B).
二、教材衍化
1.袋中装有3个白球,4个黑球,从中任取3个球,则
①恰有1个白球和全是白球;
②至少有1个白球和全是黑球;
③至少有1个白球和至少有2个白球;
④至少有1个白球和至少有1个黑球.
在上述事件中,是互斥事件但不是对立事件的为 .
答案:①
2.容量为20的样本数据,分组后的频数如下表:
分组
[10,20)
[20,30)
[30,40)
[40,50)
[50,60)
[60,70)
频数
2
3
4
5
4
2
则样本数据落在区间[10,40)的频率为 .
答案:0.45
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)事件发生的频率与概率是相同的.( )
(2)随机事件和随机试验是一回事.( )
(3)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值.( )
(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生.( )
(5)对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件.( )
(6)两互斥事件的概率和为1.( )
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)×
二、易错纠偏
(1)混淆对立事件和互斥事件的概念而判断错误;
(2)频率与概率的关系理解不清致错.
1.李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学,下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布:
成绩
人数
90分以上
42
80~89分
172
70~79分
240
60~69分
86
50~59分
52
50分以下
8
经济学院一年级的学生王小明下学期将选修李老师的高等数学课,用已有的信息估计他得以下分数的概率:
(1)90分以上的概率: ;
(2)不及格(60分及以上为及格)的概率: .
解析:(1)=0.07;
(2)=0.1.
答案:(1)0.07 (2)0.1
2.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的不是一等品”的概率为 .
解析:因为“抽到的不是一等品”的对立事件是“抽到的是一等品”,且P(A)=0.65,所以“抽到的不是一等品”的概率为P=1-P(A)=1-0.65=0.35.
答案:0.35
随机事件的关系(师生共研)
从1,2,3,…,7这7个数中任取两个数,其中:
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;
②至少有一个是奇数和两个都是奇数;
③至少有一个是奇数和两个都是偶数;
④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.
上述事件中,是对立事件的是( )
A.① B.②④
C.③ D.①③
【解析】 ③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”,而从1~7中任取两个数,根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件:“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”,故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件,易知其余都不是对立事件.
【答案】 C
判断互斥、对立事件的2种方法
(1)定义法
判断互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事件,若有且仅有一个发生,则这两事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件.
(2)集合法
①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则事件互斥;
②事件A的对立事件A所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.
1.设条件甲:“事件A与事件B是对立事件”,条件乙:“概率满足P(A)+P(B)=1”,则甲是乙的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:选A.若事件A与事件B是对立事件,则A∪B为必然事件,再由概率的加法公式得P(A)+P(B)=1.设掷一枚硬币3次, 事件A:“至少出现一次正面”,事件B:“3次都出现正面”,则P(A)=,P(B)=,满足P(A)+P(B)=1,但A,B不是对立事件.
2.一袋中装有5个大小形状完全相同的小球,其中红球3个,白球2个,从中任取2个小球,若事件“2个小球全是红球”的概率为,则概率为的事件是( )
A.恰有一个红球 B.两个小球都是白球
C.至多有一个红球 D.至少有一个红球
解析:选C.因为=1-,所以概率为的事件是“2个小球全是红球”的对立事件,应为:“一个红球一个白球”与“两个都是白球”的和事件,即为“至多有一个红球”.
随机事件的频率与概率(师生共研)
某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如表所示:
X
1
2
3
4
Y
51
48
45
42
这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.
(1)完成下表,并求所种作物的平均年均收获量;
Y
51
48
45
42
频数
4
(2)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为48 kg的概率.
【解】 (1)所种作物的总株数为1+2+3+4+5=15,其中“相近”作物株数为1的作物有2株,“相近”作物株数为2的作物有4株,“相近”作物株数为3的作物有6株,“相近”作物株数为4的作物有3株,列表如下:
Y
51
48
45
42
频数
2
4
6
3
所种作物的平均年收获量为
==46.
(2)由(1)知,P(Y=51)=,P(Y=48)=.
故在所种作物中随机选取一株,它的年收获量至少为48 kg的概率为
P(Y≥48)=P(Y=51)+P(Y=48)=+=.
某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量Y(单位:万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位:毫米)有关.据统计,当X=70时,Y=460;X每增加10,Y增加5.已知近20年X的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.
(1)完成频率分布表;
近20年六月份降雨量频率分布表
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同,并将频率视为概率,求今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率.
解:(1)在所给数据中,降雨量为110毫米的有3个,为160毫米的有7个,为200毫米的有3个.故近20年六月份降雨量频率分布表为
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
(2)由已知可得Y=+425,
故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)
=P(Y<490或Y>530)=P(X<130或X>210)
=P(X=70)+P(X=110)+P(X=220)
=++=.故今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率为.
互斥事件、对立事件的概率(师生共研)
某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得,1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.记1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求:
(1)1张奖券的中奖概率;
(2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.
【解】 (1)设“1张奖券中奖”为事件M,则M=A∪B∪C,依题意,P(A)=,P(B)==,P(C)==,因为A,B,C两两互斥,
所以P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)
==,
故1张奖券的中奖概率为.
(2)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N与“
1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,所以P(N)=1-P(A∪B)
=1-=.
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
求复杂互斥事件的概率的两种方法
(1)直接法
(2)间接法(正难则反,特别是“至多”“至少”型题目,用间接法求解简单)
1.某人去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.则他乘火车或乘飞机去的概率为 .
解析:设此人乘火车、轮船、汽车、飞机去开会分别用事件A,B,C,D表示,则事件A,B,C,D是互斥事件,P(A∪D)=P(A)+P(D)=0.3+0.4=0.7,所以他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.
答案:0.7
2.(一题多解)经统计,在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下:
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
求:(1)至多2人排队等候的概率;
(2)至少3人排队等候的概率.
解:记“无人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”
为事件F,则事件A、B、C、D、E、F彼此互斥.
(1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=A+B+C,所以P(G)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.
(2)法一:记“至少3人排队等候”为事件H,则H=D+E+F,所以P(H)=P(D+E+F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.
法二:记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.
[基础题组练]
1.(2018·高考全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为( )
A.0.3 B.0.4
C.0.6 D.0.7
解析:选B.设“只用现金支付”为事件A,“既用现金支付也用非现金支付”为事件B,“不用现金支付”为事件C,则P(C)=1-P(A)-P(B)=1-0.45-0.15=0.4.故选B.
2.(2020·福建五校第二次联考)下列说法正确的是( )
A.事件A,B中至少有一个发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率大
B.事件A,B同时发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率小
C.互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件
D.互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件
解析:选D.对于选项A,“事件A,B中至少有一个发生”包括“事件A发生B不发生”“A不发生B发生”和“A,B都发生”,“事件A,B中恰有一个发生”包括“事件A发生B不发生”和“A不发生B发生”,当事件A,B为对立事件时,“事件A,B中至少有一个发生”的概率与“事件A,B中恰有一个发生”的概率相等,故错误;对于选项B,“事件A,B同时发生”与“事件A,B中恰有一个发生”是互斥事件,不能确定概率的大小,故错误;因为对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件,所以选项C错误,选项D正确.故选D.
3.设A与B是互斥事件,A,B的对立事件分别记为A,B,则下列说法正确的是( )
A.与互斥 B.与互斥
C.P(A+B)=P(A)+P(B) D.P(+)=1
解析:选C.根据互斥事件的定义可知,A与,与都有可能同时发生,所以A与互斥,与互斥是不正确的;P(A+B)=P(A)+P(B)正确;与既不一定互斥,也不一定对立,所以D错误.
4.掷一个骰子的试验,事件A表示“出现小于5的偶数点”,事件B表示“出现小于5的点数”,若表示B的对立事件,则一次试验中,事件A∪发生的概率为( )
A. B.
C. D.
解析:选C.掷一个骰子的试验有6种可能结果.
依题意P(A)==,P(B)==,
所以P()=1-P(B)=1-=.
因为表示“出现5点或6点”的事件,
因此事件A与互斥,
从而P(A∪)=P(A)+P()=+=.
5.某城市2019年的空气质量状况如表所示:
污染指数T
30
60
100
110
130
140
概率p
其中污染指数T≤50时,空气质量为优;500.8,
所以若要求“维修次数不大于n”的频率不小于0.8,则n的最小值为11.
(3)若每台都购买10次维修服务,则有下表:
维修次数x
8
9
10
11
12
频率
0.1
0.2
0.3
0.3
0.1
费用y
2 400
2 450
2 500
3 000
3 500
此时这100台机器在维修上所需费用的平均数为
y1=2 400×0.1+2 450×0.2+2 500×0.3+3 000×0.3+3 500×0.1=2 730(元);
若每台都购买11次维修服务,则有下表:
维修次数x
8
9
10
11
12
频率
0.1
0.2
0.3
0.3
0.1
费用y
2 600
2 650
2 700
2 750
3 250
此时这100台机器在维修上所需费用的平均数为
y2=2 600×0.1+2 650×0.2+2 700×0.3+2 750×0.3+3 250×0.1=2 750(元),
因为y1