• 987.00 KB
  • 2021-06-11 发布

【数学】2021届一轮复习北师大版(文)第十章 第1讲 随机事件的概率学案

  • 14页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
第1讲 随机事件的概率 一、知识梳理 ‎1.事件的分类 确定事件 必然事件 在条件S下,一定会发生的事件叫做相对于条件S的必然事件 不可能事件 在条件S下,一定不会发生的事件叫做相对于条件S的不可能事件 随机事件 在条件S下,可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件 ‎2.概率与频率 ‎(1)在相同的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例LLLn(A)=为事件A出现的频率.‎ ‎(2)对于给定的随机事件A,由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A),因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A).‎ ‎3.事件的关系与运算 定义 符号表示 包含关系 如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)‎ B⊇A(或A⊆B)‎ 相等关系 若B⊇A且A⊇B,那么称事件A与事件B相等 A=B 并事件 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生,‎ A∪B(或A+B)‎ ‎(和事件)‎ 则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)‎ 交事件 ‎(积事件)‎ 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)‎ A∩B(或AB)‎ 互斥事件 若A∩B为不可能事件,那么称事件A与事件B互斥 A∩B=∅‎ 对立事件 若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B=∅‎ 且A∪B=Ω 常用结论 概率的几个基本性质 ‎(1)概率的取值范围:0≤P(A)≤1.‎ ‎(2)必然事件的概率:P(A)=1.‎ ‎(3)不可能事件的概率:P(A)=0.‎ ‎(4)概率的加法公式 如果事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B).‎ ‎(5)对立事件的概率 若事件A与事件B互为对立事件,则A∪B为必然事件.P(A∪B)=1,P(A)=1-P(B).‎ 二、教材衍化 ‎ ‎1.袋中装有3个白球,4个黑球,从中任取3个球,则 ‎①恰有1个白球和全是白球;‎ ‎②至少有1个白球和全是黑球;‎ ‎③至少有1个白球和至少有2个白球;‎ ‎④至少有1个白球和至少有1个黑球.‎ 在上述事件中,是互斥事件但不是对立事件的为 .‎ 答案:①‎ ‎2.容量为20的样本数据,分组后的频数如下表:‎ 分组 ‎[10,20)‎ ‎[20,30)‎ ‎[30,40)‎ ‎[40,50)‎ ‎[50,60)‎ ‎[60,70)‎ 频数 ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎4‎ ‎2‎ 则样本数据落在区间[10,40)的频率为 .‎ 答案:0.45‎ 一、思考辨析 判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)‎ ‎(1)事件发生的频率与概率是相同的.(  )‎ ‎(2)随机事件和随机试验是一回事.(  )‎ ‎(3)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值.(  )‎ ‎(4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生.(  )‎ ‎(5)对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件.(  )‎ ‎(6)两互斥事件的概率和为1.(  )‎ 答案:(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)√ (6)×‎ 二、易错纠偏 (1)混淆对立事件和互斥事件的概念而判断错误;‎ ‎(2)频率与概率的关系理解不清致错.‎ ‎1.李老师在某大学连续3年主讲经济学院的高等数学,下表是李老师这门课3年来的考试成绩分布:‎ 成绩 人数 ‎90分以上 ‎42‎ ‎80~89分 ‎172‎ ‎70~79分 ‎240‎ ‎60~69分 ‎86‎ ‎50~59分 ‎52‎ ‎50分以下 ‎8‎ 经济学院一年级的学生王小明下学期将选修李老师的高等数学课,用已有的信息估计他得以下分数的概率:‎ ‎(1)90分以上的概率: ;‎ ‎(2)不及格(60分及以上为及格)的概率: .‎ 解析:(1)=0.07;‎ ‎(2)=0.1.‎ 答案:(1)0.07 (2)0.1‎ ‎2.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1,则事件“抽到的不是一等品”的概率为 .‎ 解析:因为“抽到的不是一等品”的对立事件是“抽到的是一等品”,且P(A)=0.65,所以“抽到的不是一等品”的概率为P=1-P(A)=1-0.65=0.35.‎ 答案:0.35‎ ‎      随机事件的关系(师生共研)‎ ‎ 从1,2,3,…,7这7个数中任取两个数,其中:‎ ‎①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数;‎ ‎②至少有一个是奇数和两个都是奇数;‎ ‎③至少有一个是奇数和两个都是偶数;‎ ‎④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.‎ 上述事件中,是对立事件的是(  )‎ A.① B.②④ ‎ C.③ D.①③‎ ‎【解析】 ③中“至少有一个是奇数”即“两个奇数或一奇一偶”,而从1~7中任取两个数,根据取到数的奇偶性可认为共有三个事件:“两个都是奇数”“一奇一偶”“两个都是偶数”,故“至少有一个是奇数”与“两个都是偶数”是对立事件,易知其余都不是对立事件.‎ ‎【答案】 C 判断互斥、对立事件的2种方法 ‎(1)定义法 判断互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事件,若有且仅有一个发生,则这两事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件.‎ ‎(2)集合法 ‎①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则事件互斥;‎ ‎②事件A的对立事件A所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.‎ ‎1.设条件甲:“事件A与事件B是对立事件”,条件乙:“概率满足P(A)+P(B)=1”,则甲是乙的(  )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选A.若事件A与事件B是对立事件,则A∪B为必然事件,再由概率的加法公式得P(A)+P(B)=1.设掷一枚硬币3次, 事件A:“至少出现一次正面”,事件B:“3次都出现正面”,则P(A)=,P(B)=,满足P(A)+P(B)=1,但A,B不是对立事件.‎ ‎2.一袋中装有5个大小形状完全相同的小球,其中红球3个,白球2个,从中任取2个小球,若事件“2个小球全是红球”的概率为,则概率为的事件是(  )‎ A.恰有一个红球      B.两个小球都是白球 C.至多有一个红球 D.至少有一个红球 解析:选C.因为=1-,所以概率为的事件是“2个小球全是红球”的对立事件,应为:“一个红球一个白球”与“两个都是白球”的和事件,即为“至多有一个红球”.‎ ‎      随机事件的频率与概率(师生共研)‎ ‎ 某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如表所示:‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ Y ‎51‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎42‎ 这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.‎ ‎(1)完成下表,并求所种作物的平均年均收获量;‎ Y ‎51‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎42‎ 频数 ‎4‎ ‎(2)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为48 kg的概率.‎ ‎【解】 (1)所种作物的总株数为1+2+3+4+5=15,其中“相近”作物株数为1的作物有2株,“相近”作物株数为2的作物有4株,“相近”作物株数为3的作物有6株,“相近”作物株数为4的作物有3株,列表如下:‎ Y ‎51‎ ‎48‎ ‎45‎ ‎42‎ 频数 ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎3‎ 所种作物的平均年收获量为 ==46.‎ ‎(2)由(1)知,P(Y=51)=,P(Y=48)=.‎ 故在所种作物中随机选取一株,它的年收获量至少为48 kg的概率为 P(Y≥48)=P(Y=51)+P(Y=48)=+=.‎ ‎ ‎ ‎ 某河流上的一座水力发电站,每年六月份的发电量Y(单位:万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位:毫米)有关.据统计,当X=70时,Y=460;X每增加10,Y增加5.已知近20年X的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.‎ ‎(1)完成频率分布表;‎ 近20年六月份降雨量频率分布表 降雨量 ‎70‎ ‎110‎ ‎140‎ ‎160‎ ‎200‎ ‎220‎ 频率 ‎(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同,并将频率视为概率,求今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率.‎ 解:(1)在所给数据中,降雨量为110毫米的有3个,为160毫米的有7个,为200毫米的有3个.故近20年六月份降雨量频率分布表为 降雨量 ‎70‎ ‎110‎ ‎140‎ ‎160‎ ‎200‎ ‎220‎ 频率 ‎(2)由已知可得Y=+425,‎ 故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)‎ ‎=P(Y<490或Y>530)=P(X<130或X>210)‎ ‎=P(X=70)+P(X=110)+P(X=220)‎ ‎=++=.故今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率为.‎ ‎      互斥事件、对立事件的概率(师生共研)‎ ‎ 某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得,1 000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.记1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求:‎ ‎(1)1张奖券的中奖概率;‎ ‎(2)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.‎ ‎【解】 (1)设“1张奖券中奖”为事件M,则M=A∪B∪C,依题意,P(A)=,P(B)==,P(C)==,因为A,B,C两两互斥,‎ 所以P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)‎ ‎==,‎ 故1张奖券的中奖概率为.‎ ‎(2)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N与“‎ ‎1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,所以P(N)=1-P(A∪B)‎ ‎=1-=.‎ 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.‎ 求复杂互斥事件的概率的两种方法 ‎(1)直接法 ‎(2)间接法(正难则反,特别是“至多”“至少”型题目,用间接法求解简单)‎ ‎1.某人去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.则他乘火车或乘飞机去的概率为 .‎ 解析:设此人乘火车、轮船、汽车、飞机去开会分别用事件A,B,C,D表示,则事件A,B,C,D是互斥事件,P(A∪D)=P(A)+P(D)=0.3+0.4=0.7,所以他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.‎ 答案:0.7‎ ‎2.(一题多解)经统计,在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下:‎ 排队人数 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5人及5人以上 概率 ‎0.1‎ ‎0.16‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎0.04‎ 求:(1)至多2人排队等候的概率;‎ ‎(2)至少3人排队等候的概率.‎ 解:记“无人排队等候”为事件A,“1人排队等候”为事件B,“2人排队等候”为事件C,“3人排队等候”为事件D,“4人排队等候”为事件E,“5人及5人以上排队等候”‎ 为事件F,则事件A、B、C、D、E、F彼此互斥.‎ ‎(1)记“至多2人排队等候”为事件G,则G=A+B+C,所以P(G)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.‎ ‎(2)法一:记“至少3人排队等候”为事件H,则H=D+E+F,所以P(H)=P(D+E+F)=P(D)+P(E)+P(F)=0.3+0.1+0.04=0.44.‎ 法二:记“至少3人排队等候”为事件H,则其对立事件为事件G,所以P(H)=1-P(G)=0.44.‎ ‎[基础题组练]‎ ‎1.(2018·高考全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为(  )‎ A.0.3 B.0.4 ‎ C.0.6 D.0.7‎ 解析:选B.设“只用现金支付”为事件A,“既用现金支付也用非现金支付”为事件B,“不用现金支付”为事件C,则P(C)=1-P(A)-P(B)=1-0.45-0.15=0.4.故选B.‎ ‎2.(2020·福建五校第二次联考)下列说法正确的是(  )‎ A.事件A,B中至少有一个发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率大 B.事件A,B同时发生的概率一定比A,B中恰有一个发生的概率小 C.互斥事件一定是对立事件,对立事件不一定是互斥事件 D.互斥事件不一定是对立事件,对立事件一定是互斥事件 解析:选D.对于选项A,“事件A,B中至少有一个发生”包括“事件A发生B不发生”“A不发生B发生”和“A,B都发生”,“事件A,B中恰有一个发生”包括“事件A发生B不发生”和“A不发生B发生”,当事件A,B为对立事件时,“事件A,B中至少有一个发生”的概率与“事件A,B中恰有一个发生”的概率相等,故错误;对于选项B,“事件A,B同时发生”与“事件A,B中恰有一个发生”是互斥事件,不能确定概率的大小,故错误;因为对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件,所以选项C错误,选项D正确.故选D.‎ ‎3.设A与B是互斥事件,A,B的对立事件分别记为A,B,则下列说法正确的是(  )‎ A.与互斥 B.与互斥 C.P(A+B)=P(A)+P(B) D.P(+)=1‎ 解析:选C.根据互斥事件的定义可知,A与,与都有可能同时发生,所以A与互斥,与互斥是不正确的;P(A+B)=P(A)+P(B)正确;与既不一定互斥,也不一定对立,所以D错误.‎ ‎4.掷一个骰子的试验,事件A表示“出现小于5的偶数点”,事件B表示“出现小于5的点数”,若表示B的对立事件,则一次试验中,事件A∪发生的概率为(  )‎ A. B. ‎ C. D. 解析:选C.掷一个骰子的试验有6种可能结果.‎ 依题意P(A)==,P(B)==,‎ 所以P()=1-P(B)=1-=.‎ 因为表示“出现5点或6点”的事件,‎ 因此事件A与互斥,‎ 从而P(A∪)=P(A)+P()=+=.‎ ‎5.某城市2019年的空气质量状况如表所示:‎ 污染指数T ‎30‎ ‎60‎ ‎100‎ ‎110‎ ‎130‎ ‎140‎ 概率p 其中污染指数T≤50时,空气质量为优;500.8,‎ 所以若要求“维修次数不大于n”的频率不小于0.8,则n的最小值为11.‎ ‎(3)若每台都购买10次维修服务,则有下表:‎ 维修次数x ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 频率 ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ 费用y ‎2 400‎ ‎2 450‎ ‎2 500‎ ‎3 000‎ ‎3 500‎ 此时这100台机器在维修上所需费用的平均数为 y1=2 400×0.1+2 450×0.2+2 500×0.3+3 000×0.3+3 500×0.1=2 730(元);‎ 若每台都购买11次维修服务,则有下表:‎ 维修次数x ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 频率 ‎0.1‎ ‎0.2‎ ‎0.3‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ 费用y ‎2 600‎ ‎2 650‎ ‎2 700‎ ‎2 750‎ ‎3 250‎ 此时这100台机器在维修上所需费用的平均数为 y2=2 600×0.1+2 650×0.2+2 700×0.3+2 750×0.3+3 250×0.1=2 750(元),‎ 因为y1