2020-2021学年数学新教材人教A版选择性必修第一册教案：第3章 3 11页

www.ks5u.com ‎3.3　抛物线 ‎3.3.1　‎抛物线及其标准方程 学 习 目 标 核 心 素 养 ‎1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(重点)‎ ‎2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程．(易错点)‎ ‎3.明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．(难点)‎ ‎1.通过抛物线定义的学习，培养数学抽象核心素养.‎ ‎2.通过抛物线定义及标准方程的应用，培养学生的直观想象、数学建模等核心素养.‎ 我们已经学习了圆、椭圆、双曲线三种圆锥曲线，今天我们来学习第四种圆锥曲线——抛物线． ‎ 在物理上，抛物线被认为是抛射物体的运行轨道；在数学中，抛物线是二次函数的图象．‎ 现在来作一个实验．‎ 如图，把一根直尺固定在画图板内，直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘，把一根绳子的一端固定于三角板另一条直角边上点A，截取绳子的长等于A到l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支铅笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直角尺左右滑动，这样铅笔就画出了一条曲线，这条曲线就叫做抛物线．‎ ‎1．抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．‎ 思考：抛物线的定义中，若点F在直线l上，那么点的轨迹是什么？‎ ‎[提示]　点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．‎ ‎2．抛物线的标准方程 图形 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2＝2px(p>0)‎ F x＝－ y2＝－2px(p>0)‎ F x＝ x2＝2py(p>0)‎ F y＝－ x2＝－2py(p>0)‎ F y＝ ‎1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹一定是抛物线． (　　)‎ ‎(2)y＝4x2的焦点坐标为(1,0)． (　　)‎ ‎(3)以(0,1)为焦点的抛物线的标准方程为x2＝4y． (　　)‎ ‎[提示]　(1)×　(2)×　(3)√‎ ‎2．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是(　　)‎ A．1　　　　B．2　　　　C．4　　　　D．8‎ C　[由y2＝8x得p＝4，即焦点到准线的距离为4.]‎ ‎3．抛物线x＝4y2的准线方程是(　　)‎ A．y＝ B．y＝－1‎ C．x＝－ D．x＝ C　[由x＝4y2得y2＝x，故准线方程为x＝－.]‎ ‎4．抛物线y＝4ax2(a∈R且a≠0)的焦点坐标为________．‎ 　[把方程化为标准形式为x2＝y，所以焦点在y轴上，坐标为.]‎ 求抛物线的标准方程 ‎【例1】　分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．‎ ‎(1)准线方程为2y＋4＝0；‎ ‎(2)过点(3，－4)；‎ ‎(3)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．‎ ‎[思路探究]　→→ ‎→.‎ ‎[解]　(1)准线方程为2y＋4＝0，即y＝－2，故抛物线焦点在y轴的正半轴上，设其方程为x2＝2py(p＞0)．又＝2，∴2p＝8，故所求抛物线的标准方程为x2＝8y.‎ ‎(2)∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，‎ 设抛物线的标准方程为y2＝2px(p＞0)或x2＝－2p1y(p1＞0)．‎ 把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，即2p＝，2p1＝.‎ ‎∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.‎ ‎(3)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.‎ ‎∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．‎ ‎∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.‎ ‎1．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 ‎2．求抛物线的标准方程时需注意的三个问题 ‎(1)把握开口方向与方程一次项系数的对应关系；‎ ‎(2)当抛物线的位置没有确定时，可设方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，这样可以减少讨论不同情况的次数；‎ ‎(3)注意p与的几何意义．‎ ‎[跟进训练]‎ ‎1．根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：‎ ‎(1)准线方程为y＝；‎ ‎(2)焦点在y轴上，焦点到准线的距离为5；‎ ‎(3)经过点(－3，－1)；‎ ‎(4)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．‎ ‎[解]　(1)因为抛物线的准线交y轴于正半轴，且＝，则p＝，所以所求抛物线的标准方程为x2＝－y.‎ ‎(2)已知抛物线的焦点在y轴上，可设方程为x2＝2my(m≠0)，由焦点到准线的距离为5，知|m|＝5，m＝±5，所以满足条件的抛物线有两条，它们的标准方程分别为x2＝10y和x2＝－10y.‎ ‎(3)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．‎ 若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝；‎ 若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝‎ .‎ ‎∴所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－9y.‎ ‎(4)对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，‎ ‎∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．‎ 当焦点为(0，－3)时，＝3，∴p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；‎ 当焦点为(4,0)时，＝4，∴p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x.‎ ‎∴所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.‎ 抛物线定义的应用 ‎[探究问题]‎ ‎1．如何看待抛物线的定义？‎ ‎[提示]　抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点，设为M；一个定点F叫做抛物线的焦点；一条定直线l叫做抛物线的准线；一个定值，即点M到点F的距离和它到直线l的距离之比等于1.‎ ‎2．如何看待抛物线中焦点和准线的位置？‎ ‎[提示]　焦点在抛物线开口方向的内部，而准线在外部，即“怀抱焦点，背着准线”．‎ ‎3．抛物线方程中参数p的几何意义是什么？‎ ‎[提示]　抛物线的标准方程中参数p的几何意义是：抛物线的焦点到准线的距离(即焦准距)，所以p的值永远大于0.当抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现p＜0的错误．‎ ‎【例2】　(1)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝(　　)‎ A．1　　　　B．2　　　　C．4　　　　D．8‎ ‎(2)若位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大.求点M的轨迹方程．‎ ‎[思路探究]　(1)利用抛物线的定义知，|AF|＝，建立方程求解．‎ ‎(2)直线y轴与直线x＝－间距离为，利用点M到F的距离比到y轴的距离大，可以知道：动点M到F的距离与到直线x＝－的距离相等，利用定义求解．‎ ‎(1)A　[由题意知抛物线的准线为x＝－.因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1，故选A.]‎ ‎(2)[解]　由于位于y轴右侧的动点M到F的距离比它到y轴的距离大，‎ 所以动点M到F的距离与它到直线l：x＝－的距离相等．‎ 由抛物线的定义知动点M的轨迹是以F为焦点，l为准线的抛物线(不包含原点)，‎ 其方程应为y2＝2px(p＞0)的形式，‎ 而＝，所以p＝1,2p＝2，‎ 故点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)．‎ ‎1．[变结论]若本例(2)中点M所在轨迹上一点N到点F的距离为2，求点N的坐标．‎ ‎[解]　设点N的坐标为(x0，y0)，则|NF|＝2.又点M的轨迹方程为y2＝2x(x≠0)，所以由抛物线的定义得x0＋＝2，解得x0＝.因为y＝2x0，所以y0＝±，故点N的坐标为或.‎ ‎2．[变结论]若本例(2)中增加一点A(3,2)，其他条件不变，求|MA|＋|MF|的最小值，并求出点M的坐标．‎ ‎[解]　如图，由于点M在抛物线上，所以|MF|等于点M到其准线l 的距离|MN|，于是|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MN|≥|AN|＝3＋＝.当A，M，N三点共线时，|MA|＋|MN|取最小值，亦即|MA|＋|MF|取最小值，这时M的纵坐标为2.可设M(x0,2)，代入抛物线方程得x0＝2，即M(2,2)．‎ 抛物线定义的两种应用 ‎(1)实现距离转化．根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化，从而简化某些问题．‎ ‎(2)解决最值问题．在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题．‎ 抛物线的实际应用 ‎[探究问题]‎ 已知抛物线，如何建系，才能使抛物线方程为标准方程？‎ ‎[提示]　以抛物线的顶点为坐标原点，以抛物线的对称轴为坐标轴建系．‎ ‎【例3】　河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？‎ ‎[思路探究]　→→→→ ‎[解]　如图，建立坐标系，设拱桥抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，由题意，将B(4，－5)代入方程得p＝，∴抛物线方程为x2＝－y. ‎ ‎∵当船的两侧和拱桥接触时船不能通航．‎ 设此时船面宽为AA′，则A(2，yA)，‎ 由22＝－yA，得yA＝－.‎ 又知船露出水面上部分为米，设水面与抛物线拱顶相距为h，则h＝|yA|＋＝2(米)，即水面上涨到距抛物线拱顶2米时，小船不能通航．‎ 求解抛物线实际应用题的步骤 ‎[跟进训练]‎ ‎2.一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口宽AB恰好是拱高OD的4倍．若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值．‎ ‎[解]　以拱顶O为原点，拱高OD所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示．‎ 设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．‎ ‎∵AB是OD的4倍，∴点B的坐标为.‎ 由点B在抛物线上，得＝－2p·，‎ ‎∴p＝.‎ ‎∴抛物线方程为x2＝－ay.‎ 设点E(0.8，y0)为抛物线上一点，‎ 代入方程x2＝－ay，得0.82＝－ay0，‎ ‎∴y0＝－，‎ ‎∴点E到拱底AB的距离h＝－|y0|＝－，‎ 令h＞3，则－＞3，‎ 解得a＞6＋或a＜6－(舍去)．‎ ‎∴a的最小整数值为13.‎ ‎1．焦点在x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为y2＝mx(m≠0)，此时焦点为F，准线方程为x＝－；焦点在y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为x2＝my(m≠0)，此时焦点为F，准线方程为y＝－.‎ ‎2．设M是抛物线上一点，焦点为F，则线段MF叫做抛物线的焦半径．若M(x0，y0)在抛物线y2＝2px(p＞0)上，则根据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径|MF|＝x0＋.‎ ‎3．建立坐标系求抛物线的标准方程的方法：以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系．这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单．‎ ‎1．准线与x轴垂直，且经过点(1，－)的抛物线的标准方程是(　　)‎ A．y2＝－2x　　 B．y2＝2x C．x2＝2y D．x2＝－2y B　[由题意可设抛物线的标准方程为y2＝ax，则(－)2＝a，解得a＝2，因此抛物线的标准方程为y2＝2x，故选B.]‎ ‎2．过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为(　　)‎ A．圆 B．椭圆 C．直线 D．抛物线 D　[由题意可知，动圆的圆心到点A的距离与到直线y轴的距离相等，满足抛物线的定义，故应选D.]‎ ‎3．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是________．‎ ‎6　[由抛物线的方程得＝＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.]‎ ‎4．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水位下降1米后，水面宽________米．‎ ‎2　[建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x2＝－2py，则点(2，－2)在抛物线上，代入可得p＝1，所以x2＝－2y.当y＝－3时，x2＝6，所以水面宽为2米．‎ ‎]‎ ‎5．若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求点M的坐标．‎ ‎[解]　由抛物线方程y2＝－2px(p＞0)，得其焦点坐标为F，准线方程为 x＝.设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即－(－9)＝10，得p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.‎ 由点M(－9，y)在抛物线上，得y＝±6，故点M的坐标为(－9,6)或(－9，－6)．‎