2020_2021学年新教材高中数学第一章预备知识1 36页

1.2 　集合的基本关系 激趣诱思 知识点拨 同学们 , 你现在所在的班级是一个由若干名同学组成的集合 , 我们不妨记为 S , 如果把班内所有男生组成的集合记为 A , 把班内所有女生组成的集合记为 B , 集合 A , B 与集合 S 有怎样的关系 ? 集合 A 中的元素一定是集合 S 中的元素吗 ? 反过来呢 ? 激趣诱思 知识点拨 一、子集 1 . Venn 图 为了直观地表示集合间的关系 , 常用平面上封闭曲线的内部表示集合 , 称为 Venn 图 . 名师点析 1 . 表示集合的 Venn 图的边界是封闭曲线 , 它可以是圆、椭圆、矩形 , 也可以是其他封闭曲线 . 2 . 用 Venn 图表示集合的优点 是直观 地表示集合之间的关系 ; 缺点是集合元素的公共特征不明显 . 激趣诱思 知识点拨 2 . 子集 任何一 个 A ⊆ B ( 或 B ⊇ A ) 空集 A ⊆ C 激趣诱思 知识点拨 微思考 在子集的定义中 , 能否认为 “ 集合 A 是由集合 B 中的部分元素组成的集合 ”? 提示 : 不能 . 若 A ⊆ B , 则 A 有以下三种情况 : ① A= ⌀ ; ② A=B ; ③ A 是由 B 中的部分元素组成的集合 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 (1) 已知集合 P= { - 1,0,1,2}, Q= { - 1,0,1}, 则 ( 　　 ) A. P ∈ Q B. P ⊆ Q C. Q ⊆ P D. Q ∈ P (2) 已知集合 A= { - 1,3,2 m- 1}, B= {3, m 2 }, 若 B ⊆ A , 则实数 m= 　　　 .   解析 : 由 B ⊆ A , 知 m 2 ∈ A , 且 m 2 ≠3, 又 m 2 ≠ - 1, 所以 m 2 = 2 m- 1, 解得 m= 1, 经验证符合集合元素的互异性 . 答案 : (1) C ( 2)1 激趣诱思 知识点拨 二、集合 相等 名师点析 1 . 因为 A ⊆ B , 所以集合 A 的元素都是集合 B 的元素 ; 又因为 B ⊆ A , 所以集合 B 的元素也都是集合 A 的元素 , 也就是说 , 集合 A 与 B 相等 , 则集合 A 与 B 的元素是完全相同的 . 2 . 证明或判断两个集合相等 , 只需证 A ⊆ B 与 B ⊆ A 同时成立即可 . A=B 激趣诱思 知识点拨 微练习 已知集合 A= {1, -m }, B= {1, m 2 }, 且 A=B , 则 m 的值为 　　　　　 . 解析 : 由 A=B , 得 m 2 =-m , 解得 m= 0 或 m=- 1 . 当 m=- 1 时不满足集合中元素的互异性 , 舍去 . 故 m= 0 . 答案 : 0 激趣诱思 知识点拨 三、 真子集 A ⊆ B A ≠ B 　 A ⫋ C 激趣诱思 知识点拨 名师点析 1 . 集合 A 是集合 B 的真子集 , 需要满足两个条件 : ① A ⊆ B ; ② 存在元素 x , 满足 x ∈ B 且 x ∉ A. 2 . 如果集合 A 是集合 B 的真子集 , 那么集合 A 一定是集合 B 的子集 , 反之则不成立 . 3 . 任意集合都一定有子集 , 但是不一定有真子集 . 空集没有真子集 , 一个集合的真子集个数比它的子集个数少 1 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 若集合 P= { x|x< 1}, 集合 Q= { x|x< 0}, 则集合 P 与集合 Q 的关系是 ( 　　 ) A. P ⫋ Q B. Q ⫋ P C. P=Q D. 不确定 答案 : B 　 解析 : x< 0 ⇒ x< 1, 反之不成立 . 所以 Q ⫋ P. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 写出给定集合的子集 例 1 (1) 写出集合 { a , b , c , d } 的所有子集 , 并指出其中哪些是它的真子集 ; (2) 填写下表 , 并回答问题 : 由此猜想 : 含 n 个元素的集合 { a 1 , a 2 , … , a n } 的所有子集的个数是多少 ? 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 分析 (1) 利用子集的概念 , 按照集合中不含任何元素、含有 1 个、 2 个、 3 个、 4 个元素这五种情况分别写出子集 . (2) 由特殊到一般 , 归纳得出 . 解 : (1) 不含任何元素的子集为 ⌀ ; 含有一个元素的子集为 { a },{ b },{ c },{ d }; 含有两个元素的子集为 { a , b },{ a , c },{ a , d },{ b , c },{ b , d },{ c , d }; 含有三个元素的子集为 { a , b , c },{ a , b , d },{ b , c , d },{ a , c , d } . 含有四个元素的子集为 { a , b , c , d } . 其中除去集合 { a , b , c , d }, 剩下的都是 { a , b , c , d } 的真子集 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 (2 ) 由此猜想 : 含 n 个元素的集合 { a 1 , a 2 , … , a n } 的所有子集的个数是 2 n . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 分类讨论是写出所有子集的有效方法 , 一般按集合中元素个数的多少来划分 , 遵循由少到多的原则 , 做到不重不漏 . 2 . 若集合 A 中有 n 个元素 , 则集合 A 有 2 n 个子集 , 有 2 n - 1 个 真子集 , 有 2 n - 1 个 非空子集 , 有 2 n - 2 个 非空真子集 , 该结论可在选择题或填空题中直接使用 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 1 若 {1,2,3} ⫋ A ⊆ {1,2,3,4,5}, 则满足条件的集合 A 的个数为 ( 　　 ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案 : B 　 解析 : 集合 {1,2,3} 是集合 A 的真子集 , 同时集合 A 又是集合 {1,2,3,4,5} 的子集 , 所以集合 A 只能取集合 {1,2,3,4},{1,2,3,5} 和 {1,2,3,4,5} . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 集合之间关系的判断 例 2 已知集合 A= { x| 1 ≤ x< 6}, B= { x|x+ 3 ≥ 4}, 则 A 与 B 的关系是 ( 　　 ) A. A ⫋ B B. A=B C. B ⫋ A D. A ⊆ B 反思 感悟 判断两个集合之间的关系 , 一般是依据子集等相关定义分析 . 对于两个连续数集 , 则可将集合用数轴表示出来 , 数形结合判断 , 需注意端点值的取舍 . 答案 : A 　 解析 : 由题意知 , B= { x|x ≥ 1}, 将 A , B 表示在数轴上 , 如图所示 . 由数轴可以看出 , 集合 A 中元素全部在集合 B 中 , 且 B 中至少存在一个元素不属于集合 A , 所以 A ⫋ B. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 延伸探究 例 2 中将集合 B 改为 { x|x+ 3 > 4}, 则集合 A 与 B 是什么关系 ? 答案 : 集合 A 与 B 之间不具有包含关系 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 A ⫋ B 　 反思感悟 将集合中元素的特征性质进行等价变形 , 从而发现各性质之间的关系 , 最后得到集合之间的关系 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 A. A=B ⊆ C B. A ⊆ B=C C. A ⊆ B ⊆ C D. B ⊆ C ⊆ A 答案 : B 　 ∵ a ∈ Z 时 ,6 a+ 1 表示被 6 除余 1 的数 ; b ∈ Z 时 ,3 b- 2 表示被 3 除余 1 的数 ; c ∈ Z 时 ,3 c+ 1 表示被 3 除余 1 的数 ; 所以 A ⊆ B=C. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 集合相等关系的应用 例 4 已知集合 A= {2, x , y }, B= {2 x ,2, y 2 }, 且 A=B , 求实数 x , y 的值 . 分析 根据 A=B 列出关于 x , y 的方程组进行求解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 集合相等则元素相同 , 但要注意集合中元素的互异性 , 防止错解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 答案 : C 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 由集合间的关系求参数的范围 例 5 已知集合 A= { x|- 5 2}, B= { x| 2 a- 3