人教A数学必修二节圆的标准方程教学过程设计第4.1.1节 圆的标准方程 3页

第四章 圆与方程 第‎4.1.1‎节 圆的标准方程 ‎（一）自主学习 ‎1. 圆心为，半径长为的圆的标准方程为；‎ 特别地，圆心在原点，半径为的圆的标准方程为.‎ ‎2. 已知点，圆：，‎ ‎ 点在圆内；‎ ‎ 点在圆上；‎ ‎ 点在圆外.‎ ‎（二）典型例题 ‎【例1】（１）求以点为圆心，并且和轴相切的圆的方程；‎ ‎（２）已知两点，，求以线段为直径的圆的方程．‎ ‎【分析】（１）已知与圆心坐标和该圆与轴相切即可求出半径．‎ ‎（２）根据为直径可以得到相应的圆心与半径．‎ ‎【解析】（１）因为圆与轴相切，‎ 所以该圆的半径即为圆心到轴的距离；‎ 所以圆的标准方程为：．‎ ‎（２）因为为直径，‎ 所以的中点为该圆的圆心即，‎ 又因为，‎ 所以，‎ 所以圆的标准方程为：．‎ 动动手：填表，填出圆的圆心和半径：‎ 方程 圆心 半径 ‎【例2】的三个顶点的坐标为、、，求它的外接圆的标准方程．‎ ‎【分析】可设圆的标准方程为，求出圆心和半径；也可以根据三角形外接圆的圆心是三边的垂直平分线的交点求出圆心．‎ ‎【解析】方法一：设圆的方程为，‎ ‎ 因为、、在圆上，所以有 ‎，‎ 解得，，，‎ 所以，所求圆的方程为．‎ ‎ 方法二：线段的中点为，直线的斜率为，‎ 所以线段的垂直平分线的方程为，即 ①‎ 线段的中点为，直线的斜率为，‎ 所以线段的垂直平分线的方程为，即 ②‎ 解①②得，，即圆心的坐标为，，‎ 所以，所求圆的方程为．‎ ‎【例４】已知隧道的截面是半径为的圆的半圆，车辆只能在道路中心线的一侧行驶，车辆宽度为，高为的货车能不能驶入这个隧道？‎ ‎【分析】建立直角坐标系，由图象可以分析，‎ 关键在于写出半圆的方程，对应求出当时的值，比较得出结论．‎ ‎【解析】以某一截面半圆的圆心为原点，半圆的直径 所在的直线为轴，建立直角坐标系，如图所示，‎ 那么半圆的方程为：‎ 将代入得 ‎，‎ 即离中心线处，隧道的高度低于货车的高度，因此，该货车不能驶入这个隧道．‎ 动动手：假设货车的最大的宽度为，那么货车要驶入高隧道，限高为多少？‎ ‎【解析】将代入得，即限高为．‎ ‎（三）、总结提升：‎ ‎1. 圆的标准方程： 方程表示圆心为，半径长为的圆.‎ ‎2. 求圆的标准方程的常用方法：‎ ‎（1）几何法：根据题意，求出圆心坐标与半径，然后写出标准方程；‎ ‎（2）待定系数法：先根据条件列出关于的方程组，然后解出，再代入标准方程.‎ ‎（四）、反馈练习：‎ ‎1．圆的圆心和半径分别是 （ D ）‎ ‎ A．，1 B．，3 ‎ C．， D．，‎ ‎2．过点、且圆心在直线上的圆的方程是（ C ）‎ ‎ A. B.‎ ‎ C. D. ‎ ‎3.写出下列圆的标准方程 ‎ （1）圆心在，半径长为的圆的标准方程.‎ ‎（2）圆心在，且过点的圆的标准方程.‎ ‎4．点与圆的位置关系是点在圆 外 .‎ ‎*5．圆：关于直线对称的圆的方程是 ‎ ‎ ‎ .‎ ‎6．求过两点，，且圆心在直线上的圆的标准方程．‎ ‎【解析】设圆心坐标为，圆半径为，则圆方程为，‎ 因为圆心在直线上，‎ 所以 ①‎ 又因为圆过两点，，‎ 所以 ②‎ 且 ③‎ 由①、②、③得：，‎ ‎∴圆方程为．‎