【数学】2019届一轮复习北师大版 解三角形 学案 13页

一、正弦定理与余弦定理 1．正弦定理 公式： （其中 为 外接圆的半径） 2．余弦定理 3. 面积公式 4. 边角互化 边化角： 角化边： 二、三角形形状的判断 判断三角形的形状一般有两种方法 2sin sin sin a b c RA B C = = = R ABC∆ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos 2 cos 2 cos a b c bc A b a c ac B c a b ba B = + − = + − = + − 1 1 1sin sin sin2 2 2S ab C bc A ac B∆ = = = 2 sin , 2 sin , 2 sina R A b R B c R C= = = sin ,sin ,sin2 2 2 a b cA B CR R R = = = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos ,cos ,cos2 2 2 b c a a c b a b cA B Cbc ac ab + − + − + −= = = 解三角形 知识精讲· · 1. 通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角恒等变换得出三角形内角之间的关 系进行判断； 2. 利用正弦定理和余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系 进行判断. 注意：在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注意挖掘隐含条件.另外，在变 形过程中要注意角 的范围对三角函数的影响. 三、解三角形与三角函数的综合 在解三角形的问题中，经常涉及到三角函数的恒等变换，包括两角和与差的正弦、余弦、 正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，和辅助角公式. 四．解三角形与平面向量的综合 解三角形常常与平面向量相结合，利用平面向量的知识解决解三角形相关的内容 考试内容 要求层次 正弦定理和余弦定理 掌握 正余弦定理 三角形的面积 掌握 判断三角形形状和解的个数 掌握 与三角函数的综合 理解 与平面向量的综合 理解 正余弦定理的应用 与平面几何的综合 掌握 题模一：判断三角形形状 A B C， ， ·三点剖析· · ·题模精选· · 例 1.1.1 在 中 ， 三 个 内 角 的 对 边 分 别 是 ， 已 知 ， ，那么这个三角形是（ ） A． 等边三角形 B． 等腰三角形 C． 直角三角形 D． 等腰三角或直角三角形 【答案】D 【解析】 ∵△ABC 中，已知 B=30°，b=50 ，c=150，由正弦定理可得 ， ∴sinC= ，可得：C=60°或 120°． 当 C=60°，∵B=30°，∴A=90°，△ABC 是直角三角形． 当 C=120°，∵B=30°，∴A=30°，△ABC 是等腰三角形． 故△ABC 是直角三角形或等腰三角形． 例 1.1.2 在 中，内角 的对边分别是 ，若 ，则三角形的 形状为 ． 【答案】 等腰三角形或直角三角形 【解析】 即 ，所以 的形状为等腰三角形或直角三角形． 题模二：判断三角形解的个数 例 1.2.1 已知 中， ， ，若 有两个解，则 的取值范围是 ； 【答案】 . 【解析】 因为 有两个解，所以 且 ，所以 . ABC , ,A B C , ,a b c 30 , 150B c= ° = 0 35b = 3 150 50 3 sin sin30C =  3 2 ABC∆ , ,A B C , ,a b c cos cosa A b B= 1 1sin cos sin cos sin 2 sin 2 2 22 2A A B B A B A B A B π= ⇒ = ⇒ = + =或 2A B A B π= + =或 ABC∆ ABC∆ a x= 2b = 4B π= ABC∆ x 2 2 2x< < ABC∆ a b> sinb a B> 2 2 2x< < 例 1.2.2 中， ， ，以下命题中正确的序号是 ． ①若 ，则 c 有一解； ②若 ，则 c 有两解； ③若 ，则 c 有两解； ④若 ，则 c 有两解． 【答案】 ①②③ 【解析】 ∵△ABC 中，A= ，b=2， ∴bsinA=1， 对于①，若 a=1，可得：a=bsin A，故 c 有一解，正确； 对于②，若 a= ，可得：bsin A＜ a＜ b，故 c 有两解，正确； 对于③若 a= ，可得：bsin A＜ a＜ b，故 c 有两解，正确； 对于④若 a=3，可得：a ≥ b 时，故 c 有一解，错误． 题模三：三角形面积公式 例 1.3.1 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 b=c，2sinB= sinA． （1）求 cosB 的值； （2）若 a=2，求△ABC 的面积． 【答案】 （1） （2） 【解析】 （1）因为 ，所以 ． 所以 ． ABC 6A π= 2b = ______ 1a = 3a = 11 6a = 3a = 6 π 3 11 6 3 3 3 2 2sin 3sinB A= 2 3b a= 2 3 ba = 所以 ． …（7 分） （2）因为 a=2，所以 ． 又因为 ，所以 ． 所以 S△ABC= = ． …（13 分） 例 1.3.2 如图，在△ABC 中，点 D 在 BC 边上，∠CAD= ，cos∠C= ． （Ⅰ）求 sin∠ADB 的值； （Ⅱ）若 BD=2DC=5，求△ABD 的面积． 【答案】 （Ⅰ） （Ⅱ）7 【解析】 （Ⅰ）在△ABC 中，∵cosC= ，∴sinC= ． ∴sin∠ADC=sin（C+∠CAD）=sinCcos∠CAD+cosCsin∠CAD= ． ∵∠ADB+∠ADC=π， ∴sin∠ADB=sin∠ADC= ． （Ⅱ）在△ACD 中，由正弦定理得 ， ∴ ，解得 AD=2 ． ∴S△ABD= =7． 题模四：解三角形与三角函数综合 2 2 2 2 2 2 2( ) 33cos 22 32 3 b b ba c bB bac b + −+ −= = = ×  3b c= = 3cos 3B = 6sin 3B = 1 62 32 3 × × × 2 4 π 3 5 7 2 10 3 5 4 5 4 2 3 2 7 2 5 2 5 2 10 × + × = 7 2 10 sin sin CD AD CAD C =∠ 5 2 42 52 AD= 2 1 1 7 2sin 5 2 22 2 10AD BD ADB∠ = × × ×  例 1.4.1 已知向量 ， ，设 当 ，求 的最值； 在 中，内角 所对应的边分别为 ．已知 ， 求 的值． 【答案】 （1）最大值 3，最小值－1（2） ； 【解析】 （1）由题意得， ， ， = = 当 时， ， 所以当 ，即 时，f（x）的最大值为 3； 当 ，即 时，f（x）的最小值为当 −1． （2）由（1）， ， 则 ， 由 B∈（0，π）得， ， 所以 ，解得 ， ∵sinC=2sinA，∴由正弦定理得 c=2a， 又 b=3，由余弦定理得 b2=a2+c2−2accosB ( )2 2sin , 3sinm x x= + ( )1 sin ,2cosn x x= − ( ) nf x m=    1（） 0, 2x π ∈    ( )f x 2（ ） ABC , ,A B C , ,a b c ( ) 2, 3,sin 2sinf B b C A= = = ,a c 3 2 3 ( ) ( )22 1 sin 2 3sin cosf x m n x x x= = +   － 2 1 cos22cos 3sin 2 2 3sin 22 xx x x ++ = × + 3sin 2 cos2 1x x+ + 2sin 2 16x π + +   0, 2x π ∈    72 ,6 6 6x π π π + ∈    2 6 2x π π+ = 6x π= 72 6 6x π π+ = 2x π= ( ) 2sin 2 1 26f B B π = + + =   1sin 2 6 2B π + =   132 ,6 6 6B π π π + ∈   52 6 6B π π+ = 3B π= 即 9=b2=a2+4a2−2a×2a× 解得 ． 例 1.4.2 已知函数 ， 三个内角 的对边分别为 且 ． 求角 A 的大小； 若 ，求 c 的值． 【答案】 （1） （2）8 【解析】 （1）因为 f（x） = sinxcosx−cos 2x+ = =sin（2x− ）． 又 f（A） =sin（2A− ） =1，A∈（0，π）， 所以 ， ∴ ． （2）由余弦定理 a2=b2+c2−2bccosA 得到 ，所以 c2−5c−24=0． 解得 c=−3（舍）或 c=8． 所以 c=8． 1 2 3, 2 3a c= = ( ) 2sin cos -cos 13 2f x x x x= + ABC , ,A B C , ,a b c ( ) 1f A = 1（） 2（ ） 7, 5a b= = 1 3 π 3 1 2 3 1sin 2 cos22 2x x− 6 π 6 π 72 ,6 6 6A π π π − ∈ −   12 6 2A π π− = 1 3A π= 2 149 25 2 5cos 3c π= + − × 随练 1.1 在 中， 分别为角 的对边， ，则 （ ） A． 一定是锐角三角形 B． 一定是钝角三角形 C． 一定是斜三角形 D． 一定是直角三角形 【答案】D 【 解 析 】 由 正 弦 定 理 得 ， ． 所以 ．在 中， ，所以 是直角三角 形． 随练 1.2 在 中，角 的对边分别是 ， ， ， ，则角 的解的个数是（ ） A． 0 个 B． 1 个 C． 2 个 D． 不确定 【答案】C 【解析】 根据正弦定理得： ，则 ，所以 ， 有正弦函数的性质可知角 的解的个数是 2 个，而且它们互补． 随练 1.3 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，已知 cos2A= ，c= ，sinA= sinC． （Ⅰ）求 a 的值； （Ⅱ）若角 A 为锐角，求 b 的值及△ABC 的面积． 【答案】 （Ⅰ） （Ⅱ）b=5 或 b=−3， ABC∆ , ,a b c , ,A B C c cos A b⋅ = ABC∆ sin sin c b C B = sin cos sin sin( ) sin cos cos sinC A B A C A C A C⋅ = = + = ⋅ + ⋅ sin cos 0A C⋅ = ABC∆ sin 0A ≠ cos 0 = 2C C π∴ = 即 ABC∆ ABC∆ , ,A B C , ,a b c 80a = 100b = 30A = ° B sin sin a b A B = 80 100 sin30 sin B =° 5sin 8B = B 1 3 3 6 3 2 5 2 2 ·随堂练习· · 【解析】 （Ⅰ）在△ABC 中，因为 ， 由正弦定理 ， 得 ． （Ⅱ）由 得， ， 由 得， ， 则 ， 由余弦定理 a2 =b 2 +c 2 −2bccosA， 化简得，b2 −2b−15=0，解得 b=5 或 b=−3（舍负）． 所以 ． 随练 1.4 如图 中，已知点 D 在 边上，满足 ． ， ， ． 求 的长； 求 ． 【答案】 （1）3（2） 【解析】 （1）∵ =0， ∴AD⊥AC， ∴ ， 3,sin 6 sinc A C= = sin sin a c A C = 6 6 3 3 2a c= = × = 2 1cos2 1 2sin 3A A= − = − 2 2sin 3A = 0 2A π< < 6sin 3A = 2 3cos 1 sin 3A A= − = 1 1 6 5 2sin 5 32 2 3 2ABCS bc A= = × × × = ABC BC 0AD AC → → = 2in 2 3s BAC∠ = 23AB = 3BD = 1（） AD 2（ ） cosC 6 3 AD AC → →  sin sin cos2BAC BAD BAD π ∠ = + ∠ = ∠   ∵sin∠BAC= ， ∴ ． 在△ABD 中，由余弦定理可知 BD2 =AB 2 +AD 2 −2AB•ADcos∠BAD， 即 AD2 −8AD+15=0， 解之得 AD=5 或 AD=3． 由于 AB＞AD， ∴AD=3． （2）在△ABD 中，由正弦定理可知 ， 又由 ， 可知 ， ∴ = ， ∵∠ADB=∠DAC+∠C，∠DAC= ， ∴ ． 2 2 3 2 2cos 3BAD∠ = sin sin BD AB BAD ADB =∠ ∠ 2 2cos 3BAD∠ = 1sin 3BAD∠ = sinsin AB BADADB BD ∠∠ = 6 3 2 π 6cos 3C = ·自我总结· · 作业 1 在 中，若 ，则这个三角形一定是（ ） A． 等腰三角形 B． 直角三角形 C． 等腰直角三角形 D． 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 由正弦定理可知， ，因为 ， 所以 所以 即 ，因此这个三角形为等腰或直角三角形． ABC∆ 2 2tan tana B b A= sin sin a b A B = 2 2tan tana B b A= 2 2sin sinsin sin sin cos sin sin sin2 sin2cos cos B AA B A A B B A BB A ⋅ = ⋅ ⇒ = ⇒ = 2 2 2 2A B A B π= + =或 2A B A B π= + =或 ·课后作业· · 作业 2 在 中， ， ， 所对的边分别为 ．若 ， ， ， 则 的解的个数是（ ） A． 0 个 B． 1 个 C． 2 个 D． 不确定的 【答案】C 【解析】 因为 ， ， ， 由正弦定理 ， ， ， 得到 ，由于 是三角形内角， 所以 ， 所以 或 ， 故选 C． 作业 3 在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ．已知 ． （Ⅰ）求 的大小； （Ⅱ）如果 ， ，求 的面积． 【答案】 见解析 【解析】 （Ⅰ）解：因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ． （ Ⅱ ） 解 ： 因 为 ， ， 所 以 ． 由 正 弦 定 理 ，得 . 因为 ，所以 ，解得 ， 因为 ，所以 ．故 的面积 ． 作业 4 在 中，角 所对应的边分别为 且 ， 求边 a 的长度； ABC∆ A∠ B∠ C∠ , ,a b c 5a = 8b = 30A∠ = ° B∠ 5a = 8b = 30A∠ = ° sin sin a b A B = 5a = 8b = 30A∠ =  4sin = 5B B∠ ( )45 ,135B∈ ° ° 4arcsin 5B = 4arcsin 5B π= − ABC∆ A B C a b c 2 2 2b c a bc+ = + A 6cos 3B = 2b = ABC∆ 2 2 2b c a bc+ = + 2 2 2 1cos 2 2 b c aA bc + −= = (0,π)A∈ π 3A = 6cos 3B = (0,π)B∈ 2 3sin 1 cos 3B B= − = sin sin a b A B = sin 3sin b Aa B = = 2 2 2b c a bc+ = + 2 2 5 0c c− − = 1 6c = ± 0c > 6 1c = + ABC∆ 1 3 2 3sin2 2S bc A += = ABC , ,A B C , ,a b c 2, 3b c= = cos 1 3C = 1（） 求 的面积； 求 的值． 【答案】 （1）3（2）2 （3） 【 解 析 】 （ 1 ） △ABC 中 ， ∵ b=2 ， c=3 ， cosC= ， 利 用 余 弦 定 理 可 得 c2 =9=a 2 +4−4a• ， 求得 a=3，或 a=− （舍去）． （2）∵sinC= ，∴△ABC 的面积为 ab•sinC= ×3×2×= ． （3）利用正弦定理可得 = ，即 = ，∴sinB= ， ∴cosB= ，∴cos（B−C） =cosBcosC+sinBsinC= × + × = ． 2（ ） ABC 3（ ） cos( )-B C 2 23 27 1 3 1 3 5 3 2 2 21 cos 3C− = 1 2 1 2 2 2 sin b B sin c C 2 sin B 3 2 2 3 4 2 9 2 71 sin 9B− = 7 9 1 3 4 2 9 2 2 3 23 27