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- 2021-06-11 发布
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高考考点
命题分析
三年高考探源
考查频率
直角坐标与极坐标方程的互化
从近三年高考情况来看,选考系列由原来的三选一变为二选一,且主要以解答题的形式中出现,考查与参数方程、极坐标方程相关的互化与计算,特别要注意:(1)极坐标系中直线和圆的方程;(2)已知直线和圆的参数方程,判断直线和圆的位置关系等.求解时,熟练应用互化公式或理解参数的几何意义即可顺利解决
2017新课标全国Ⅱ 22
2015新课标全国Ⅰ 23
★★★★★
普通方程与参数方程的互化
2017新课标全国Ⅰ 22
★★★★★
坐标系与参数方程的综合
2017新课标全国Ⅲ 22
2016新课标全国Ⅰ 23
2016新课标全国Ⅱ 23
2016新课标全国Ⅲ 23
2015新课标全国Ⅱ 23
★★★★★
考点1 两种互化及其应用
调研1 在平面直角坐标系中,已知曲线(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线.
(1)求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程;
(2)若点在曲线上,在曲线上,求的最小值.
【答案】(1)曲线的普通方程为,曲线的直角坐标方程为;(2)
.
【解析】(1)由消去得,
因为,由直角坐标与极坐标的转化公式可得.
所以曲线的普通方程为,曲线的直角坐标方程为.
(2)由(1)知的圆心为,半径为2,,
的最小值即为到直线的距离减去圆的半径,
因为到直线的距离为,
所以的最小值为. *
☆技巧点拨☆
1.参数方程化为普通方程
基本思路是消去参数,常用的消参方法有:①代入消元法;②加减消元法;③恒等式(三角的或代数的)消元法等,其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧.
2.普通方程化为参数方程
曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单;当参数取某一值时,可以唯一确定x,y的值.一般地,与旋转有关的问题,常采用旋转角作为参数;与直线有关的常选用直线的倾斜角、斜率、截距作为参数;与实践有关的问题,常取时间作为参数.此外,也常常用线段的长度、某一点的横坐标(纵坐标)作为参数.
3.极坐标方程与直角坐标方程互化
进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是熟练掌握互化公式:x=ρcosθ,y=ρsinθ,ρ2=x2+y2,tanθ=(x≠0).
4.参数方程与极坐标方程互化
进行参数方程与极坐标方程互化的关键是可先将参数方程(或极坐标方程)化为普通方程(
或直角坐标方程),再转化为极坐标方程(或参数方程).
考点2 利用参数几何意义解题
调研1 在平面直角坐标系中,已知直线为参数),曲线为参数).
(1)设与相交于两点,求;
(2)若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点是曲线上的一个动点,求它到直线距离的最小值.
【答案】(1)1;(2).
【解析】(1)的普通方程为的普通方程为,
联立方程得,解得与的交点坐标为,
则.
(2)易知的参数方程为为参数),故可设点的坐标为,
从而点到直线的距离是,
由此可知当时,取得最小值,且最小值为. *
调研2 以平面直角坐标系的坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,以平面直角坐标系的长度为长度单位建立极坐标系. 已知直线的参数方程为(为参数),曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)设直线与曲线相交于两点,求.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)由,即,得曲线的直角坐标方程为.
(2)将的参数方程代入,整理得,
∴,, *
∴.
☆技巧点拨☆
若直线过(x0,y0),α为直线的倾斜角,则直线的参数方程为(t为参数).
考点3 利用的几何意义解题
调研1 平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求出曲线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程;
(2)若直线的极坐标方程为,曲线与的公共点都在上,求的值.
【答案】(1)的极坐标方程为,的直角坐标方程为;(2).
【解析】(1)消去参数得到的普通方程为,将代入的普通方程,得到的极坐标方程为.
由得,
把代入上式得曲线的直角坐标方程为.
(2)曲线与的公共点的极坐标满足方程组,
因为曲线与的公共点都在上,所以把代入方程组得,
消去得.
1.(上海市金山区2018届高三下 期质量监控(二模))若椭圆的参数方程为 (θ为参数),则它的两个焦点坐标是
A.(±4, 0) B.(0, ±4)
C.(±5, 0) D.(0, ±3)
【答案】A
2.(北京市丰台区2018年高三年级一模)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数).若以射线Ox为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为
A.=sin B.=2sin
C.=cos D.=2cos
【答案】D
【解析】 由(为参数)得曲线的普通方程为,又由,可得曲线的极坐标方程为,故选D. *
3.(河南省名校2018届高三压轴第二次考试)在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知圆是以极坐标系中的点为圆心,
为半径的圆,直线的参数方程为.
(1)求与的直角坐标方程;
(2)若直线与圆交于,两点,求的面积.
【答案】(1)见解析;(2).
4.(福建省龙岩市2018届高三下 期教 质量检查(4月))在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为.
(1)求圆的直角坐标方程;
(2)设,直线的参数方程是(为参数),已知与圆交于两点,且
,求的普通方程.
【答案】(1);(2).
【思路点拨】(1)利用代入,即可得圆的直角坐标方程; *
(2)将直线的参数方程(为参数)代入圆的直角坐标方程中,化简得,利用根与系数的关系以及直线参数的几何意义可得,从而可得结果.
【名师点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式(如等三角恒等式)消去参数化为普通方程,通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程,利用关系式,等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化,这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程,用直角坐标方程解决相应问题.
5.(百校联盟2018届高三TOP20四月联考)已知平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),直线,直线,以原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)写出曲线和直线的极坐标方程;
(2)若直线与曲线交于两点,直线与曲线交于两点,求.
【答案】(1);(2)
【名师点睛】(1)直角坐标方程化为极坐标方程,只要运用公式及直接代入并化简即可;
(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形,构造形如的形式,进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时,方程必须同解,因此应注意对变形过程的检验.
1.(2017新课标全国卷Ⅰ理 )在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为.
(1)若a=−1,求C与l的交点坐标;
(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.
【答案】(1),;(2)或.
当时,的最大值为.由题设得,所以.
综上,或.
【思路点拨】(1)先将曲线和直线l的参数方程化成普通方程,然后联立两方程即可求出交点坐标;(2)由直线的普通方程为,设上的点为,易求得该点到的距离为.对a再进行讨论,即当和时,求出a的值.
【名师点睛】化参数方程为普通方程的关键是消参,可以利用加减消元、平方消元、代入法等等;在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题时,通常将极坐标方程化为直角坐标方程,参数方程化为普通方程来解决.
2.(2017新课标全国卷II理 )在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)M为曲线上的动点,点P在线段OM上,且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程;
(2)设点A的极坐标为,点B在曲线上,求面积的最大值.
【答案】(1);(2).
所以面积的最大值为.
【思路点拨】(1)设出P的极坐标,然后利用题意得出极坐标方程,最后转化为直角坐标方程;
(2)利用(1)中的结论,设出点的极坐标,然后结合面积公式得到面积的三角函数,结合三角函数的性质可得面积的最大值.
【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用。重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解,或者直接利用极坐标的几何意义求解.解题时要结合题目自身特点,确定选择何种方程.
3.(2017新课标全国卷Ⅲ理 )在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P,当 变化时,P的轨迹为曲线C.
(1)写出C的普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设,M为l3与C的交点,求M的极径.
【答案】(1);(2).
【思路点拨】(1)由题意得直线l1,l2的普通方程,然后消去参数即可得到曲线的普通方程;
(2)联立两个极坐标方程可得,代入极坐标方程进行计算可得极径为.
【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用,重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解,或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点,确定选择何种方程.
4.(2016新课标全国卷Ⅰ理 )在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.
(1)说明C1是哪种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;
(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.
【答案】(1)圆,;(2)1.
5.(2016新课标全国卷II理 )在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25.
(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;
(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,∣AB∣=,求l的斜率.
【答案】(1);(2).
6.(2016新课标全国卷Ⅲ理 )在直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为,以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)写出的普通方程和的直角坐标方程;
(2)设点P在上,点Q在上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.
【答案】(1)的普通方程为,的直角坐标方程为;(2)的最小值为,此时的直角坐标为.
【解析】(1)的普通方程为.
的直角坐标方程为.
(2)由题意,可设点的直角坐标为.
因为是直线,所以的最小值即为到的距离的最小值,
.
当且仅当时,取得最小值,最小值为,此时的直角坐标为.
【思路点拨】(1)利用同角三角函数基本关系中的平方关系化曲线C1的参数方程为普通方程,利用公式与将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程;
(2)利用参数方程表示出点的坐标,然后利用点到直线的距离公式建立的三角函数表达式,最后求出最值与相应点的坐标即可.
【技巧点拨】一般地,涉及椭圆上的点的最值问题、定值问题、轨迹问题等,当直接处理不好下手时,可考虑利用椭圆的参数方程进行处理,设点的坐标为,将其转化为三角问题进行求解.
7.(2015新课标全国卷Ⅰ理 )在直角坐标系中,直线,圆,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求的极坐标方程.
(2)若直线的极坐标方程为,设的交点为,求的面积.
【答案】(1)的极坐标方程分别为,;(2).
8.(2015新课标全国卷II理 )在直角坐标系中,曲线 (t为参数,),其中
. 在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线
(1)求与交点的直角坐标;
(2)若与相交于点A,与相交于点B,求的最大值.
【答案】(1);(2)4.