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  • 2021-06-11 发布

【数学】2019届一轮复习北师大版 坐标系与参数方程 学案

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‎ ‎ 高考考点 命题分析 三年高考探源 考查频率 直角坐标与极坐标方程的互化 从近三年高考情况来看,选考系列由原来的三选一变为二选一,且主要以解答题的形式中出现,考查与参数方程、极坐标方程相关的互化与计算,特别要注意:(1)极坐标系中直线和圆的方程;(2)已知直线和圆的参数方程,判断直线和圆的位置关系等.求解时,熟练应用互化公式或理解参数的几何意义即可顺利解决 ‎2017新课标全国Ⅱ 22‎ ‎2015新课标全国Ⅰ 23‎ ‎★★★★★‎ 普通方程与参数方程的互化 ‎2017新课标全国Ⅰ 22‎ ‎★★★★★‎ 坐标系与参数方程的综合 ‎2017新课标全国Ⅲ 22‎ ‎2016新课标全国Ⅰ 23‎ ‎2016新课标全国Ⅱ 23‎ ‎2016新课标全国Ⅲ 23‎ ‎2015新课标全国Ⅱ 23‎ ‎★★★★★‎ 考点1 两种互化及其应用 调研1 在平面直角坐标系中,已知曲线(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线.‎ ‎(1)求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程;‎ ‎(2)若点在曲线上,在曲线上,求的最小值.‎ ‎【答案】(1)曲线的普通方程为,曲线的直角坐标方程为;(2)‎ ‎.‎ ‎【解析】(1)由消去得,‎ 因为,由直角坐标与极坐标的转化公式可得.‎ 所以曲线的普通方程为,曲线的直角坐标方程为.‎ ‎(2)由(1)知的圆心为,半径为2,,‎ 的最小值即为到直线的距离减去圆的半径,‎ 因为到直线的距离为,‎ 所以的最小值为. * ‎ ‎☆技巧点拨☆‎ ‎1.参数方程化为普通方程 基本思路是消去参数,常用的消参方法有:①代入消元法;②加减消元法;③恒等式(三角的或代数的)消元法等,其中代入消元法、加减消元法一般是利用解方程的技巧.‎ ‎2.普通方程化为参数方程 曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且关系相对简单;当参数取某一值时,可以唯一确定x,y的值.一般地,与旋转有关的问题,常采用旋转角作为参数;与直线有关的常选用直线的倾斜角、斜率、截距作为参数;与实践有关的问题,常取时间作为参数.此外,也常常用线段的长度、某一点的横坐标(纵坐标)作为参数.‎ ‎3.极坐标方程与直角坐标方程互化 进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是熟练掌握互化公式:x=ρcosθ,y=ρsinθ,ρ2=x2+y2,tanθ=(x≠0).‎ ‎4.参数方程与极坐标方程互化 进行参数方程与极坐标方程互化的关键是可先将参数方程(或极坐标方程)化为普通方程(‎ 或直角坐标方程),再转化为极坐标方程(或参数方程).‎ 考点2 利用参数几何意义解题 调研1 在平面直角坐标系中,已知直线为参数),曲线为参数).‎ ‎(1)设与相交于两点,求;‎ ‎(2)若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点是曲线上的一个动点,求它到直线距离的最小值.‎ ‎【答案】(1)1;(2).‎ ‎【解析】(1)的普通方程为的普通方程为,‎ 联立方程得,解得与的交点坐标为,‎ 则.‎ ‎(2)易知的参数方程为为参数),故可设点的坐标为,‎ 从而点到直线的距离是,‎ 由此可知当时,取得最小值,且最小值为. * ‎ 调研2 以平面直角坐标系的坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,以平面直角坐标系的长度为长度单位建立极坐标系. 已知直线的参数方程为(为参数),曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求曲线的直角坐标方程; ‎ ‎(2)设直线与曲线相交于两点,求.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【解析】(1)由,即,得曲线的直角坐标方程为.‎ ‎(2)将的参数方程代入,整理得,‎ ‎∴,, * ‎ ‎∴.‎ ‎☆技巧点拨☆‎ 若直线过(x0,y0),α为直线的倾斜角,则直线的参数方程为(t为参数).‎ 考点3 利用的几何意义解题 调研1 平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)求出曲线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程;‎ ‎(2)若直线的极坐标方程为,曲线与的公共点都在上,求的值.‎ ‎【答案】(1)的极坐标方程为,的直角坐标方程为;(2).‎ ‎【解析】(1)消去参数得到的普通方程为,将代入的普通方程,得到的极坐标方程为.‎ 由得,‎ 把代入上式得曲线的直角坐标方程为.‎ ‎(2)曲线与的公共点的极坐标满足方程组,‎ 因为曲线与的公共点都在上,所以把代入方程组得,‎ 消去得.‎ ‎1.(上海市金山区2018届高三下 期质量监控(二模))若椭圆的参数方程为 (θ为参数),则它的两个焦点坐标是 A.(±4, 0) B.(0, ±4) ‎ C.(±5, 0) D.(0, ±3)‎ ‎【答案】A ‎2.(北京市丰台区2018年高三年级一模)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(为参数).若以射线Ox为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为 A.=sin B.=2sin C.=cos D.=2cos ‎【答案】D ‎【解析】 由(为参数)得曲线的普通方程为,又由,可得曲线的极坐标方程为,故选D. * ‎ ‎3.(河南省名校2018届高三压轴第二次考试)在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长度单位.已知圆是以极坐标系中的点为圆心,‎ 为半径的圆,直线的参数方程为.‎ ‎(1)求与的直角坐标方程;‎ ‎(2)若直线与圆交于,两点,求的面积.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2).‎ ‎4.(福建省龙岩市2018届高三下 期教 质量检查(4月))在直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为.‎ ‎(1)求圆的直角坐标方程;‎ ‎(2)设,直线的参数方程是(为参数),已知与圆交于两点,且 ‎,求的普通方程.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【思路点拨】(1)利用代入,即可得圆的直角坐标方程; * ‎ ‎(2)将直线的参数方程(为参数)代入圆的直角坐标方程中,化简得,利用根与系数的关系以及直线参数的几何意义可得,从而可得结果.‎ ‎【名师点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式(如等三角恒等式)消去参数化为普通方程,通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程,利用关系式,等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化,这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程,用直角坐标方程解决相应问题.‎ ‎5.(百校联盟2018届高三TOP20四月联考)已知平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),直线,直线,以原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系.‎ ‎(1)写出曲线和直线的极坐标方程;‎ ‎(2)若直线与曲线交于两点,直线与曲线交于两点,求.‎ ‎【答案】(1);(2)‎ ‎【名师点睛】(1)直角坐标方程化为极坐标方程,只要运用公式及直接代入并化简即可;‎ ‎(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形,构造形如的形式,进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时,方程必须同解,因此应注意对变形过程的检验.‎ ‎1.(2017新课标全国卷Ⅰ理 )在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的参数方程为.‎ ‎(1)若a=−1,求C与l的交点坐标;‎ ‎(2)若C上的点到l距离的最大值为,求a.‎ ‎【答案】(1),;(2)或.‎ 当时,的最大值为.由题设得,所以.‎ 综上,或.‎ ‎【思路点拨】(1)先将曲线和直线l的参数方程化成普通方程,然后联立两方程即可求出交点坐标;(2)由直线的普通方程为,设上的点为,易求得该点到的距离为.对a再进行讨论,即当和时,求出a的值.‎ ‎【名师点睛】化参数方程为普通方程的关键是消参,可以利用加减消元、平方消元、代入法等等;在极坐标方程与参数方程的条件下求解直线与圆的位置关系问题时,通常将极坐标方程化为直角坐标方程,参数方程化为普通方程来解决.‎ ‎2.(2017新课标全国卷II理 )在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)M为曲线上的动点,点P在线段OM上,且满足,求点P的轨迹的直角坐标方程;‎ ‎(2)设点A的极坐标为,点B在曲线上,求面积的最大值.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ 所以面积的最大值为.‎ ‎【思路点拨】(1)设出P的极坐标,然后利用题意得出极坐标方程,最后转化为直角坐标方程;‎ ‎(2)利用(1)中的结论,设出点的极坐标,然后结合面积公式得到面积的三角函数,结合三角函数的性质可得面积的最大值.‎ ‎【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用。重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解,或者直接利用极坐标的几何意义求解.解题时要结合题目自身特点,确定选择何种方程.‎ ‎3.(2017新课标全国卷Ⅲ理 )在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为(t为参数),直线l2的参数方程为.设l1与l2的交点为P,当 变化时,P的轨迹为曲线C.‎ ‎(1)写出C的普通方程;‎ ‎(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,设,M为l3与C的交点,求M的极径.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎【思路点拨】(1)由题意得直线l1,l2的普通方程,然后消去参数即可得到曲线的普通方程;‎ ‎(2)联立两个极坐标方程可得,代入极坐标方程进行计算可得极径为.‎ ‎【名师点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用,重点考查了转化与化归能力.遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时,求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解,或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点,确定选择何种方程.‎ ‎4.(2016新课标全国卷Ⅰ理 )在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cos θ.‎ ‎(1)说明C1是哪种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程;‎ ‎(2)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.‎ ‎【答案】(1)圆,;(2)1.‎ ‎ 5.(2016新课标全国卷II理 )在直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x+6)2+y2=25. ‎ ‎(1)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;‎ ‎(2)直线l的参数方程是(t为参数),l与C交于A,B两点,∣AB∣=,求l的斜率.‎ ‎【答案】(1);(2).‎ ‎ 6.(2016新课标全国卷Ⅲ理 )在直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为,以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)写出的普通方程和的直角坐标方程;‎ ‎(2)设点P在上,点Q在上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.‎ ‎【答案】(1)的普通方程为,的直角坐标方程为;(2)的最小值为,此时的直角坐标为.‎ ‎【解析】(1)的普通方程为.‎ 的直角坐标方程为.‎ ‎(2)由题意,可设点的直角坐标为.‎ 因为是直线,所以的最小值即为到的距离的最小值,‎ ‎.‎ 当且仅当时,取得最小值,最小值为,此时的直角坐标为.‎ ‎【思路点拨】(1)利用同角三角函数基本关系中的平方关系化曲线C1的参数方程为普通方程,利用公式与将曲线C2的极坐标方程化为直角坐标方程;‎ ‎(2)利用参数方程表示出点的坐标,然后利用点到直线的距离公式建立的三角函数表达式,最后求出最值与相应点的坐标即可.‎ ‎【技巧点拨】一般地,涉及椭圆上的点的最值问题、定值问题、轨迹问题等,当直接处理不好下手时,可考虑利用椭圆的参数方程进行处理,设点的坐标为,将其转化为三角问题进行求解.‎ ‎7.(2015新课标全国卷Ⅰ理 )在直角坐标系中,直线,圆,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎(1)求的极坐标方程.‎ ‎(2)若直线的极坐标方程为,设的交点为,求的面积.‎ ‎【答案】(1)的极坐标方程分别为,;(2).‎ ‎ 8.(2015新课标全国卷II理 )在直角坐标系中,曲线 (t为参数,),其中 ‎. 在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 ‎ ‎(1)求与交点的直角坐标;‎ ‎(2)若与相交于点A,与相交于点B,求的最大值.‎ ‎【答案】(1);(2)4.‎