【数学】2019届一轮复习北师大版导数的综合应用学案 30页

主题21 导数的综合应用 ‎【主题考法】本主题考试题型为解答题，与解析几何、函数、立体几何、概率等数 知识结合主要考查常见函数的导数、导数的运算法则、利用导数函数研究函数的切线、单调性、极值及最值，考查利用导数研究函数的图象与性质，再利用函数图象与性质处理函数零点、证明不等式或不等式恒成立求参数范围等综合问题，常为压轴题，难度较大，分值为12分.‎ ‎【主题考前回扣】‎ ‎1．导数的几何意义 ‎(1)f′(x0)的几何意义 曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．‎ ‎(2)切点的两大特征 ①在曲线y＝f(x)上；②在切线上．‎ ‎2．利用导数研究函数的单调性 ‎(1)求可导函数单调区间的一般步骤 ‎①求函数f(x)的定义域；‎ ‎②求导函数f′(x)；‎ ‎③由f′(x)＞0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间．‎ ‎(2)由函数的单调性求参数的取值范围 ①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0(x∈M)恒成立；‎ ‎②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)＞0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集；‎ ‎③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集．‎ ‎3．利用导数研究函数的极值与最值 ‎(1)求函数的极值的一般步骤 ‎①确定函数的定义域；‎ ‎②解方程f′(x)＝0； = ‎ ‎③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0两侧的符号变化 ‎ 若左正右负，则x0为极大值点；‎ 若左负右正，则x0为极小值点；‎ 若不变号，则x0不是极值点．‎ ‎(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤 ‎①求函数y＝f(x)在[a，b]内的极值；‎ ‎②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．‎ ‎【易错点提醒】‎ ‎1．已知可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(减)，则f′(x)≥0(≤0)对∀x∈(a，b)恒成立，不能漏掉“＝”，且需验证“＝”不能恒成立；已知可导函数f(x)的单调递增(减)区间为(a，b)，则f′(x)＞0(＜0)的解集为(a，b)．‎ ‎2．f′(x)＝0的解不一定是函数f(x)的极值点．一定要检验在x＝x0的两侧f′(x)的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点．‎ ‎3.函数在某点的切线与过某点的切线的区别.‎ ‎【主题考向】‎ 考向一 导数的运算和几何意义 ‎【解决法宝】利用导数的几何意义解题,主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系 进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值,则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起 求解. 求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.‎ 例1【2018届天津市滨海新区七所重点 校联考】已知函数（其中, ）.‎ ‎（1）当时,求函数在点处的切线方程;‎ ‎（2）若函数在区间上为增函数,求实数的取值范围;‎ ‎（3）求证 对于任意大于1的正整数,都有.‎ ‎【分析】（1）， ， ，可求得切线方程。（2）即在区间上恒成立。（3）由（1）得 在上恒成立,即。令，得， ，不等式同向相加可得。‎ ‎【解析】（1），‎ ‎ ‎ ‎， ‎ ‎（2）， ‎ 函数在上为增函数， ‎ 对任意恒成立. ‎ 对任意恒成立，‎ 即对任意恒成立. ‎ 时， ， ‎ ‎ ，即所求正实数的取值范围是. ‎ 所以， ，‎ 所以， ‎ 即，‎ 所以，‎ 即对于任意大于1的正整数，都有.‎ 考向二 利用导数研究函数的单调性 ‎【解决法宝】利用导数研究函数单调性的一般步骤 ‎ ‎(1)确定函数的定义域；‎ ‎(2)求导函数；‎ ‎(3)①若求单调区间(或证明单调性)，只要在函数定义域内解(或证明)不等式>0或<0.‎ ‎②若已知函数的单调性，则转化为不等式≥0或≤0在单调区间上恒成立问题 求解.‎ ‎(4)①若求极值，则先求方程＝0的根，再检查在方程根的左右函数值的符号.‎ ‎②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程＝0根的大小或存在情况 求解.‎ ‎(5)求函数在闭区间的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值，与的各极值进行比较得到函数的最值.‎ 例2【河南省南阳一中2018届二模】设函数.‎ ‎(1) 讨论的单调性；‎ ‎(2) 设，当时， ，求的取值范围.‎ ‎【解析】（1）由题意得, .‎ 当时，当， ；当时， ；‎ ‎∴f(x)在单调递减，在单调递增 ‎ 当时，令得x=1 ，x= ‎ ‎①当时， ， ；当时， ；‎ 当时， ；‎ 所以f(x)在， 单调递增，在单调递减 ‎ ‎②当时， ，所以f(x)在R单调递增 ‎ ‎③当时， ， ； ]‎ 当时， ；‎ 当时， ；‎ ‎∴f(x)在， 单调递增，在单调递减 ‎②当时， 有一个解，设为根.‎ ‎∴有， ， 单调递减；当时， ； 单调递增，有 ‎∴当时， 不恒成立；‎ 综上所述， 的取值范围是 ‎ 考向三 利用导数研究函数的极值与最值问题 ‎【解决法宝】利用导数研究函数极值（最值）的一般步骤 ‎ ‎(1)确定函数的定义域；‎ ‎(2)求导函数；‎ ‎(3)①若求极值，则先求方程＝0的根，再检查在方程根的左右函数值的符号.‎ ‎②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程＝0根的大小或存在情况 求解.‎ ‎(4)求函数在闭区间的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值 ‎，与的各极值进行比较得到函数的最值.‎ 例3【云南民族大 附属中 2018届下 期第一次月考】已知函数．‎ ‎(1)若，求函数的极值，并指出是极大值还是极小值；‎ ‎(2)若，求证 在区间上，函数的图像在函数的图像的下方．‎ ‎【分析】（1）定义域为(0，＋∞)，f′(x) ，可求得单调区间有望极小值。（2）函数的图像在函数的图像的下方，即f(x)0，因此函数f(x)在(1，＋∞)上是单调递增的，‎ 则x＝1是f(x)极小值点，‎ 所以f(x)在x＝1处取得极小值为f(1)= ‎ ‎(2)证明 设F(x)＝f(x)－g(x)＝x2＋lnx－x3，‎ 则F′(x)＝x＋－2x2＝，‎ 当x>1时，F′(x)<0，‎ 故f(x)在区间[1，＋∞)上是单调递减的，‎ 又F(1)＝－<0，‎ ‎∴在区间[1，＋∞)上，F(x)<0恒成立．即f(x)—g(x)<0恒成立 即f(x)