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- 2021-06-11 发布
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2.5 指数与指数函数
1.分数指数幂
(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是＝ (a>0，m，n∈N*，且n>1).正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定＝(a>0，m，n∈N*，且n>1).0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
(2)有理数指数幂的运算性质：asat＝as＋t，(as)t＝ast，(ab)t＝atbt，其中s，t∈Q，a>0，b>0.
2.指数函数的图象与性质
y＝ax
a>1
00时，y>1；
当x<0时，00时，01
(6)在(－∞，＋∞)上是增函数
(7)在(－∞，＋∞)上是减函数
【知识拓展】
1.指数函数图象画法的三个关键点
画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，(－1，).
2.指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大.
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)＝()n＝a.( × )
(2)分数指数幂可以理解为个a相乘.( × )
(3)＝＝.( × )
(4)函数y＝a－x是R上的增函数.( × )
(5)函数y＝(a>1)的值域是(0，＋∞).( × )
(6)函数y＝2x－1是指数函数.( × )
1.(教材改编)若函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象经过点P(2，)，则f(－1)＝________.
答案
解析 由题意知＝a2，所以a＝，
所以f(x)＝()x，所以f(－1)＝()－1＝.
2.(2016·苏州模拟)已知函数f(x)＝ax－2＋2的图象恒过定点A，则A的坐标为________.
答案 (2,3)
解析 由a0＝1知，当x－2＝0，即x＝2时，f(2)＝3，即图象必过定点(2,3).
3.已知则a，b，c的大小关系是______________.
答案 cb>1，
又c＝<()0＝1，
∴cf(x＋1)；
当x＝log2时，f(x)＝f(x＋1)；
当x>log2时，f(x)b≥0，若f(a)＝f(b)，则b·f(a)的取值范围是______.
答案 [，2)
解析 函数的图象如图所示.因为a>b≥0，f(a)＝f(b)，所以0.5≤b<1且1.5≤f(a)<2.所以0.75≤bf(a)<2.
题型三 指数函数的性质及应用
命题点1 指数函数单调性的应用
例3 (1)(2016·徐州模拟)下列各式比较大小正确的是________.
①1.72.5>1.73； ②0.6－1>0.62；
③0.8－0.1>1.250.2； ④1.70.3<0.93.1.
(2)设函数f(x)＝若f(a)<1，则实数a的取值范围是________.
答案 (1)② (2)(－3,1)
解析 (1)②中，∵y＝0.6x是减函数，
∴0.6－1>0.62.
(2)当a<0时，不等式f(a)<1可化为()a－7<1，
即()a<8，即()a<()－3，
所以a>－3.又a<0，∴－30，a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a的值为________.
答案 (1) (2)或3
解析 (1)因为x∈[－3,2]，
所以若令t＝x，则t∈，
故y＝t2－t＋1＝2＋.
当t＝时，ymin＝；当t＝8时，ymax＝57.
故所求函数的值域为.
(2)令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1
＝(t＋1)2－2.
当a>1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈[，a]，又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，
所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去).
当00，a≠1)在区间[－，0]上有最大值3，最小值， 则a，b的值分别为________.
错解展示
解析 令t＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，
∵－≤x≤0，∴－1≤t≤0.
∵≤at≤1，∴b＋≤b＋at≤b＋1，
由得
答案 2,2
现场纠错
解析 令t＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，
∵x∈[－，0]，∴t∈[－1,0].
①若a>1，函数f(x)＝at在[－1,0]上为增函数，
∴at∈[，1]，∈[b＋，b＋1]，
依题意得解得
②若0b>c
解析 由0.2<0.8，底数0.4<1知，y＝0.4x在R上为减函数，所以0.40.2>0.40.8，即b>c.
又a＝40.2>40＝1，b＝0.40.2<1，
所以a>b，综上，a>b>c.
4.函数y＝的值域是__________.
答案 [0,4)
解析 因为4x>0，所以16－4x<16.
又因为16－4x≥0，所以0≤16－4x<16，
即0≤<4，即y∈[0,4).
5.(2015·山东改编)若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为__________.
答案 (0,1)
解析 ∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
即＝－，整理得(a－1)(2x＋1)＝0，
∴a＝1，∴f(x)＞3即为＞3，
当x>0时，2x－1>0，∴2x＋1>3·2x－3，解得0()x＋4的解集为________.
答案 (－1,4)
解析 原不等式等价为>2－x－4，
又函数y＝2x为增函数，∴－x2＋2x>－x－4，
即x2－3x－4<0，∴－10且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是________.
答案 (0，)
解析 (数形结合法)
由图象可知0<2a<1，∴00，试证明函数f(x)在R上是增函数；
(3)当a＝1时，求函数y＝f(x)，x∈(－1,3]的值域.
(1)解 函数f(x)＝2ax＋2对任意实数都有意义，所以定义域为实数集R.
(2)证明 任取x1，x2∈R，且x10，得ax1＋20，
等价于方程2am2－m－1＝0在(0，＋∞)上有解.
记g(m)＝2am2－m－1，
当a＝0时，解为m＝－1<0，不成立.
当a<0时，开口向下，对称轴m＝<0，
过点(0，－1)，不成立.
当a>0时，开口向上，对称轴m＝>0，
过点(0，－1)，必有一个根为正，所以a>0.
14.(2017·江苏淮阴中学月考)已知f(x)＝＋m，m是实常数.
(1)当m＝1时，写出函数f(x)的值域；
(2)当m＝0时，判断函数f(x)的奇偶性，并给出证明；
(3)若f(x)是奇函数，不等式f(f(x))＋f(a)<0有解，求a的取值范围.
解 (1)当m＝1时，f(x)＝＋1，定义域为R，
3x＋1∈(1，＋∞)，则∈(0,2)，
所以f(x)＝＋1∈(1,3)，
即当m＝1时，函数f(x)的值域为(1,3).
(2)当m＝0时，f(x)为非奇非偶函数.
证明如下 ：当m＝0时，f(x)＝，f(1)＝＝，
f(－1)＝＝，
因为f(－1)≠f(1)，所以f(x)不是偶函数；
又因为f(－1)≠－f(1)，
所以f(x)不是奇函数.
故f(x)为非奇非偶函数.
(3)因为f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)恒成立，
即＋m＝－－m对x∈R恒成立，
化简整理得－2m＝＋，即－2m＝2，
所以m＝－1.
下面用定义法研究f(x)＝－1的单调性.
任取x1，x2∈R且x1f(x2)，
所以函数f(x)在R上单调递减.
所以f(f(x))＋f(a)<0有解，且函数f(x)为奇函数，
所以f(f(x))<－f(a)＝f(－a)，又因为函数f(x)在R上单调递减，所以f(x)>－a有解，又易求函数f(x)＝－1的值域为(－1,1)，所以－a<1，即a>－1.
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