高中数学第二章平面解析几何2-3-2圆的一般方程课件新人教B版选择性必修第一册 29页

2 . 3 . 2 　 圆的一般方程 核心 素养 1 . 掌握圆的一般方程及其特点 . ( 数学抽象 ) 2 . 会将圆的一般方程化为圆的标准方程 . ( 数学运算 ) 3 . 能熟练地指出圆心的位置和半径的大小 . ( 数学运算 ) 4 . 能根据某些具体条件 , 运用待定系数法确定圆的方程 , 并能解决相关实际问题 . ( 数学模型 ) 5 . 结合具体实例 , 初步了解二元二次方程、圆的标准方程和圆的一般方程之间的关系 . 思维脉络 激趣诱思 知识点拨 我们已经学习了曲线与方程的关系 , 也已经认识了直线方程的多种形式 , 刚刚学习了圆的标准方程 , 现给出一个二元二次方程 : x 2 +y 2 +Dx+Ey+F= 0( D , E , F 为常数 ), 请问这个方程在什么条件下是一个圆的方程 ? 激趣诱思 知识点拨 1 . 圆的一般方程 圆的一般方程是 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F= 0, 限制条件是 D 2 +E 2 - 4 F> 0 . 微练习 已知方程 x 2 +y 2 +x+y+m= 0 表示一个圆 , 则实数 m 的取值范围为 　　　　　 .   激趣诱思 知识点拨 2 . 方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F= 0 表示的图形 激趣诱思 知识点拨 微练习 方程 x 3 +xy 2 - 2 x 2 + 2 xy+ 2 x= 0 表示的图形是 　 .   解析 : 由题意 , 得 x [( x- 1) 2 + ( y+ 1) 2 ] = 0 , 所以方程表示的图形为直线 x= 0 或点 (1, - 1) . 答案 : 直线 x= 0 或点 (1, - 1) 微思考 若一个二元方程 Ax 2 +Bxy+Cy 2 +Dx+Ey+F= 0 表示圆 , 则系数 A , B , C , D , E , F 应满足什么条件 ? 提示 : 应满足的条件是 ① A=C ≠0; ② B= 0; ③ D 2 +E 2 - 4 AF> 0 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 圆的一般方程初步理解 例 1 若方程 x 2 +y 2 + 2 mx- 2 y+m 2 + 5 m= 0 表示圆 , 求实数 m 的取值范围 , 并写出圆心坐标和半径 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 1 . 形如 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F= 0 的二元二次方程 , 判定其是否表示圆时可有如下两种方法 (1) 由圆的一般方程的定义 , D 2 +E 2 - 4 F> 0 成立 , 则表示圆 , 否则不表示圆 . (2) 将方程配方后 , 根据圆的标准方程的特征进行判断 . 应用这两种方法时 , 要注意所给方程是不是 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F= 0 这种标准形式 , 若不是 , 则要化为这种形式再求解 . 2 . 对于一般式方程表示圆求参类问题 , 也要将其化为标准方程 , 再将其转化为不等式 ( 方程 ) 的求解问题 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 1 (1) 若方程 x 2 +y 2 - 4 x+ 2 y+ 5 k= 0 表示圆 , 则实数 k 的取值范围是 ( 　　 ) A.( -∞ ,1) B.(1, +∞ ) C .( -∞ ,0) D.( -∞ ,1] (2) 当圆 C : x 2 +y 2 - 4 x- 2 my+ 2 m= 0 的面积最小时 , m 的取值是 ( 　　 ) A.4 B.3 C.2 D.1 解析 : (1) 因为 x 2 +y 2 - 4 x+ 2 y+ 5 k= 0 表示圆 , 则 16 + 4 - 4×5 k> 0, 所以 k< 1 . (2) ∵ 圆 C : x 2 +y 2 - 4 x- 2 my+ 2 m= 0, ∴ 圆 C 的标准方程为 ( x- 2) 2 + ( y-m ) 2 =m 2 - 2 m+ 4, 从而对于圆 C 的半径 r 有 r 2 =m 2 - 2 m+ 4 = ( m- 1) 2 + 3 ≥ 3, 所以当 m= 1 时 , r 2 取得最小值 , 从而圆 C 的面积 π r 2 在 m= 1 时取得最小值 . 答案 : (1)A 　 (2)D 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 求圆的一般方程 例 2 已知 A (2,2), B (5,3), C (3, - 1) . (1) 求 △ ABC 的外接圆的一般方程 ; (2) 若点 M ( a ,2) 在 △ ABC 的外接圆上 , 求 a 的值 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 ( 2) 由 (1) 知 , △ ABC 的外接圆的方程为 x 2 +y 2 - 8 x- 2 y+ 12 = 0, ∵ 点 M ( a ,2) 在 △ ABC 的外接圆上 , ∴ a 2 + 2 2 - 8 a- 2×2 + 12 = 0, 即 a 2 - 8 a+ 12 = 0, 解得 a= 2 或 6 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 应用待定系数法求圆的方程时应注意的问题 (1) 如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心坐标或半径列方程 , 一般采用圆的标准方程 , 再用待定系数法求出 a , b , r. (2) 如果已知条件与圆心和半径都无直接关系 , 一般采用圆的一般方程 , 再用待定系数法求出常数 D , E , F. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 延伸探究 若本例中将 “ 点 C (3, - 1)” 改为 “ 圆 C 过 A , B 两点且圆 C 关于直线 y=-x 对称 ”, 其他条件不变 , 如何求圆 C 的方程 ? 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 求动点的轨迹方程问题 例 3 如图 , 已知线段 AB 的中点 C 的坐标是 (4,3), 端点 A 在圆 ( x+ 1) 2 +y 2 = 4 上运动 , 求线段 AB 的端点 B 的轨迹方程 . 解 : 设 B 点坐标是 ( x , y ), 点 A 的坐标是 ( x 0 , y 0 ), 由于点 C 的坐标是 (4,3) 且 C 是线段 AB 的中点 , 所以 , 于是有 x 0 = 8 -x , y 0 = 6 -y. ① 因为点 A 在圆 ( x+ 1) 2 +y 2 = 4 上运动 , 所以点 A 的坐标满足方程 ( x+ 1) 2 +y 2 = 4, 即 ( x 0 + 1) 2 + = 4, ② 把 ① 代入 ② , 得 (8 -x+ 1) 2 + (6 -y ) 2 = 4, 整理 , 得 ( x- 9) 2 + ( y- 6) 2 = 4 . 所以点 B 的轨迹方程为 ( x- 9) 2 + ( y- 6) 2 = 4 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 例 4 已知圆 x 2 +y 2 = 4 上一定点 A (2,0), 点 B (1,1) 为圆内一点 , P , Q 为圆上的动点 . (1) 求线段 AP 中点的轨迹方程 ; (2) 若 ∠ PBQ= 90 ° , 求线段 PQ 中点的轨迹方程 . 解 : (1) 设线段 AP 的中点 M 的坐标为 ( x , y ), P 的坐标为 ( x 0 , y 0 ), 又 P ( x 0 , y 0 ) 在圆 x 2 +y 2 = 4 上 , ∴ (2 x- 2) 2 + (2 y ) 2 = 4, ∴ ( x- 1) 2 +y 2 = 1 . 故线段 AP 中点的轨迹方程为 ( x- 1) 2 +y 2 = 1 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 (2) 设 PQ 的中点为 N ( x , y ), 在 Rt △ PBQ 中 , |PN|=|BN| , 设 O 为坐标原点 , 连接 ON , 则 ON ⊥ PQ , 所以 |OP| 2 =|ON| 2 +|PN| 2 =|ON| 2 +|BN| 2 , 所以 x 2 +y 2 + ( x- 1) 2 + ( y- 1) 2 = 4 . 故线段 PQ 中点的轨迹方程为 x 2 +y 2 -x-y- 1 = 0 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 与圆有关的轨迹问题可结合圆的有关性质解决 , 解决的方法可以是直接法、定义法、相关点代入法等 . (1) 直接法 : 根据题设 , 建立适当的平面直角坐标系 , 设出动点坐标 , 并找出动点所满足的关系式 ; (2) 定义法 : 当所列出的关系式符合圆的定义时 , 可利用定义写出点的轨迹方程 ; (3) 相关点代入法 : 若动点 P ( x , y ) 因为已知圆上的另一动点 Q ( x 1 , y 1 ) 而运动 , 且 x 1 , y 1 可用 x , y 表示 , 则将 Q 点的坐标代入已知圆的方程 , 求得动点的轨迹方程 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 2 已知点 P 在圆 C : x 2 +y 2 - 8 x- 6 y+ 21 = 0 上运动 , 求线段 OP 的中点 M 的轨迹方程 . 解 : ( 方法一 ) 设点 M ( x , y ), 点 P ( x 0 , y 0 ), 因为点 P ( x 0 , y 0 ) 在圆 C : x 2 +y 2 - 8 x- 6 y+ 21 = 0 上 , 所以 (2 x ) 2 + (2 y ) 2 - 8·(2 x ) - 6·(2 y ) + 21 = 0, 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 ( 方法二 ) 设点 M 的坐标为 ( x , y ), 连接 OC , PC , 取线段 OC 的中点 A , 连接 MA. 圆 C 的方程可化为 ( x- 4) 2 + ( y- 3) 2 = 4, 圆心 C (4,3), |CP|= 2, 则点 A 的坐 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 求圆关于点 ( 线 ) 对称的圆 例 5 试求圆 C : x 2 +y 2 -x+ 2 y= 0 关于直线 l : x-y+ 1 = 0 对称的曲线 C' 的方程 . 解 : ( 方法一 ) 设 P' ( x , y ) 为所求曲线 C' 上任意一点 , P' 关于 l 的对称点为 P ( x 0 , y 0 ), 则 P ( x 0 , y 0 ) 在圆 C 上 . 所以 ( y- 1) 2 + ( x+ 1) 2 - ( y- 1) + 2( x+ 1) = 0 . 化简 , 得 x 2 +y 2 + 4 x- 3 y+ 5 = 0, 即曲线 C' 的方程是 x 2 +y 2 + 4 x- 3 y+ 5 = 0 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 ( 方法二 ) 特殊 对称 反思 感悟 1 . 求圆 C :( x-a ) 2 + ( y-b ) 2 =r 2 关于点 P ( x 0 , y 0 ) 对称的圆的方程 , 首先要找出圆心 C ( a , b ) 关于点 P ( x 0 , y 0 ) 的对称点 , 得到对称圆的圆心 , 半径不变 , 即得所求圆的方程 . 2 . 求圆关于直线 mx+ny+p= 0 对称的圆的方程 , 只需求出圆心关于直线的对称点即可 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 3 若圆 x 2 +y 2 - 2 kx- 4 = 0 关于直线 2 x-y+ 3 = 0 对称 , 则 k 等于 ( 　　 ) 解析 : 由题意知直线 2 x-y+ 3 = 0 经过该圆圆心 . 因此将圆心 ( k ,0) 代入直线方程得 k =- . 答案 : B 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 易错辨析 —— 因忽视二元二次方程表示圆的条件而致错 案例 已知定点 A ( a ,2) 在圆 x 2 +y 2 - 2 ax- 3 y+a 2 +a= 0 的外部 , 求 a 的取值范围 . 错解 : ∵ 点 A 在圆外 , ∴ a 2 + 4 - 2 a 2 - 3×2 +a 2 +a> 0, ∴ a> 2 . 错因分析 本题错解的根源是仅利用了点在圆外的条件 , 而忽略了方程作为圆的方程而蕴含的 a 的范围的限制 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 防范措施 在讨论含有参数的二元二次方程时 , 一定要明确 , 只有当 D 2 +E 2 - 4 F> 0 时 , 二元二次方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F= 0 才表示圆 , 因此在与其他条件相融合时 , 一定不要漏掉这一隐含信息 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 1 . 若圆的一般方程为 x 2 +y 2 + 6 x+ 6 = 0, 则该圆的圆心和半径分别是 ( 　　 ) 答案 : D 2 . 已知圆的方程是 x 2 +y 2 - 2 x+ 6 y+ 8 = 0, 那么经过圆心的一条直线的方程是 ( 　　 ) A.2 x-y+ 1 = 0 B.2 x+y+ 1 = 0 C.2 x-y- 1 = 0 D.2 x+y- 1 = 0 解析 : 圆心坐标为 (1, - 3), 检验知 2 x+y+ 1 = 0 过圆心 (1, - 3) . 答案 : B 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 3 . 点 P (4, - 2) 与圆 x 2 +y 2 = 4 上任一点连线的中点轨迹方程是 ( 　　 ) A . ( x- 2) 2 + ( y+ 1) 2 = 1 B . ( x- 2) 2 + ( y+ 1) 2 = 4 C . ( x+ 4) 2 + ( y- 2) 2 = 1 D . ( x+ 2) 2 + ( y- 1) 2 = 1 解析 : 设圆上任意一点的坐标为 ( x 1 , y 1 ), 其与点 P 连线的中点为 ( x , y ), 代入 x 2 +y 2 = 4, 得 (2 x- 4) 2 + (2 y+ 2) 2 = 4, 化简得 ( x- 2) 2 + ( y+ 1) 2 = 1 . 答案 : A 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 4 . 如果 x 2 +y 2 - 2 x+y+k= 0 是圆的方程 , 则实数 k 的取值范围是 　　　　　 .   5 . 已知圆的方程为 x 2 +y 2 - 2 x= 0, 点 P ( x , y ) 在圆上 , 则 2 x 2 +y 2 的最大值为 　　　　　 , 最小值为 　　　　　 .   解析 : 由 x 2 +y 2 - 2 x= 0 得 y 2 =-x 2 + 2 x ≥ 0, 解得 0 ≤ x ≤ 2, 所以 2 x 2 +y 2 =x 2 + 2 x= ( x+ 1) 2 - 1 ∈ [0,8], 当 x= 0 时 ,2 x 2 +y 2 取最小值 0, 当 x= 2 时 ,2 x 2 +y 2 取最大值 8, 故 2 x 2 +y 2 的最小值为 0, 最大值为 8 . 答案 : 8 　 0 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 6 . 已知圆经过三点 A ( - 1,0), B (3,0), C (1,2), 且与 y 轴交于 M , N 两点 , 试求线段 MN 的长 . 解 : 设圆的一般式方程为 : x 2 +y 2 +Dx+Ey+F= 0, 由于圆经过三点 A ( - 1,0), B (3,0), C (1,2 ), x 2 +y 2 - 2 x- 3 = 0, 整理得 ( x- 1) 2 +y 2 = 4, 则圆心到 y 轴的距离 d= 1, 半径 r= 2 ,