2021版高考数学一轮复习第九章平面解析几何9-3圆的方程课件新人教B版 20页

第三节　圆 的 方 程 内容索引 必备知识 · 自主学习 核心考点 · 精准研析 核心素养 · 微专题 核心素养测评 【教材 · 知识梳理】 1. 圆的方程 2. 点与圆的位置关系 点 M(x 0 ， y 0 ) 与圆 (x-a) 2 +(y-b) 2 =r 2 的位置关系 (1) 点 M(x 0 ， y 0 ) 在圆外，则 (x 0 -a) 2 +(y 0 -b) 2 __r 2 . (2) 点 M(x 0 ， y 0 ) 在圆上，则 (x 0 -a) 2 +(y 0 -b) 2 __r 2 . (3) 点 M(x 0 ， y 0 ) 在圆内，则 (x 0 -a) 2 +(y 0 -b) 2 __r 2 . > = < 【常用结论】 1. 方程 Ax 2 +Bxy+Cy 2 +Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件： A=C≠0 ， B=0 ，且 D 2 +E 2 -4AF>0. 2. 解决与圆上点 (x ， y) 有关的最值问题：转化为与圆心有关的最值问题 . 3. 过 x 2 +y 2 =r 2 上一点 P(x 0 ， y 0 ) 的切线方程： x 0 x+y 0 y=r 2 . 【知识点辨析】 ( 正确的打“ √”, 错误的打“ ×”) (1) 方程 x 2 +y 2 =a 2 表示半径为 a 的圆 . ( 　　 ) (2) 方程 x 2 +y 2 +4mx-2y+5m=0 表示圆 . ( 　　 ) (3) 方程 Ax 2 +Bxy+Cy 2 +Dx+Ey+F=0 表示圆的充要条件是 A=C≠0,B=0,D 2 +E 2 -4AF>0. ( 　　 ) (4) 若点 M(x 0 ,y 0 ) 在圆 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0 外 , 则 Dx 0 +Ey 0 +F>0. ( 　　 ) 提示 : (1) ×. 当 a=0 时 ,x 2 +y 2 =a 2 表示点 (0,0); 当 a<0 时 , 表示半径为 |a| 的圆 . (2) ×. 当 (4m) 2 +(-2) 2 -4×5m>0, 即 m< 或 m>1 时表示圆 . (3)√. (4)√. 【易错点索引】 序号 易错警示 典题索引 1 求圆的方程时计算出错 考点一、 T5 2 求轨迹方程和求轨迹的区别 考点二、变式 【教材 · 基础自测】 1.( 必修 2P98 例 1 改编 ) 圆 x 2 +y 2 -4x+6y=0 的圆心坐标和半径分别是 ( 　　 ) A.(2,3),3 B.(-2,3), C.(-2,-3),13 D.(2,-3), 【解析】 选 D. 由公式可知圆心坐标为 , 半径 r= , 解得圆心坐标为 (2,-3), 半径 r= . 2.( 必修 2P113 巩固与提高 T8(3) 改编 ) 过点 A(1,-1),B(-1,1), 且圆心在直线 x+y-2=0 上的圆的方程是 ( 　　 ) A.(x-3) 2 +(y+1) 2 =4 B.(x+3) 2 +(y-1) 2 =4 C.(x-1) 2 +(y-1) 2 =4 D.(x+1) 2 +(y+1) 2 =4 【解析】 选 C. 将 A(1,-1),B(-1,1) 代入选项 , 求出选项 A,B,C,D 中的圆心并代入 x+y-2=0 得 C 合适 . 3.( 必修 2P104 习题 2-3AT3 改编 ) 圆 C 的圆心在 x 轴上 , 并且过点 A(-1,1) 和 B(1,3), 则圆 C 的方程为 ________.  【解析】 设圆心坐标为 C(a,0), 因为点 A(-1,1) 和 B(1,3) 在圆 C 上 , 所以 |CA|=|CB|, 即 , 解得 a=2, 所以圆心为 C(2,0), 半径 |CA|= , 所以圆 C 的方程为 (x-2) 2 +y 2 =10. 答案 : (x-2) 2 +y 2 =10 4.( 必修 2P98 例 2 改编 )△ABC 的三个顶点分别为 A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5), 则其外接圆的方程为 ________.  【解析】 方法一 : 设所求圆的方程为 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0, 则由题意有 故所求圆的方程为 x 2 +y 2 -4x-2y-20=0. 方法二 : 由题意可求得线段 AC 的中垂线方程为 x=2, 线段 BC 的中垂线方程为 x+y-3= 0, 所以圆心是两中垂线的交点 (2,1), 半径 r= =5. 故所求圆的方程为 (x-2) 2 +(y-1) 2 =25. 即 x 2 +y 2 -4x-2y-20=0. 答案 : x 2 +y 2 -4x-2y-20=0 【解题新思维】 　巧用圆的几何性质   【结论】 求圆 C 上的动点 P 到定直线 l 的最值时 , 常用到以下结论 : 设圆心到直线 l 的距离为 d, 圆 C 的半径为 r, (1) 当直线 l 与圆 C 相交时 , 点 P 到定直线 l 的距离最大值为 d+r, 最小值为 0. (2) 当直线 l 与圆 C 相切时 , 点 P 到定直线 l 的距离的最大值为 2r, 最小值为 0. (3) 当直线 l 与圆 C 相离时 , 点 P 到定直线 l 的距离的最大值为 d+r, 最小值为 d-r. 【典例】 圆 x 2 +y 2 -2x-2y+1=0 上的点到直线 x-y=2 距离的最大值是 ( 　　 ) A.1+ 　 B.2 　 C.1+ 　 D.2+2 【解析】 选 A. 将圆的方程化为 (x-1) 2 +(y-1) 2 =1, 圆心坐标为 (1,1), 半径为 1, 则 圆心到直线 x-y=2 的距离 d= , 故圆上的点到直线 x-y=2 距离的最大 值为 d+1= +1. 【迁移应用】 已知 A(0,3 ),B ,P 为圆 C:x 2 +y 2 =2x 上的任意一点 , 则 △ABP 面积的最 大值为 ( 　　 ) 【解析】 选 A. 化圆为标准方程得 (x-1) 2 +y 2 =1, 因为 A(0,3 ),B , 所以 |AB|= =3, 直线 AB 的方程为 x+y=3 , 所以圆心 到直线 AB 的距离 d= . 又圆 C 的半径为 1, 所以圆 C 上的点到直线 AB 的最大距离为 +1, 故 △ABP 面积的最大值为 S max = .