浙江省2021届高考数学一轮复习第四章导数及其应用第2节导数与函数的单调性课件 29页

第 2 节　导数与函数的单调性 考试要求　 1. 了解函数的单调性与导数的关系； 2. 能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间 . 知 识 梳 理 1 . 函数的单调性与导数的关系 已知函数 f ( x ) 在某个区间内可导， (1) 如果 f ′( x ) ＞ 0 ，那么函数 y ＝ f ( x ) 在这个区间内 _________ ； (2) 如果 f ′( x ) ＜ 0 ，那么函数 y ＝ f ( x ) 在这个区间内 _________ . 单调递增 单调递减 2 . 利用导数求函数单调区间的基本步骤是： (1) 确定函数 f ( x ) 的定义域； (2) 求导数 f ′( x ) ； (3) 由 f ′( x ) ＞ 0( 或＜ 0) 解出相应的 x 的取值范围 . 当 f ′( x ) ＞ 0 时， f ( x ) 在相应的区间内是单调递增函数；当 f ′( x ) ＜ 0 时， f ( x ) 在相应的区间内是单调递减函数 . 一般需要通过列表，写出函数的单调区间 . 3 . 已知单调性求解参数范围的步骤为： (1) 对含参数的函数 f ( x ) 求导，得到 f ′( x ) ； (2) 若函数 f ( x ) 在 [ a ， b ] 上单调递增，则 f ′( x ) ≥ 0 恒成立；若函数 f ( x ) 在 [ a ， b ] 上单调递减，则 f ′( x ) ≤ 0 恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围； (3) 验证参数范围中取等号时，是否恒有 f ′( x ) ＝ 0. 若 f ′( x ) ＝ 0 恒成立，则函数 f ( x ) 在 ( a ， b ) 上为常数函数，舍去此参数值 . [ 常用结论与易错提醒 ] (1) 解决一次、二次函数的单调性问题不必用导数 . (2) 有些初等函数 ( 如 f ( x ) ＝ x 3 ＋ x ) 的单调性问题也不必用导数 . (3) 根据单调性求参数常用导数不等式 f ′( x ) ≥ 0 或 f ′( x ) ≤ 0 求解，注意检验等号 . (4) 注意函数、导函数的定义域 . 诊 断 自 测 1. 判断下列说法的正误 . (1) 若可导函数 f ( x ) 在 ( a ， b ) 内单调递增，那么一定有 f ′( x )>0.( 　　 ) (2) 如果函数 f ( x ) 在某个区间内恒有 f ′( x ) ＝ 0 ，则 f ( x ) 在此区间内没有单调性 .( 　　 ) (3) f ′( x )>0 是 f ( x ) 为增函数的充要条件 .( 　　 ) 解析　 (1) f ( x ) 在 ( a ， b ) 内单调递增，则有 f ′( x ) ≥ 0. (3) f ′( x )>0 是 f ( x ) 为增函数的充分不必要条件 . 答案 　 (1) × 　 (2) √ 　 (3) × 2. 函数 f ( x ) ＝ e x － x 的单调递增区间是 ( 　　 ) A.( － ∞ ， 1] B.[1 ，＋ ∞ ) C.( － ∞ ， 0] D.(0 ，＋ ∞ ) 解析　 令 f ′( x ) ＝ e x － 1>0 得 x >0 ，所以 f ( x ) 的递增区间为 (0 ，＋ ∞ ). 答案 　 D 3. (2020· 浙江 “ 超级全能生 ” 联考 ) 已知函数 y ＝ f ( x ) 的导函数 y ＝ f ′( x ) 的图象如图所示，则函数 y ＝ f ( x ) 的图象可以是 ( 　　 ) 解析 　根据导函数的正负与原函数的单调性的关系，结合导函数 f ′( x ) 的图象可知，原函数 f ( x ) 先单调递增，再单调递减，最后缓慢单调递增，选项 C 符合题意，故选 C. 答案 　 C 答案　 (1 ，＋ ∞ ) 　 ( － ∞ ， 0) 和 (0 ， 1) 6. (2019· 北京卷 ) 设函数 f ( x ) ＝ e x ＋ a e － x ( a 为常数 ). 若 f ( x ) 为奇函数，则 a ＝ ________ ；若 f ( x ) 是 R 上的增函数，则 a 的取值范围是 ________. 答案　－ 1 　 ( － ∞ ， 0] 考点一　求不含参数的函数的单调性 令 f ′( x ) ＝ 0 ，解得 x ＝ 0 ， x ＝－ 1 或 x ＝－ 4. 当 x < － 4 时， f ′( x )<0 ，故 f ( x ) 为减函数； 当－ 4< x < － 1 时， f ′( x )>0 ，故 f ( x ) 为增函数； 当－ 1< x <0 时， f ′( x )<0 ，故 f ( x ) 为减函数； 当 x >0 时， f ′( x )>0 ，故 f ( x ) 为增函数 . 综上知， f ( x ) 在 ( － ∞ ，－ 4) 和 ( － 1 ， 0) 内为减函数，在 ( － 4 ，－ 1) 和 (0 ，＋ ∞ ) 内为增函数 . 规律方法 　确定函数单调区间的步骤： (1) 确定函数 f ( x ) 的定义域； (2) 求 f ′( x ) ； (3) 解不等式 f ′( x )>0 ，解集在定义域内的部分为单调递增区间； (4) 解不等式 f ′( x )<0 ，解集在定义域内的部分为单调递减区间 . 答案　 (1)B 　 (2)C 考点二　求含参函数的单调性 (2) 函数 f ( x ) 的定义域为 (0 ，＋ ∞ ). 当 a ≥ 0 时， f ′( x ) ＞ 0 ，函数 f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递增 . 当 a ＜ 0 时，令 g ( x ) ＝ ax 2 ＋ (2 a ＋ 2) x ＋ a ， 由于 Δ ＝ (2 a ＋ 2) 2 － 4 a 2 ＝ 4(2 a ＋ 1). 所以 x ∈ (0 ， x 1 ) 时， g ( x ) ＜ 0 ， f ′( x ) ＜ 0 ，函数 f ( x ) 单调递减； x ∈ ( x 1 ， x 2 ) 时， g ( x ) ＞ 0 ， f ′( x ) ＞ 0 ，函数 f ( x ) 单调递增； x ∈ ( x 2 ，＋ ∞ ) 时， g ( x ) ＜ 0 ， f ′( x ) ＜ 0 ，函数 f ( x ) 单调递减 . 综上可得： 当 a ≥ 0 时，函数 f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递增； 规律方法 　利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当 f ( x ) 含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论 . 分类讨论时，要做到不重不漏 . 【训练 2 】 (1) 已知函数 f ( x ) ＝ ax ＋ ln x ( a ＜ 0) ，则 f ( x ) 的单调递增区间是 __________ ；单调递减区间是 __________. (2) 已知 a 为实数，函数 f ( x ) ＝ x 2 － 2 a ln x . 求函数 f ( x ) 的单调区间 . 考点三　利用函数的单调性求参数 规律方法 　利用单调性求参数的两类热点问题的处理方法 (1) 函数 f ( x ) 在区间 D 上存在递增 ( 减 ) 区间 . 方法一：转化为 “ f ′( x )>0(<0) 在区间 D 上有解 ” ； 方法二：转化为 “ 存在区间 D 的一个子区间使 f ′( x )>0(<0) 成立 ”. (2) 函数 f ( x ) 在区间 D 上递增 ( 减 ). 方法一：转化为 “ f ′( x ) ≥ 0( ≤ 0) 在区间 D 上恒成立 ” 问题； 方法二：转化为 “ 区间 D 是函数 f ( x ) 的单调递增 ( 减 ) 区间的子集 ”. 答案　 (1) － 3 　 (2)( － ∞ ，－ 1]